1、第六章 特殊平行四边形 综合素质评价一、选择题(每题3分，共36分)1菱形、矩形、正方形都具有的性质是()A四条边相等，四个角相等 B对角线相等C对角线互相垂直 D对角线互相平分2在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AC16，则OD等于()A16 B12 C10 D83如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，若AB5，AC6，则BD的长为()A4 B6 C7 D84如图，以正方形ABCD的对角线AC为一边作菱形AEFC，则FAB的度数是()A20 B30 C50 D22.55如图，DE为ABC的中位线，点F在DE上，且AFB90，若AB5， BC8，则EF的长为()A2 B
2、1.5 C2.5 D36在四边形ABCD中，ABC90.如果再添加一个条件可推出四边形ABCD是正方形，那么这个条件可以是()AABCD BBCCDCD90 DACBD7如图，在ABC中，点D在BC上，DEAC，DFAB，下列四个判断中不正确的是() A四边形AEDF是平行四边形B若BAC90，则四边形AEDF是矩形C若ADBC且ABAC，则四边形AEDF是菱形D若AD平分BAC，则四边形AEDF是矩形8如图，菱形ABCD的对角线的长分别为2和5，P是对角线AC上任意一点(点P不与点A，C重合)，且PEBC交AB于点E，PFCD交AD于点F，则阴影部分的面积是()A10 B7.5 C5 D2.
3、59如图，小明用四根长度相同的木条制作能够活动的菱形学具，他先把活动学具做成图所示的菱形，并测得B60，点A，C之间的距离是1 cm，接着把活动学具做成图所示的正方形，则图中点A，C之间的距离为()Acm B2 cm C3 cm D4 cm10如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AEBD于点E， DAE2BAE，AB2，则OE的长为()A1 B C2 D11如图，正方形ABCD的边长为2，E为与点D不重合的动点，以DE为一边作正方形DEFG.设DEd1，点F，G与点C的距离分别为d2，d3，则d1d2d3的最小值为()A B2 C D412如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交
4、于点O，过点B作BFAC交CD于点F，交AC于点M，过点D作DEBF交AB于点E，交AC于点N，连接FN，EM.则下列结论：DNBM；EMFN；AECM；当AOAD时，四边形DEBF是菱形其中，正确结论的个数是()A1 B2 C3 D4二、填空题(每题3分，共18分)13如图，在菱形ABCD中，E为CD的中点，菱形ABCD的周长为32，则OE_14如图，在ABC中，D，E，F分别是AB，BC和AC边的中点，请添加一个条件：_，使四边形BEFD为矩形. 15如图，将正方形OACD放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点D的坐标为(3，4)，则点A的坐标为_16出入相补原理是我国古代数学的重要成就之
5、一，最早是由三国时期数学家刘徽创建“将一个几何图形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一如图，在矩形ABCD中，AB5，AD12，对角线AC与BD交于点O，点E为BC边上的一个动点，EFAC，EGBD，垂足分别为点F，G，则 EFEG_17如图，在ABC中，ACB 90，AD是ABC的角平分线，分别以点A，D为圆心，大于AD的长为半径作弧，两弧交于点M，N，作直线MN，分别交AB，AC于点E，F，连接DE，DF，若CDF的周长为12，AC8，则四边形AEDF的面积为_18如图，在边长为3的正方形ABCD的外侧，作等腰三角形ADE，
6、EAED.(1)ADE的面积为_(2)若F为BE的中点，连接AF并延长，与CD相交于点G，则AG的长为_三、解答题(1921题每题8分，2224题每题10分，25题12分，共66分)19如图，在菱形ABCD中，CEAB于点E，CFAD于点F，求证：AEAF.20如图，矩形ABCD中，过对角线BD的中点O作BD的垂线EF，分别交AD，BC于点E，F.(1)证明：BOFDOE.(2)连接BE，DF，证明：四边形EBFD是菱形21如图，在ABC中，ACB90，ACBC，D为AB的中点，DEAC， CEAD，连接BE，CD求证：四边形CDBE是正方形 22如图，在ABC中，点D，E，F分别是AB，BC
