1、 - 1 - 福建省永春县 2016-2017 学年高二数学上学期期末考试试题 理 本试卷分第 I 卷和第 II 卷两部分 第 I 卷（选择题） 一、 选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求，每小题选出答案后， 请把答案填写在答题卡相应位置上 . 1设集合 | 0 3M x x? ? ?，集合 2 | 2 0N x x x? ? ? ?，则 MN等于（ ） A. |0 1xx? B. |0 2xx? C. |0 1xx? D. |0 2xx? 2. 抛物线 24yx? 的焦点坐标为（ ） A. (1,0) B. (0,1)
2、 C. 1( ,0)16 D. 1(0, )16 3. 已知命题 p ： 若 0x? ， 则 1 2x x?；命题 q ： 若 11x? ，则 1x? 则下列命题为真命题的是 （ ） A pq? B pq? C pq? D pq? 4. 命题 “ 若 1x? ，则 2 1x? ” 的逆命题、否命题、逆否命题中， 真 命题的个数是 （ ） A 0 B 1 C 2 D 3 5. “ 双曲线的方程为 2219 16xy?” 是 “ 双 曲线的渐近线方程为 43yx? ” 的 （ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 6 已知 ABC 的 内角 ,ABC
3、所对的边 分别为 ,abc.若 2a? ， 23b? ， 30A? ， 则 B 等于 （ ） A 30 B 60 C 30 或 150 D 60 或 120 7若 x,y 满足 2x-y0x+y3x0，则 2x+y 的最大值为 （ ） A. 0 B. 3 C. 4 D. 5 8空间四边形 OABC 中，点 M 在 OA 上，且 12OM MA? ，点 N 为 BC 的中点 若 OA?a ，OB?b ， OC?c ，则 MN 等于 （ ） - 2 - A 111322?a b c B 111322? ? ?a b c C 1 1 12 2 2?a b c D 1 1 12 2 2? ? ?a b
4、 c 9. 已知 12,FF分别为 双曲线 221xy?的左，右焦点， 点 P 在 双曲线上 若 1260FPF?，则 12PFF 的面积为 （ ） A 32 B 3 C 332 D 23 10. 若 ,mn为两个不相等的非零实数，则方程 0mx y n?与 221xymn?所表示的曲线可能是 （ ） 11. 已知 12,FF分别为 椭圆 22125 16xy?的左，右焦点 若 M 为椭圆上的一点，且 12MFF 的内切圆的周长等于 3? ，则满足条 件的点 M 的个数为 （ ） A 0 B 1 C 2 D 4 12 在我国古代著名的数学专著九章算术里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去
5、长安一千一百二十五里 .良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢 . 问： 几日 相逢 ？（ ） A 8 日 B 9 日 C 12 日 D 16 日 第 卷 二 、 填空题 ： 本大题共 4 小 题，每小题 5 分， 13. 双曲线 2216 9 144xy?的 离心率为 _ 14图 中 是抛物线形拱桥，当水面在 l 时，拱顶离水面 2 m， 水面宽 4 m水位 上升 1m 后，水面宽 _ m 15在平行六面体 1 1 1 1ABCD A B C D? 中， 4AB? ， 3AD? ， 1 4AA? ， 90BAD?， 11 60BAA
6、D AA? ? ? ?，则 1AC 的长等于 - 3 - 16 设 ABC 的内角 A 、 B 、 C 所对的边 a 、 b 、 c 成等比数列，则 baab? 的取值范围 为_ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17 （ 本小题满分 12 分 ） 已知 等差 数列 na 的 首项 1 2a? ，公差 0d? ，且 1 3 9,a a a 成等比数列 （ ）求数列 na 的通项公式 ； （ ） 2nn nab?， 求数列 nb 的的前 n 项和为 nT 18 （本小题满分 12 分 ） 如图，在正方体 1 1 1 1ABCD A B C D? 中， ,EF分别 是 1 1 1
7、,CC BC 的中点 （ ） 求 1AF 与 1AD 所成角的余弦值 ； （ ） 求证： 1AF /平面 1ADE . FEC 1D 1B 1A 1D CBA- 4 - 19（本小题满分 12 分） 已知动圆 C 过定点 (1,0)F 且与定直线 l ： 1x? 相切，动圆圆心 C 的轨迹为曲线 E （ ） 求曲线 E 的方程； （ ） 过点 F 作倾斜角为 60 的直线 m ，交 曲线 E 于 ,AB两点，求 AOB 的面积 20 （本小题满分 12 分） 如图，在四棱锥 P ABCD? 中，底面 ABCD 为 矩形，侧面 PAD? 底面 ABCD ，2AB? ， 2AD? ， PA PD?
