1、4.1指数指数第四章高中数学高中数学 必修第一册 RJA学习目标1.通过对有理数指数幂、实数指数幂含义的认识，了解指数幂的拓展过程.2.掌握指数幂的运算.核心素养：逻辑推理、数学运算高中数学高中数学 必修第一册 RJA 新知学习什么是n次方根？【温故】我们知道，如果 ，那么 叫做 的平方根.例如，2就是4的 平方根.如果 ，那么 叫做 的立方根.如2就是8的立方根.类似地，由于(2)4=16，我们把2叫做16的4次方根.一般地，如果 ，其中，n1，且nN*正数有两个平方根，一个算术平方根；0有一个平方根，一个算术平方根；负数没有平方根.那么 叫做 的n次方根，高中数学高中数学 必修第一册 RJ
2、A n次方根的性质【1】当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数.这时，a的n次方根用符号 表示.例如 【2】当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数.正的n次方 根用 表示，负的n次方根用 表示.两者也可以合并成 .例如【3】负数没有偶次方根.【4】0的任何次方根都是0.记作：因为在实数的定义里，两个数的偶次方根结果是非负数，即任意实数的偶次方是非负数.高中数学高中数学 必修第一册 RJA 什么是根式？【定义】式子 叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数.根指数被开方数根据n次方根的定义，可得：，比如：【1】一般读作“n次根号a”【2】当a0且n为偶
3、数时，在实数范围 内没有意义.【3】当 有意义时，是一个实数，且 它的n次方等于a.高中数学高中数学 必修第一册 RJA 什么是根式？【探究】表示 的n次方根，一定成立吗？【结论】当n为奇数时，当n为偶数时，是实数 的n次方根，恒有意义，不受 的正负限制.但是受n的奇偶限制.本质算法是先乘方，再开方.结果不一定等于 ，当n为奇数时，；当n为偶数时，是实数 的n次方，在 有意义的前提下，实数 的取值由n的奇偶决定，其算法是先开方，再乘方，结果恒等于 .高中数学高中数学 必修第一册 RJA (1)(2)(3)(4)【1】求下列各式的值.【解】(1)(2)(3)(4)即时巩固高中数学高中数学 必修第
4、一册 RJA 分数指数幂是什么？【探究】根据n次方根的定义和运算，我们知道 ，也就是说，当根式的被开方数(看 成幂的形式)能被根指数整除时，根式可以表示成分数指数幂的形式.【思考】当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式是否也能表示为 分数指数幂的形式呢？【设想】把根式表示为分数指数幂的形式时，例如把 写成下列形式：我们希望整数指数幂的运算性质，如：，对分数指数幂同样适用.高中数学高中数学 必修第一册 RJA 分数指数幂是什么？【定义】由此，我们规定，正数的正分数指数幂的意义是：于是，在条件 下，根式都可以写成分数指数幂的形式.正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿.我们规定，
5、例如，我们再规定，0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没意义.高中数学高中数学 必修第一册 RJA 不可以.显然 不是半个 相乘，它的实质是根式的另一种写法，如 .在这样的规定下，根式与分数指数幂就是表示相同意义的量，只是形式不同分数指数幂是什么？【问题1】可以理解为 个 相乘吗？【问题2】分数指数能约分吗？不能随意约分.因为约分之后可能会改变根式有意义的条件，如约分后变成了 ，而 在实数范围内无意义.高中数学高中数学 必修第一册 RJA 分数指数幂的运算性质 时运算法则不一定成立.研究的一般性要求：，此时法则一定成立.高中数学高中数学 必修第一册 RJA (1)(2)【1】求下列各式的值
6、.【解】(1)(2)即时巩固高中数学高中数学 必修第一册 RJA (1)(2)【2】求用分数指数幂表示下列式子().【解】(1)(2)即时巩固高中数学高中数学 必修第一册 RJA 【3】计算下式的值.【解】即时巩固高中数学高中数学 必修第一册 RJA 什么是无理数指数幂？【定义】一般地，无理数指数幂 为无理数 是一个确定的实数.这样，我们就将指数幂 中的指数 的范围从整数逐步拓展到了 实数，实数的指数幂是一个确定的实数.【指数幂的拓展顺序】正整数指数幂负整数指数幂零次幂整数指数幂分数指数幂有理数指数幂无理数指数幂实数指数幂高中数学高中数学 必修第一册 RJA 无理数指数幂的运算实质【定义】一整
7、数指数幂的运算性质也适用于实数指数幂，即对于任意实数 ，均有下面的运算性质.高中数学高中数学 必修第一册 RJA 【3】计算下列各式的值.【解】(1)（1）（2）(2)即时巩固高中数学高中数学 必修第一册 RJA随堂小测高中数学高中数学 必修第一册 RJA2高中数学高中数学 必修第一册 RJA1132113321(4)(00)4(0.1)()ababab，5.化简：_.3332233222210abab6.计算 的结果是_.162 12 2 242高中数学高中数学 必修第一册 RJA课堂小结高中数学高中数学 必修第一册 RJA3.指数幂的一般运算步骤是：有括号先算括号里面的；无括号先做指数运算.负指数幂化为正指数幂的倒数.底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质.4.指数幂的运算一般先转化成分数指数幂，然后再利用有理数指数幂的运算性质进行运算.在将根式化为分数指数幂的过程中，一般采用由内到外逐层变换为指数的方法，然后运用运算性质准确求解.