7、，CA的中点，AH是边BC上的高求证：(1)四边形ADEF是平行四边形(2)DHFDEF.23如图，线段DE与AF分别为ABC的中位线与中线(1)求证：AF与DE互相平分(2)当线段AF与BC满足怎样的数量关系时，四边形ADFE为矩形？请说明理由24如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别与边AB和边CD的延长线交于点M，N，与边AD交于点E，垂足为点O.(1)求证：AOMCON.(2)若AB3，AD6，求AE的长25如图，在正方形ABCD中，点P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PAPE，PE交CD于点F，(1)证明：PCPE.(2)求CPE的度数(3)如图，把正方形A
8、BCD改为菱形ABCD，其他条件不变，连接CE，当 ABC120时，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由答案一、1D2D【点拨】在矩形ABCD中，对角线AC，BD 相交于点O，ACBD，ODBD.AC16，ODBDAC8.3D【点拨】四边形ABCD是菱形，AC6，OAOC3，OBOD， ACBD.在RtAOB中，根据勾股定理，得OB4，BD2OB8.4D【点拨】四边形ABCD是正方形，AC是对角线，CABDAB45.四边形AEFC是菱形，AF是对角线，FABCAB22.5.5B 【点拨】DE为ABC的中位线，BC8，DEBC4，点D是AB的中点AFB90，AB5，DFAB2.5. E
9、FDEDF4 2.51.5.6B7D【点拨】因为DECA，DFBA，所以四边形AEDF是平行四边形，故A正确；若BAC90，则AEDF是矩形，故B正确；若ADBC且ABAC，则AEDF是菱形，故C正确；由AD平分BAC，易知AEDE，所以AEDF是菱形，故D错误8D【点拨】设EF交AC于点O，易得四边形AEPF是平行四边形， SAOESPOF.S阴影S菱形ABCD252.5.9A【点拨】如图，连接AC，四边形ABCD是菱形，ABBC.B60，ABC是等边三角形， ABAC1 cm.如图，连接AC，四边形ABCD是正方形，BCAB1 cm，B90，AC(cm)10A【点拨】DAE2BAE, DA
10、EBAEBAD90，BAE30， DAE60.AEBD，ADB30.AB2，BD2AB4， BEAB1.四边形ABCD是矩形，OBBD2，OEOBBE1.11C【点拨】如图，连接AE，CG，CF，四边形DEFG是正方形，EDG90，EFDEDG.四边形ABCD是正方形，ADCD，ADC90，ADECDG，ADECDG(SAS)，AECG，d1d2d3EF CFAE，点A，E，F，C在同一条直线上时，EFCFAE最小，即d1d2d3最小连接AC，d1d2d3的最小值为AC的长，在RtABC中， AC，d1d2d3的最小值为.12C【点拨】四边形ABCD是矩形，ABCD，ADCB，ADBC， DA
11、EBCF90，ODOA，DANBCM.BFAC，DEBF，DEAC，BMC90，DNA90BMC.在DNA和BMC中，DNABMC(AAS)，DNBM，ADECBF，故正确在ADE和CBF中，ADECBF(ASA)，AEFC，DEBF.CFCM，AECM，故错误DEBF，DNBM，DEDNBFBM，即NEMF.又DEBF，四边形NEMF是平行四边形，EMFN，故正确ABCD，AECF，BEDF. 又DEBF，四边形DEBF是平行四边形AOAD，OAOD，AO ADOD，AOD是等边三角形，ADODAN60，ABD 90ADO30. DEAC，ADOD，ADNODN30， ODNABD，DEBE
12、，DEBF是菱形，故正确故正确结论的个数是3.二、134【点拨】菱形ABCD的周长为32，菱形ABCD的边长为8，即 AD8.四边形ABCD为菱形，O为AC的中点E为CD的中点， OEAD4.14ABBC(答案不唯一)【点拨】D，E，F分别是AB，BC和AC边的中点，DF，EF都是ABC的中位线，DFBC，EFAB，四边形BEFD为平行四边形当ABBC时，B90，平行四边形BEFD为矩形15(4，3)【点拨】如图，过点A作ABx轴于点B，过点D作DEx轴于点E，则OABAOB90. 四边形OACD是正方形，OAOD， AOD90，DOEAOB90，OABDOE. 在AOB和ODE中，AOBOD