8、 （ ） 求证： PB AC? ； （ ） 设 AC 与平面 PCD 所成的角为 45 ，求二面角 A PB C?的余弦值 . D CBAP21 （本小题满分 12 分） 已知过点 ( 2,0)D? 的直线 l 与椭圆 2 2 12x y?交于不同的 ,AB两点，点 M 是 AB 的中点 . - 5 - （ ） 若四边形 OAPB 是平行四边形，求点 P 的轨迹方程； （ ） 求 |MAMD的取值范围 . 22 （ 本小题满分 10 分 ） 已知函数 ( ) | 1|f x x? （ ） 解不等式 ( ) ( 3) 5f x f x? ? ?； （ ） | | 1a? ， | | 1b? ，
9、0a? ，求证： ( ) | | ( )bf ab a f a? - 6 - 永春一中高二数学（理）期末试卷 参考答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A D C C A D C B B B C B 13. 53 14 22 15 69 16 2, 5) 17 解 ： （ ） 因为 1 3 9,a a a 成等比数列，所以 23 1 9a aa? ，即 2(2 2 ) 2 (2 8 )dd? ? ? ?， 2 20dd?， 0d? ， 2d? ， 2 ( 1) 2 2na n n? ? ? ? ?， 数列 na 的通项公式 为 nan? （ ） 由 （ ） 得 2nan?
10、 ，则12n nnb ?， 1 2 2 12 3 11 2 2 2 2n nnnnT ? ? ? ? ? ?，2 3 11 1 2 3 12 2 2 2 2 2n nnnnT ? ? ? ? ? ?， 所以 1 2 3 11 1 1 1 112 2 2 2 2 2n nn nT ? ? ? ? ? ? ?， 1 2 1 11 1 12 (1 )2 2 2 2n nn nT ? ? ? ? ? ?111 ( )22 1212nnn? ? ? 124 2nn ? 18解：不妨 设正方体的棱长为 1，以 1,DA DC DD 为单位正交基底 建立空间直角坐标系Dxyz ， 如图所示 则 (1,0,0
11、)A ， 1(1,0,1)A ， 1(0,0,1)D ， 1(0,1, )2E ， 1( ,1,1)2F . （ ） 解：1 1( ,1,0)2AF ?， 1 ( 1,0,1)AD ? ，1 5|2AF?， 1| | 2AD? ， 11 11( 1 ) 1 0 0 122A F A D? ? ? ? ? ? ? ? ? ?. 所以 1111111102c o s ,10| | | | 5 22A F A DA F A DA F A D? ? ? ? ? ?. 因此， 1AF 与 1AD 所成角的余弦值是 1010 . （ ） 证明：方法一：取 1AD 的中点 M ，连接 ME ，则 11( ,
12、0, )22M ， 1( ,1,0)2ME ? . 所以 1AF ME? ，即 1AF / ME ， FEMC 1D 1B 1A 1D CBAzyx- 7 - 又 1AF? 平面 1ADE ， ME? 平面 1ADE ，因此 1AF /平面 1ADE . 方法二：1 1( ,1,0)2AF ?， 1 ( 1,0,1)AD ? ， 1( 1,1, )2AE ? ， 1112A F AD AE? ? ?，即 1AF 与 1AD ， AE 共面，又 1AF? 平面 1ADE ，因此 1AF /平面 1ADE . 方法三： 1 ( 1,0,1)AD ? ，1 1(0,1, )2DE?， 设 ( , ,
13、 )n x y z? 是平面 1ADE 的一个法向量，则 1n AD? ， 1n DE? ， 1100n ADn DE? ?， 0102xzyz? ? ? ?，令 2z? ，得 2x? ， 1y? ， (2,1,2)n? . 又1 1( ,1,0)2AF ?， 故1 1( 2 , 1 , 2 ) 2 ( ) 1 1 2 0 02n A F? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，所以 1n AF? . 又 1AF? 平面 1ADE ， 因此 1AF /平面 1ADE . 19 解： （ ） 依题意知，点 C 到定点 F 和 直线 l 的距离相等， 所以点 C 的轨迹是以点 F 为焦点，以 直线
