1、 1 宿迁市 20162017 学年度第一学期高二期末考试 数 学 （考试时间 120分钟，试卷满分 160分 ) 参考公式： 样本数据 12, , , nx x x 的方差 2211 ()n iis x xn ?，其中11 n iixxn ? ?. 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5分，共计 70 分请把答案填写在 答题卡相应位置上 1. 写出命题 “ 若 22ab? ，则 | | | |ab? ” 的逆 命题 . 2. 抛物线 2 4yx? 的 焦点 坐标 是 . 3. 如图所示的伪代码，如果输入 x的值为 5，则输出的结果 y为 . 4. 如图，在一个面积为 8的矩形中随机撒一
2、粒黄豆，若黄豆落到阴影部分的概率为 14 ， 则阴影部分的面积为 . 5. 如图是一个算法流程图，则输出 的结果 S 为 . 6 某学校对高二 年级期中考试数学成绩进行 分析，随机抽取了 分数在 100,150 的 1000名 学生的成绩，并根据这 1000名学生的成绩画出频率分布直方图 （如图所示） ，则成绩 在 120， 130)内的学生共有 人 7. 设函数 1( ) lnf x xx?，则函数 ()y f x? 的单调递增区间是 . 8. 如图，直线 l是曲线 ()y f x? 在 3x? 处的切线， ()fx? 表示函数 ()fx的导函数， 开始 结束 输出 S 11n? 3nn?
3、Y N 0, 1Sn? （第 5 题） S S n? Read x If x5 Then y2x -2 Else yx 2-2 End If Print y （第 3 题） （第 4 题） 0.015 0.020 100 110 120 130 140 150 0.025 a 0.010 O 成绩 (分 ) 频率 /组距 （第 6 题） O y x l 3 3 5 （第 8 题） y=f(x) 2 则 (3) (3)ff? 的值为 . 9. 已知 AB 是圆 22: 4 2 0C x y x y a? ? ? ? ?的一条弦， (1,0)M 是弦 AB 的中点， 若 3AB? ，则实数 a 的
4、值是 . 10.如图，椭圆 ? ?22 10xy abab ? ? ?+ 的上、下顶点分别为 2B , 1B ,左、右顶点分别为 1A , 2A ，若线段 22AB 的垂直 平分线恰好经过 1B ，则椭圆的离心率是 . 11.若 函数 321( ) 33f x x x x a? ? ? ?有三个不 同 的 零点 ，则 实数 a 的取值范围是 . 12.若方程 21 ( 2)x a x? ? ? 有两个不相等实数根，则实数 a 的取值范围是 . 13.在平面直角坐标 xOy 中，已知 (1,0)A , (4,0)B ，圆 22( ) 1x a y? ? ? 上存在唯一的点 P 满足 12PAPB
5、? ，则实数 a 的取值集合是 . 14. 设 a 0，函数 f(x) x a2x， g(x) x lnx，若对任意的 x2 1e ， 1，存在 1 1 ,1ex? ， f(x1) g(x2)成立，则实数 a的取值范围 是 . 二、解答题 : 本大题共 6小题， 15 17 每小题 14分， 18 20 每小题 16分，共计 90 分请在 答题 卡指定的区域内作答 ，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.（本小题满分 14分） 如 图是甲、乙两位同学高二上学期历史成绩的茎叶图，有一个数字被污损，用 a （ 38a 且a?N ）表示 . （ 1）若 乙同学算出自己历史平均成绩是 92