13、E(AAS)，ABOE，OBDE. 点D的坐标为(3，4)， OE3，DE4.点A在第二象限，点A的坐标为(4，3)16 【点拨】连接OE，四边形ABCD是矩形，ABC90，BC AD12，AOCOBODO.AB5，AC13，OB OC.SBOCSBOESCOEEGEF，SBOCSABC 51215，EGEF15，EGEF.1720【点拨】由题可知MN是线段AD的垂直平分线，AFFD，AEED，ADEF.AD是ABC的角平分线，EADFAD，AFEAEF，AFAE，AFFDAEED，四边形AEDF是菱形CDF的周 长CDDFCFCDAFCFACCD12，AC8，CD4.设AFFDx，则CF8x
14、.在RtCDF中，FC2CD2FD2，(8x)242x2，解得x5，S四边形AEDFAFCD5420.18(1)3(2)【点拨】(1)如图，过E作EMAD于M, EAED， AD3，AMDMAD，EM2，ADE的面积为 ADEM323.(2)如图，延长EM交AG于N，交BC于P，四边形ABCD是正方形， ABCD，BADABC90.EMAD，AMP90，四边形ABPM是矩形， PMAB3，ABEP，PMCD，EP5，ABFNEF. F为BE的中点，BFEF.在ABF和NEF中， ABFNEF(ASA)，ENAB3，MN1.由PMCD，易知ANNG，GD2MN2， AG.三、19【证明】四边形A
15、BCD是菱形，ABBCDCAD，BD. CEAB，CFAD，CEBCFD90.在BCE和DCF中，BCEDCF(AAS)，BEDF，ABBEADDF，即AEAF.20【证明】(1)四边形ABCD是矩形，ADBC，EDOFBO.点O是BD的中点，DOBO.又EODFOB，BOFDOE(ASA)(2)由(1)知BOFDOE，BFDE.ADBC，即DEBF，四边形EBFD是平行四边形EFBD，四边形EBFD是菱形21【证明】DEAC, CEAD，四边形ADEC是平行四边形. DEAC， CEAD.又AC BC，BC DE.D为AB的中点，ADDB，CEDB.又CEDB，四边形CDBE是平行四边形又B
16、CDE.四边形CDBE是矩形ACB90，D为AB的中点，CDDB.四边形CDBE是正方形22【证明】(1)点D，E分别是AB，BC的中点，DEAC.同理可得EFAB，四边形ADEF是平行四边形(2)由(1)知四边形ADEF是平行四边形，DAFDEF.在RtAHB中， D是AB的中点，DHAB AD.DAHDHA.同理可得FAH FHA.DAHFAHDHAFHA.DAFDHF.DHF DEF.23(1)【证明】DE是ABC的中位线，点D是AB的中点，点E是AC的中点，ADAB.AF是ABC的中线，点F是BC的中点，EF是ABC的中位线，EFAB，EFAB，EFAD，四边形ADFE是平行四边形，A
17、F与DE互相平分(2)【解】当AFBC时，四边形ADFE为矩形理由：线段DE为ABC的中位线，DEBC.AFBC，AFDE.由(1)得四边形ADFE是平行四边形，四边形ADFE为矩形24(1)【证明】MN是AC的垂直平分线，AOCO.四边形ABCD是矩形，ABCD，MN.在AOM和CON中，AOMCON(AAS)(2)【解】如图，连接CE, MN是AC的垂直平分线，CEAE，设AECEx，则DE6x.四边形ABCD是矩形，CDE90，CDAB3.在RtCDE中，由勾股定理得CD2DE2CE2，即32(6x)2x2，解得x，即AE的长为.25(1)【证明】在正方形ABCD中，ABBC，ABPCB
18、P45. 在ABP和 CBP中，ABPCBP(SAS)，PAPC.PAPE，PCPE.(2)【解】由(1)知ABPCBP，BAPBCP.BADBCD90，DAPDCP.PAPE，DAPE，DCPE.CFPEFD，180PFCPCF180DFEE，即CPEEDF90.(3)【解】APCE.理由如下：在菱形ABCD中，ABBC，ABPCBP， BADBCD，ADCABC120.在ABP和CBP中，ABPCBP(SAS)，PAPC，BAPBCP， DAPDCP.PAPE，PCPE，DAPAEP，DCPAEP.CFPEFD，180PFCPCF180DFEAEP，即 CPFEDF180ADC18012060，EPC是等边三角形，PCCE，APCE.