14、l 为准线的抛物线， 设抛物线的方程为 2 2y px? （ 0p? ），由 12p? ，得 2p? ， 故曲线 E 的方程为 2 4yx? （ ） 直线 m 的方程为 3( 1)yx?， 由23( 1)4yxyx? ? ?消去 x 整理得 23 4 3 12 0yy? ? ?， 设 11( , )Ax y ， 22( , )Bx y ，则124 33yy?， 12 4yy? ， 121 | | | |2A O BS O F y y? ? ? ? ? 21 2 1 21 1 ( ) 42 y y y y? ? ? ? ?1 16 416 32 3 3? ? ? ? 所以， AOB 的面积为 4
15、33 20 （ ） 证明 ：分别取 AD ， BC 的中点 O ， E ，连接 ,POOE ，由 PA PD? ，得 PO AD? ， 因为 侧面 PAD? 底面 ABCD ，侧面 PAD 底面 ABCD AD? ， PO? 平 面 PAD ， BAClO Fyx- 8 - 所以 PO? 底面 ABCD .在 矩形 ABCD 中， OE AD? ， 则 ,OAOE OP 两两互相垂直 . 以 O 为原点， 分别以 ,OAOE OP 的方向 为 x 轴 、 y 轴 、 z轴 的 正方向，建立空间直角坐标系 Oxyz ， 如图所示 则 (1,0,0)A ， (1, 2,0)B ， ( 1, 2,0
16、)C ? ， 设 (0,0, )Pt（ 0t? ）， 所以 ( 2, 2,0)AC ? ， (1, 2, )PB t?， 所以 1 ( 2 ) 2 2 ( ) 0 0P B A C t? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 因此 PB AC? ， 得 PB AC? （ ） 解 法一： ( 1,0,0)D? ， (0, 2,0)DC ? ， (1,0, )DP t? 设 ( , , )m x y z? 是平面 PCD 的一个法向量，则 m DC? ， m DP? ， 00m DCm DP? ?， 020x tzy?，令 xt? ，得 0y? ， 1z? ， ( ,0, 1)mt? 又 ( 2,
17、 2,0)AC ? ， cos ,AC m?| | | |AC mAC m? ?22| | | | 16A C m tA C m t? ? 因为 AC 与平面 PCD 所成的角为 45 ，所以 sin 4 5 | co s , |AC m? ? ?， 222|216tt ? ? ， 3t? (0,0, 3)P ， (0, 2,0)AB ? ， (1, 2, 3)PB ?， 设 1 1 1 1( , , )n x y z? 是平面 PAB 的一个法向量，则 1n AB? ， 1n PB? ， 1100n ABn PB? ?， 11 1 1202 3 0yx y z? ? ? ?，令 1 3x?
18、，得 10y? ， 1 1z? ，1 ( 3,0,1)n ? ( 2,0,0)BC ? ， (1, 2, 3)PB ?， 设 2 2 2 2( , , )n x y z? 是平面 PAB 的一个法向量，则 2n BC? ， 2n PB? ， 2200n BCn PB? ?， 22 2 2202 3 0xx y z? ? ?，令 2 3y? ，得 2 0x? ， 2 2z ? ，2 (0, 3, 2)n ? zyxEOD CBAP- 9 - 所以 1212 12co s , | | | |nnnn nn? ? ?2 101025? 因此，二面角 A PB C?的余弦值为 1010? . 解 法二： 作 AF PD? ，垂足为 F ，连接 CF ，如图所示 设 ( ,0, )Fx z ，则 ( 1,0, )AF x z? ， (0, 2,0)DC ? ， ( 0 , 2 , 0 ) ( 1 ) 0 0 2 0 0A F D C x z? ? ? ? ? ? ?
