1、 1 北京市西城区 2016-2017 学年高二数学下学期期末考试试题 理 试卷满分： 150 分 考试时间： 120 分钟 题号 一 二 三 本卷总分 15 16 17 18 19 20 分数 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的 . 1. 复数 2i1i? （ ） （ A） 1i? （ B） 1i? （ C） 1i? （ D） 1i? 2. 已知函数 ( ) e xfx ? ，则 ( 1)f?（ ） （ A） 1e （ B） 1e? （ C） e （ D） e? 3. 甲射击命中目标的概率为 12 ，乙射击命中目标的
2、概率为 13 . 现在两人同时射击目标，则 目标被击中的概率是 （ ） （ A） 14 （ B） 13 （ C） 23 （ D） 56 4. 已知函数 ()fx在 R 上可导，其部分图象 如图所示，设 (2) (1)21ff a? ? ，则下列不等式正确的是（ ） （ A） (1) (2)a f f? （ B） (1) (2)f a f? （ C） (2) (1)f f a? （ D） (1) (2)ffa? 5. 直线 yx? 与抛物线 2yx? 所围成的封闭图形的面积是（ ） （ A） 112 （ B） 18 （ C） 16 （ D） 14 6. 用 1,2,3,4 四个数字 组成 无 重
3、复数字 的四位数 ， 其中 比 2000 大的偶数共有 （ ） （ A） 16个 （ B） 12 个 （ C） 9 个 （ D） 8 个 OO xO yO 1O 2O 2 7. 函数 ( ) 2 sinf x x x? 在区间 0, ? 上的最大、最小值分别为（ ） （ A） ,0? （ B） 2 ,02? （ C） ,14? （ D） 0, 14? 8. 5 个黑球和 4 个白球从左到右任意排成一排，下列说法正确的是 （ ） （ A） 总存在一个白球，它右侧的白球和黑球一样多 （ B） 总存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多 （ C） 总存在一个黑球，它右侧的白球比黑球少一个 （ D） 总
4、存在一个白球，它右侧的白球比黑球少一个 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 .把答案填在题中横线上 . 9. 曲线 1y x? 在 2x? 处切线的斜率为 _. 10. 4)12( xx? 展开式中的常数项是 _.（用数字作答） 11. 离散型随机变量 ? 的分布列为 : ? 1 2 3 p 1p 2p 14 且 2?E ，则 1p? _； 2p? _. 12. 某班举行的联欢会由 5 个节目组成，节目 演出顺序要求如下 : 节目甲不能排在第一个，并且节目甲必须和节目乙相邻，则该班联欢会节目演出顺序的编排方案共有 _种 13. 若函数 32()f x ax ax x?
5、 ? ?在区间 ( 1,0)? 上恰有一个极值点，则 a 的取值范围是_ 14. 已知，对于任意 x?R ， ex ax b?均成立 . 若 ea? ，则 b 的最大值为 _； 在所有符合题意的 ba, 中， ab? 的最小值为 _ 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分 .解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 . 3 15（本小题满分 13 分） 在数列 na 中， 11?a ， 121 ? nn anna，其中 1,2,3,n? . () 计算 2a ， 3a ， 4a ， 5a 的值； () 根据计算结果，猜想 na 的通项公式，并用数学归纳法加以证明 . 16（本小题满分 13
6、 分） 甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球 ， 命 中率分别为 21 与 p ， 且乙投球 2次均未命中的概率为 161 . () 求甲投球 2 次 ， 至少命中 1 次的概率； () 若甲、乙两人各投球 2 次 ， 求两人共命中 3 次的概率 . 17（本小题满分 13 分 ） 已知函数 32( ) 3f x x ax? . () 若 1?a ，求 )(xf 的极值点和极值 ； () 求 )(xf 在 0,2 上的最大值 . 4 18 （本小题满分 13 分） 一个袋中装有黑球，白球和红球共 n ( *n?N )个 ,这些球除颜色外完全相 同 . 已知从袋中任意摸出 1 个球，得到
7、黑球的概率是 52 . 现从袋中任意摸出 2 个球 . () 用含 n 的代数式表示摸出的 2 球都是黑球的概率，并写出概率最小时 n 的值 .（直接写出 n 的值） ( ) 若 15?n ，且摸出的 2 个球中至少有 1个白球的概率是 74 ，设 X 表示摸出的 2 个球中红球的个数，求随机变量 X 的分布列和数学期望 . 19 （本小题满分 14 分） 已知函数 2()f x ax bx?和 xxg ln)( ? . () 若 1?ba ，求证： ()fx的图象在 ()gx图象的上方； () 若 ()fx和 ()gx的图象有公共点 P ，且在点 P 处的切线相同， 求 a 的取值范围 .
8、20 （本小题满分 14 分） 已知函数 ( ) ( 1)exf x x? . （）求 ()fx的单调区间； （） 证明：当 0?a 时，方程 ()f x a? 在区间 (1, )? 上只有一个解； （） 设 ( ) ( ) ln ( 1 )h x f x a x a x? ? ? ?，其中 0?a .若 ( ) 0hx? 恒成立，求 a 的取值范围 . 5 北京市西城区 2016 2017 学年度第二学期期末试卷 高二数学（理科）参考答案及评分标准 2017.7 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 . 1. A； 2.D； 3. C ； 4. B ； 5. C； 6
9、. D； 7. C； 8. B . 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 . 9. 4?； 10. 24 ； 11. ,42?； 12. 42 ； 13. 1( , )5? ； 14. 0 ； 1e? . 注：一题两空的题目，第一空 2 分，第二空 3 分 . 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分 . 15.（本小题满分 13 分） 解： () 根据已知， 2 4a? ； 9 9a? ； 4 16a? ； 5 25a? . ? 4 分 () 猜想 2nan? . ? 6 分 证明： 当 1?n 时，由已知 11?a ； 由猜想， 21 11a ?，猜想成立 .