6、分，求 a 的值及乙同学历史成绩的方差； （ 2） 求甲同学历史平均成绩不低于乙同学历史平均成绩的概率 . 16.（本小题满分 14分） 8 9 5 4 3 0 8 6 8 甲 乙 2 a 8 （第 15 题） x O y B2 A2 B1 A1 （第 10 题） 3 h r （第 18 题） 已知 :p 2 2 8 0xx? ? ? ， :q ( 1 ) ( 1 ) 0 ( 0 )x m x m m? ? ? ? ?. （ 1）使 p 成立的实数 x的取值集合记为 A， q 成立的 实数 x 的取值集合记为 B， 当 2m? 时，求 AB； （ 2） 若 p 是 q 的充分不必要条件，求实数
7、 m 的取值范围 . 17. （本小题满分 14 分） 已知圆 ? ?2 2 2:0O x y a a? ? ?，点 ? ? ? ?0,4 , 2 2AB， . （ 1）若线段 AB 的中垂线与圆 O 相切，求实数 a 的值 ； （ 2）过直线 AB 上的点 P 引圆 O 的两条切线，切点为 ,MN，若 60MPN?， 则称点 P 为 “ 好点 ” . 若直线 AB 上有且只有两个 “ 好点 ” ，求实数 a 的取值范围 . 18. （本小题满分 16 分） 某工厂 打算建造如图所示的圆柱形容器（不计厚度，长度单位：米），按照设计要求 ， 该 容器的 底面半径为 r ，高为 h ， 体积为 1
8、6 立方米，且 2hr .已 知圆柱的侧面部分每平方米建造费用为 3 千元，圆柱的上 、 下底面部分每平方米建造费用为 a 千元，假设该容器的建造费用仅与其表面积有关，该容器的建造 总 费用为 y 千元 （ 1）求 y 关于 r 的函数表达式，并 求出 函数的定义域； （ 2） 问 r 为多少时， 该容器建造 总 费用最小 ？ 4 19.（本小题满分 16分） 已知椭圆 22 1( 0)xy abab? ? ? ?的左 、 右焦点分别为 F1， F2，左 、 右顶点分别为 A1， A2， 上 、 下顶点分别为 B2， B1， 22BOF? 是斜边 长 为 2 的等腰直角三角形 ， 直线 l 过
9、 A2且垂直于 x 轴 ， D 为 l上异于 A2的 一动点，直线 A1D 交椭圆于点 C. （ 1）求椭圆的标准方程 ； （ 2）若 A1C=2CD，求直线 OD的方程 ； （ 3）求证： OCOD? 为定值 . 20.（本小题满分 16分） 已知函数 ( ) exfx? ， 2( ) 2 ( ) ( )g x x x a f x a? ? ? ? ? R， 12,xx是两个任意实数且 12xx? . （ 1）求函数 ()fx的图象 在 0x? 处的切线方程； （ 2） 若函数 ()gx 在 R 上是增函数，求 a 的取值范围； （ 3）求证： 1 2 1 212( ) ( )()2x x
10、f x f xf xx? ?. 5 数学 参考答案与评分标准 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5分，共计 70 分请把答案填写在 答题卡相应位置上 1.若 | | | |ab? ，则 22ab? ； 2. (1,0) ； 3. 23； 4. 2； 5. 22； 6 300； 7. 1+?（ ， ） ； 8. 73； 9. 34 ； 10. 63； 11. 5( 9, )3?； 12. 3( ,03?； 13. ? ?3, 1,1,3? ； 14. 1 , )e ?； 二、解答题 : 本大题共 6小题， 15 17 每小题 14分， 18 20 每小题 16分，共计 90 分请在 答题
11、 卡指定的区域内作答 ，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.（ 1）因为乙同学历史平均成绩是 92分，所以 8 6 8 8 9 2 9 8 9 0 925 a? ? ? ? ? ?， 解得 6a? . ? 3分 此时乙同学的历史成绩的方差为 2 2 2 2 21 ( 9 2 8 6 ) ( 9 2 8 8 ) ( 9 2 9 2 ) ( 9 6 9 2 ) ( 9 8 9 2 ) 5 ? ? ? ? ? ? ? ? ?=1045 ；? 6分 （ 2）甲同学的历史平均成绩为 8 8 9 0 9 3 9 4 9 5 925? ? ? ? ?分， ? 8分 若甲的历史 平均成绩不低于乙同
