1、 1 B1 A1 C B A C1 D F 广东省广州市番禺区 2016-2017学年高二数学上学期期末考试试题 理 一、选择题：本大题共 12个小题；每小题 5分，共 60分在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的 1.集合 ? ? ? ?RxyyBRxxyyA x ? ,2,1,则 AB? 等于 ( ) A. ? ?,0 B. ?1,0 C. ? ?1,2 D. ? ?)2,1(),1,0( 2 已知复数 z的共轭复数 为 z 1 2i(i为虚数单位 )，则 z在复平面内对应的点位于 ( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3. 下列函数中，满足“? ? ?
2、? ? ?f x y f x f y?”的单调递增函数是（ ） A.? ? 3f x ?B.? ? 12f x?C? ? xfxD.? ? 12 xfx ?4以下四个命题中，其中真命题的个数为（ ） 从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每 10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样； 对于命题 p: Rx? ,使得 012 ?xx .则 :p x R? ? ? ,均匀 012 ?xx “x 0” 是 “ln （ x+1） 0” 的充分不必要条件； 命题 p： “x 3” 是 “x 5” 的充分不必要条件 A 1 B 2 C 3 D 4 5 若直线:1l y kx?被圆 C：
3、22 2 3 0y x? ? ? ?截得的弦最短，则直线l的方程是（ ） A1y?B10xy? ? ?C? ? ?D0x?6.已知等比数列 na 中 ，各项都是正数，且1 3 21, ,22a a a成等差数列，则 9 1078aaaa? ? （ ） A 2 B 3 2 2? C 3 2 2? D 3 7在三棱柱 ABC A1B1C1中， D 是 CC1的中点， F是 A1B 的 中点，且 ACABDF ? ? ，则 ( ) A 1,21 ? ? B 1,21 ? ? C 21,1 ? ? D 21,1 ? ? 8已知某锥体的三视图（单位： cm ）如图所示，则该锥体的体积为 ( ) 2 （第
4、 8 题图） 正视图 侧视图 俯视图 2 2 2 1 A 2 3cm B 4 3cm C 6 3cm D 8 3cm 9.执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（ ） A 16 B 17 C 18 D 19 10设椭圆 22 1( 0)xy abab? ? ? ?的离心率为 12e? ，右焦点 为 F（ c, 0）， 方程 2 0ax bx c? ? ? 的两个实 根分别为 x1和 x2，则点 P（ x1, x2）（ ） A 必在圆 222xy?外 B必在圆 222xy?上 C 必在圆 222xy?内 D以上三种情形都有可能 11已知一个三角形的三边 长分别是 5， 5， 6，一只蚂蚁在其内部
5、爬行，若不考虑蚂蚁的大小，则某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过 2的概率是（ ） A 1 B 1 C 1 D 1 12若偶函数 ()fx的图像关于 1x? 对称，且当 0,1x? 时， ()f x x? ，则函数 ()y f x? 的图象与函数 lgyx? 的图象的交点个数为 （ ） A. 14 B. 16 C. 18 D. 20 二、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分，把答案写在答题卡相应位置上 13.已知向量 ,ab的夹角为 45 ，且 | | 1a? ， | 2 | 10ab? ，则 |b? . 14.记不等式组 03434xxyxy?所表示的平面区域为 D ，
6、若直线 ( 1)y a x?与 D 有公共点，则 a 的取值范围是 . 第 9题 S=0 , n=1 3 15球 O 内有一个内接正方体，正方体的全面积为 24，则球 O的体积是 16、 设点 A 、 ? ?,0Fc 分别是双曲线 2222 1( 0 , 0 )xy abab? ? ? ?的右顶点 、 右焦点 ,直线 2ax c? 交 该双曲线的一条渐近线于点 P 若 PAF? 是等腰三角形 ,则此双曲线的离心率为 三、解答题 （本大题共 6小题，共 70 分 .解答应写出文字说 明、证明过程或演算步骤 .） 17. （ 本题 满分 10分） 己知函数)20,0)(cos (2)( ? ? x
7、xf的最小正周期为?，直线24?x为它的图象的一条对称轴 (1)当245,245 ?时，求函数)(xf的值域； (2)在cbaABC ,中?分别为角CBA ,的对应边，若3,2)2( ? aAf，求cb?的最大值 18（ 本题 满分 12分） 为选拔选手参加 “ 中国汉字听写大会 ” ，某中学举行了一次 “ 汉字听写大赛 ”活动为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为 100分）作为样本（样本容量为 n）进行统计按照 50， 60）， 60， 70）， 70， 80）， 80，90）， 90 ,100的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅
8、列出了得分在50， 60）， 90 ,100的数据） （ 1）求样本容量 n和频率分布直方图中的 x、 y的值； （ 2）在选取的样本中，从竞赛成绩在 80分以上（含 80分）的学生中随机抽取 2名学生参加 “ 中国汉字听写大会 ” ，求所抽取的 2名学生中至少有一人得分在 90， 100内的概率 4 19 （ 本题 满分 12 分） 已知递增的等差数列?na中，2、5是方程027122 ? xx的两根，数列?nb的前 项和为S，且nn bS 211?（?Nn） 求数列na，?b的通项公式； 记nn bac ?，数列nc的前 项和为T求证 ：n2?20. （本小题满分 12 分） 如图， AB