10、? 8 分 假设当 kn? （ k?*N ）时猜想成立，即 2kak? ， ? 10 分 则 1?kn 时， 221 )1(1212 ? kkkkakka kk. 所以，当 1nk?时，猜想也成立 . ? 12 分 由和可知， 2nan? 对任意的 *n?N 都成立 . ? 13 分 16.（本小题满分 13 分） 解： () 设 “ 甲投球一次命中 ” 为事件 A ， 则 11( ) , ( )22P A P A?. ? 2分 故甲投球 2 次至少命中 1 次的概率为 31 ( ) 1 ( ) ( ) 4P A A P A P A? ? ? ? ?. ? 5分 () 设 “ 乙投球一次命中
11、” 为事件 B . 由题意 得 1( ) (1 ) (1 ) 16P B B p p? ? ? ? ?， ? 7 分 解得 43?p 或 45 (舍去 )， 所以 31( ) , ( )44P B P B?. ? 8 分 6 甲、乙两人各投球 2 次共命中 3 次有 两 种情况 ： 甲中两次 ， 乙中 一 次 ； 甲中 一 次 ， 乙中两 次 . ? 9 分 甲中两次 ， 乙中 一 次 的概率为 12 1 1 3 1 3( ) ( ) ( ) ( ) 22 2 4 4 3 2P A P A C P B P B ? ? ? ? ? ?.? 11 分 甲中 一 次 ， 乙中 两 次 的概率为 12
12、 1 1 3 3 9( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 4 4 3 2C P A P A P B P B ? ? ? ? ? ?.? 12 分 事件“ 甲中两次 ， 乙中 一 次 ”与“ 甲中 一 次 ， 乙中 两 次 ”是互斥的，所以， 所求事件概率为 9 3 332 32 8?. 所以甲、乙两人各投 2 次 ， 共命中 3 次的概率为 38 . ? 13 分 17.（本小题满分 13 分） 解： () 当 1?a 时， 32( ) 3f x x x?， 2( ) 3 6f x x x? ?. ? 2 分 令 2( ) 3 6 0f x x x? ? ? ?，得 x? 或 2x? .
13、 ()fx? 与 ()fx在 R 上的情况如下： x ( ,0)? 0 (0,2) 2 (2, )? ()fx? ? 0 ? 0 ? ()fx 0 4? ? 4 分 所以，函数 )(xf 的极大值点为 0x? ，极大值为 0 ；极小值点为 2x? ，极小值为 4? . ? 6 分 () 2( ) 3 6 3 ( 2 )f x x a x x x a? ? ? ? ?. ? 7 分 当 0a? 时， ( ) 0fx? ? （仅当 0x? 时， ( ) 0fx? ? ），函数 )(xf 是增函数， )(xf 在 0,2 上的最大值为 (2) 8 12 8fa? ? ?. ? 8 分 当 0a? 时
14、，在区间 (0, )? 上 ( ) 0fx? ? ，函数 )(xf 是增函数 . )(xf 在 0,2 上的最大值为 (2) 8 12fa? . ? 10 分 当 0a? 时， ()fx? 与 ()fx在区间 (0, )? 上的情况如下： x 0 (0, 2 )a? 2a? ( 2 , )a? ? ()fx? 0 ? 0 ? ()fx 0 ( 2)fa? ? 11 分 此时， (0) 0f ? ， (2) 8 12fa? . 当 8 12 0a?，即 2 03 a? ? ? 时， )(xf 在 0,2 上的最大值为 (2) 8 12fa? . 12 分 当 8 12 0a?，即 23a? 时，
15、 )(xf 在 0,2 上的最大值为 (0) 0f ? . ? 13 分 综上，当 23a? 时， )(xf 在 0,2 上的最大值为 0 ；当 23a? 时， )(xf 在 0,2 上7 的最大值为 8 12a? . 18.（本小题满分 13 分） 解： ( ) 依题意有 n52 个黑球 . 记“摸出的 2 球都是黑球”为事件 A ， 则225 222( 1 ) 4 1 055() ( 1 ) 2 5 2 5nnC nn nPA C n n n? ? ? ?. ? 4 分 ()PA最小时 5?n . ? 5 分 ( ) 依题意有 2 15 65?个黑球 . ? 6 分 设袋中白球的个数为 x
16、 (个 )，记“从袋中任意摸出两个球至少得到一个白球”为事件 B ， 则 215215 4( ) 1 7xCPB C ? ? ?，整理得 2 29 120 0xx? ? ?， 解得 5x? 或 24x? （ 舍） . ? 8 分 所以袋中 红球的个数为 4 (个 ).随机变量 X 的取值为 0,1,2 . ? 9 分 211215 11( 0 ) 21CPX C? ? ?； 114 1 1215 44( 1) 105CCPX C? ? ?； 24215 2( 2 ) 35CPX C? ? ?. X 的分布列为： ? 12 分 数学期望 1 1 4 4 2 80 1 22 1 1 0 5 3 5 1 5EX ? ? ? ? ? ? ?. ? 13分 19.（本小题满分 14 分） 解： () 当 1?ba 时， 2()f x x x?. 设 2( ) lnh x x x x? ? ?， 0x? . ? 1 分 则 21 2 1 ( 2 1 ) ( 1 )( ) 2 1 x x x xh