12、学历史平均成绩， 则 8 6 8 8 9 2 9 8 9 0 925 a? ? ? ? ? ，得 6a . ? 10 分 因为 38a ,所以 36a 且 a?N ， 记 甲同学历史平均成绩不低于乙同学历史平均成绩为事件 A , 则事件 A 包含 4个基本事件，而基本事件 总数 共 有 6个， 所以事件 A 的概率 42( ) =63PA ?. ? 13分 答：（ 1） a 的值 为 6， 乙同学历史成绩的方差 为 1045； （ 2） 甲同学历史平均成绩不低于乙同学历史平均成绩的概率 为 23.? 14分 16.（ 1） 因为 2 2 8 0xx? ? ? ，所以 42x? ? ? ，则 A
13、 ? ?| 4 2xx? ? ? ? ； ? 2分 因为 ( 1 ) ( 1 ) 0 ( 0 )x m x m m? ? ? ? ?，所以 11m x m? ， 所以 ? ?| 1 1B x m x m? ? ? ， ? 4 分 当 2m? 时， ? ?| 1 3B x x? ， ? ? 6 分 6 所以 ? ?| 1 2A B x x?= . ? 7分 （ 2）因为 p 是 q 的充分不必要条件， 所以 pq? 且 qp ， ? 10 分 则 1412mm? ? ， ? 12分 解得 m 5 ， 所以当 5m 时， q 是 p 的必要不充分条件 . ? 14分 17.（ 1） 由 ? ? ?
14、 ?0,4 , 2 2AB， 得 AB 的中点坐标为 ? ?1,3 ，直线 AB 的斜率为 1? ， ?.2 分 所以 AB 的中垂线方程为 ? ?3 1 1yx? ? ? ? ，即 20xy? ? ? ， ?.4 分 又因 为 AB 的中垂线与圆 O 相切 ， 所以圆心 O 到 AB 中垂线的距离 22 a?，即 2a? . ?6 分 （ 2）连接 ,POOM ， 在 POM?Rt 中 ， 30O P M O M a? ? ?， ， 所 以 22PO OM a?， ?.8 分 所以点 P 的轨迹是以 O 为圆心， 2a 为半径的圆，记为圆 O? ， 则圆 O? 的 方程为 2 2 24x y
15、 a? ， ?.10 分 又因为直线 AB 的方程为 40xy? ? ? ，且直线 AB 上有且只有两个 “ 好点 ”， 则直线 AB 与 圆 O? 相交， 所以圆心 O 到直 线 AB 的距离 4 22 a?， 故 实数 a 的取值范围 是 ( 2, )? . ?.14 分 18.（ 1）设容器的容积为 V , 由题意 知 2= 16V r h? ，故216h r?， ? ?.2 分 因为 2hr? ，所以 02r? ， ?.4 分 故建造费用 222162 3 2 6 2y r h r a r r ar? ? ? ? ? ? ? ? ?, 即 2 962 , 0 2y a r rr? ?
16、? ?. ?.6 分 （ 2）由（ 1）得 ? ?296 4 0 2y a r rr ? ? ? ?， 令 0y? 得3 32r a?, ?.8 分 7 当3 30 2 2a?即 3a? 时 , 若3 30,2r a?，则 0y? ，函数单调递减 ； 若3 32 ,2r a?，则 0y? ，函数单调递增 ； 所以3 32r a?时，函数取得极小值，也是最小值 . ?.12 分 当3 322a?即 03a?时 ， 因为 ? ?0,2r? ，则 0y? ，函数单调递减 ； 则 2r? 时，函数取得最小值 . ?.14 分 综上所述： 若 3a? ，当3 32r a?时 ， 建造 总 费用最少 ； 若 03a?，当 2r? 时 ， 建造 总 费用最少 . ?.16 分 19.（ 1） 因为 22BOF? 是斜边 长 为 2 的等腰直角三角形 ， 所以 2,a b c?， 又因为 2 2 2a b c?，所以 2 2b? ， 所以 椭圆 标准 方程为 22142xy?. ?4 分 （ 2）设 11( , )Cx y ， 2(2, )Dy， 因为 AC=2CD， 所以 2AC CD? , 所以有
