1、 - 1 - 江苏省淮安市 2017-2018 学年高二数学第一学期期末调研测试 一、填空题 1. 命题 “ ， ” 的否定是 _ 【答案】 ， 【解析】命题 “ ” 的否定是： 2. 直线 在两坐标轴上的截距之和为 _ 【答案】 5 【解析】直线 在两坐标轴上的截距为 2， 3，所以和为 5 3. 抛物线 的焦点坐标为 _ 【答案】 【解析】试题分析：由抛物线方程可知焦点在 y 轴上，由 ，所以焦点为 考点：抛物线方程及性质 4. 若三条直线 ， ， 交于一点，则实数 值为 _ 【答案】 【解析】直线 ， 的交点为（ 1， 1），所以 5. 过两点 ， ，且圆心在直线 上的圆的标准方程为 _
2、 【答案】 . 6. 如图，在三棱锥 中，侧棱 平面 ， ，底面是边长为 2 的正三角形，则此三棱锥的表面积为 _ - 2 - 【答案】 【解析】 所以表面积为 7. 已知双曲线 的一个焦点为 ，则双曲线的渐近线方程为 _ 【答案】 【解析】因为 ，所以 - ，所以 8. 已知直线 与抛物线 交于 ， 两点，则弦 的长为 _ 【答案】 8 【解析】因为直线 过抛物线焦点（ 1， 0），所以 9. 已知 ，若当 时， 恒成立，则实数 的取值范围为_ 【答案】 【解析】 或 ，所以 ，因此10. 已知命题 ： 表示圆，命题 ： 表示双曲线，若命题为真命题，则实数 的取值范围为 _ 【答案】 【解析
3、】命题 命题 ： 因为 为真命题，所以 11. 若两个不同圆柱的侧面展开图均是长为 4 宽为 3 的矩形，则两圆柱的体积之比 为_ 【答案】 （或 都对） 【解析】两圆柱的体积之比为 12. 已知 ，若过定点 的动直线 和过定点 的动直线 交于点 ，- 3 - 则 的最大值为 _ 【答案】 【解析】 A(0,0),B(-1,0),动直线 与动直线 相互垂直，所以 点轨迹为以AB 为直径的圆， 点睛：求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法： 直接法：直接根据题目提供的条件列出方程 定义法：根据圆、直线等定义列方程 几何法：利用圆的几何性质列方程 代入法：找到要求点与已知 点的关
4、系，代入已知点满足的关系式等 13. 在平面直角坐标系 中，圆 的方程为 ，若直线 上至少存在一点，使得以该点为圆心， 1 为半径的圆与圆 有公共点，则实数 的取值范围是 _ 【答案】 【解析】设 P 为直线 上满足条件的点，由题意得 点睛：判断直线与圆的位置关系的常见方法 (1)几何法：利用 d 与 r 的关系 (2)代数法：联立方程之后利用 判断 (3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交 14. 若函数 在其定义域内的一个子区间 上不单调，则实数 的取值范围是 _ 【答案】 【解析】 且由 ，解得 点睛：函数单调性问题包括： 求函数的单调区间或存在单调区间，
5、常常通过求导，转化为解方程或不等式，常用到分类讨论思想； 利用单调性证明不等式或比较大小，常用构造函数法 . 二、解答题 15. 如图，在直三棱柱 中， ， ， 分别为 ， 的中点 - 4 - （ 1）求证： ； （ 2）求证： 平面 【答案】（ 1）见解析（ 2）见解析 【解析】试题分析：（ 1）由直棱柱性质得 平面 ，即得 ，又已知 ，所以由线面垂直判定定理得 平面 ，即得结 论（ 2）取 中点 ，利用平几知识证得四边形 为平行四边形，即得 ，再根据线面平行判定定理得结论 试题解析：（ 1）证明：因为 是直三棱柱， 所以 平面 ， 因为 平面 ，所以 ， 因为 ， ， ， 平面 ， 所以
6、平面 ， 因为 平面 ，所以 （ 2）证明：取 中点 ，连接 ， ， 因为 是 的中点，所以 ， ， 又因为 为 中点， ，所以 ， ，所以 ， 所以四边形 为平行四边形， 所以 ，又因为 平面 ， 平面 ， 所以 平面 16. 在平面直角坐标系 中，曲线 与坐标轴的交点都在圆 上 . （ 1）求圆 的方程； - 5 - （ 2）圆 上有两点 、 关于直线 ： 对称，求过点 与直线 平行的直线 被圆 截得的弦长 【答案】（ 1） （ 2） 【解析】试题分析：（ 1）先求曲线交点，再代入圆一般方程解得 D,E,F（ 2）由题意得直线 过圆心 ，解得 m，再根据点斜式得直线 方程，最后根据垂径定理
7、求弦长 试题解析：（ 1）曲线 与坐标轴的交点为 ， ， ， 设圆方程为 ，则 解得 所以圆 方程为 （ 2） 点坐标为 ，因为圆 上有两点 ， 关于直线 ： 对称， 所以直线 过圆心 ，即 ，解得 因为 ，所以 直线 的斜率为 1， 所以直线 的方程为 ，即 ， 又圆心 到直线 的距离为 ， 所以直线 被圆 截得的弦长为 点睛：直线与圆综合问题的常见类型及解题策略 (1)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式： (2)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题 17. 如图，四棱锥 中，