9、CD 是块矩形硬纸板，其中 ADAB 2? , 2?AD ,E 为 DC的中点，将它沿 AE 折成直二面角 BAED ? . (1)求证： ?AD 平面 BDE ； (2)求二面角 EADB ? 的余弦值 . 5 21. （本小题满分 12 分） 已知椭圆 C 的中心在坐标原点，离心率 22e? ，且其中一个焦点与抛物线 214yx? 的焦点重合 . （ 1）求椭圆 C 的方程； （ 2）过点 1( ,0)3S? 的动直线 l 交椭圆 C 于 ,AB两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点 T ，使得无论 l 如何转动，以 AB 为直径的圆恒过点 T ？若存在，求出点 T 的坐标；若不存在，请
10、说明理由 . 22 （本题满分 12分） 设 a 为实数 ,记函数 xxxaxf ? 111)( 2 的最大值为 )(ag . (1)设 xxt ? 11 ， 求 t 的取值范围 ,并把 )(xf 表示为 t 的函数 ()mt ; (2)求 )(ag ; (3)试求满足 )1()(agag ?的所有实数 a . 6 2016 学年第一学期期末考试高二年级数学（理科） 参考答案 一、选择题： ADCAB CBAAC CD 11解： 三角形的三边长分别是 5， 5， 6， 三角形的高 AD=4， 则三角形 ABC的面积 S= 64=12 ， 则该蚂蚁距离三角形 的三个顶点的距离均超过 2， 对应的
11、区域为图中阴影部分，三个小扇形的面积之和为一个 整圆的面积的 ，圆的半径为 2，则阴影部分的面积为 S1=12 22=12 2 ，则根据几何概型的概率公式可得所求是概率为 =1 ，故选： C 二、填空题： 13. 32 14. ? ?12， 4 15 ?34 16. 2 三、解答题 17.解： （ ） 函数)(xf的最小正周期为2,2 ? ?, ? 1分 24?x为 的图象的一条对称轴 ,?12)20()24( ? ? k? 2分 )122cos(2)( ? xxf? 3分 , ?245,245 ?，2,3122 ? ?x， ?1,0)122cos( ? ?x,)(xf的值域为,0? 5分 （
12、 ）2)12cos (2)2( ? ?AAf，22)12cos ? ?A12111212 ? ? A? ， 412 ? ?A ， 3?A ? ? 7分 bccbAbccba 3)(c o s2 2222 ? ， 22 )2(3939)( cbbccb ? ? 9分 6? cb .当且仅当3?b时取等号 .故 的最大值为 6 ? 10分 18解：（ 1）由题意可知，样本容量 n= =25， y= =0.008， x=0.100 0.008 0.012 0.016 0.040=0.024 ? （ 4分） (2)由题意可知 ,分数在 80， 90）内的学生有 3人 ,分 数在 90 ,100内的学生
13、有 2 人 ,抽取的 2名学生的所有情况有 10种 , 其中 2名同学的分数至少有一名得分在 90 ,100内的情况有 7种 , 7 所抽取的 2名学生中至少有一人得分在 90， 100内的概率为 ? （ 12 分） 19.解027122 ? xx得31?， 92?x，因为?na是递 增，所以32?，95a? 1分 解? ? ? 3941215 da daa得?11d，所以12 ?nn? 2分 在nn b211s ?中，令1?得1 211 bb ?，32? 3分 ， 当2?时，nn bS 21，1n1n b211s ? ?，两式相减得nnn bbb 211 ? 4分 311?nb，?是等比数列
14、 ? 5分 ，所以nnn b 32)31( 11 ? ? 6分 nnnn nbac 3 24 ? 7分 nnn nnT 3 243 2)1(43 2343 2243 214 1321 ? ? 8分 12210 3 243 2)1(43 2343 2243 2143 ? ? nnn nnT ? 9分 两式相减得：nnn nT 3 243 43434 121 ? ?nn3 444 ?， ? 10分 所以nn nT 3 222 ?2? 12分 20.方法一 (1)证明：由题设可知 DEAD? ，取 AE 的中点 O ，连结 BEOD, . 2? DEAD? AEOD? . 1 分 又 ?二面角 BA
15、ED ? 为直二面角 . ?OD 平面 ABCE BEOD? 3分 又 2?BEAE? 22?AB 222 BEAEAB ? BEAE? 又 OAEOD ? ?BE 平面 ADE ADBE? 5分 又 EDEBE ? ?AD 平面 BDE 6分 (2)由 (1)知 ?AD 平面 BDE DBAD? DEAD? BDE? 就是二面角 EADB ? 的平面角 8分 又 ?BE? 平面 ADE DEBE? 在 BDERt? 中， 622 ? DEBEBD 10分 8 33c o s ? BDDEBD E ?二面角 EADB ? 的余弦值为 33 12 分 方法二 (1)证明：由题设可知 DEAD? ，取 AE 的中点 O ，连结 BEOD, . 2? DEAD? AEOD? . 1分 又 ?二面角 BAED ? 为直二面角 , ?OD 平面 ABCE 3分 又 2?BEAE? 22?AB 222 BEAEAB ? BEAE? 取 AB 的中点为 F ，连结 OF ，则 EBOF/ AEOF? 4分 以 O 为原点， ODOFOA , 所在直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系（如图） 则 )0,0,1(A , )1,0,0(D , )0,2,1(?B , )0,0,1(?E , 于是 )1,0,1(?AD ， )1,2,1( ?BD ， )0,2,0(?EB