8、为正三角形，平面 底面 ，底面 为梯形， ， ， ， ，点 在棱 上，且 求证：（ 1）平面 平面 ； （ 2）求证： 平面 ； - 6 - （ 3）求三棱锥 的体积 【答案】（ 1）见解析（ 2）见解析（ 3） 【解析】试题分析：（ 1）取 中点 ，由正三角形性质得 ，再根据面面垂直性质定理得 平面 ，即得 ，根据已知条件 ，由线面垂直判定定理得 平面，最后根据面面垂直判定定理得结论（ 2）连接 ， ，交于点 ，根据相似可得 ，再根据线面平行判定定理得结论（ 3）由等体积性质得 ，再根据锥体体积公式求体积 试题解析：（ 1）证明：取 中点 ，连接 ， 因为 是正三角形，所以 ， 又因为平面
9、底面 ， 平面 ，平面 平面 ， 所以 平面 ， 因为 平面 ，所以 ， 又因为 ， ， ， 平面 ， 因为 平面 ， 平面 ， 所以平面 平面 （ 2）连接 ， ，交于点 ，因为 ， 所以 ，所以 ， 又因为 ，所以 ， 因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 （ 3）因为 ， 所以 18. 某公司引进一条价值 30 万元的产品生产线，经过预测和计算，得到生产成本降低 万元与- 7 - 技术改造投入 万元之间满足： 与 和 的乘积成正比； 当 时， ，并且技术改造投入比率 ， 为常数且 （ 1）求 的解析式及其定义域； （ 2）求 的最大值及相应的 值 【答案】（ 1） ，定义域是 （ 2）见解
10、析 【解析】试题分析：（ 1）先求比例系数，再比率范围得定义域（ 2）先求导数，再求定义区间上导函数零点，列表分析导函数符号变化规律，确定单调性，进而确定最大值 试题解析：（ 1）设 ， 当 时， ，即 ，解得 ， 所以 ， 因为 ，所以函数的定义域是 （ 2）因为 （ ）， 所以 ，令 ，则 （舍去）或 ， 当 时， ，所以 在 上是增函数， 当 时， ，所以 在 上是减函数， 所以 为函数 的极大值点， 当 ，即 ， ； 当 ，即 时， ， 综上可得，当 时， 的最大值为 ， 的值为 20； 当 时， 的最大值为 ， 的值为 19. 已知椭圆 的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，截距长为 2
11、，左准线为 ： （ 1）求椭圆 的方程及其离心率； （ 2）若过点 的直线 交椭圆 于 ， 两点，且 为线段 的中点，求直线 的方程； （ 3）过椭圆 右准线 上任一点 引圆 ： 的两条切线，切点分别为 ， 试探究直线 是否过定点？若过定点，请求出该定点；否则，请说明理由 - 8 - 【答案】（ 1） ， （ 2） （ 3） . 试题解析：（ 1）设椭圆 方程为 ，则 ，所以 ， 又其准线为 ，所以 ，则 ， 所以椭圆 方程为 ，其离心率为 （ 2）设点 和点 坐标分别为 ， ，因为点 和点 都在椭圆上， 所以 两式相减得 ， 又点 为线段 的中点，所以 ， ， 所以直线 的斜率为 ， 所以直
12、线 的方程为 ，即 （ 3）直线 恒过定点 因为椭圆的右准线方程为 ，所以设 点坐标为 ，圆心 坐标为 ， 因为直线 ， 是圆 的两条切线，所以切点 ， 在以 为直径的圆上 . 所以该圆方程为 ， 两圆方程相减，得直线 的方程 ， 即 ，由 得 所以直线 必过定点 . 点睛：定点的探索与证明问题 (1)探索直线过定点时，可设出直线方程为 ，然后利用条件建立 等量关系进行消元，借助于直线系的思想找出定点 - 9 - (2)从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关 20. 已知函数 ， ， （其中 是自然对数的底数） （ 1）若曲线 在点 处的切线与直线 垂直，求实数 的值； （ 2）记函数
13、，其中 ，若函数 在 内存在两个极值点，求实数 的取值范围； （ 3）若对任意 ， ，且 ，均有 成立，求实数 的取值范围 【答案】（ 1） （ 2） （ 3） 【解析】试题分析：（ 1）根据导数几何意义得 ，解得实数 的值 ；（ 2）先求导数，再根据存在两个极值点条件可得实数 的取值范围；（ 3）设 ，先根据函数单调性去掉绝对值 ，再移项构造函数： ，最后根据导数研究新函数单调性，由单调性转化不等式恒成立条件，解得实数 的取值范围 试题解析：（ 1）因为 ，所以 ， 因为 在点 处的切线与直线 垂直， 所以 ，解得 （ 2）因为 ， 所以 ， 因为 ，所以当 或 时， ；当 时， ， 所以
14、在区间 和 单调递增；在 单调递减， 即当 时， 取极大值，当 时， 取极小值， 因为函数 在 内存在两个极值点，所以 （ 3）因为 函数 在 上单调递增，所以 ， 所以 对任意的 ， ，且 恒成立，等价于对任意的 ， ，且 恒成立，等价于对任意的 ， ，且 恒成立， 即 对任意 ， ，且 恒成立， 所以 在 上是单调递增函数， 在 上是单调递减函数， - 10 - 由 在 上恒成立， 得 在 恒成立，即 在 恒成立， 而 在 上为单调递增函数，且在 上取得最小值 1， 所以 ， 由 在 上恒成立， 得 在 上恒成立，即 在 上恒成立， 令 则 ，令 ，得 ， 因为 在 上递增，在 上单调递减， 所以 在 上取得最大值 ，即 ， 所以实数 的取值范 围为 点睛：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求
