1、 - 1 - 安徽省六安市 2018 届高三数学上学期第二次月考试题 文 第 卷（共 60 分） 一、 选择题：本大题共 12 个小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1.复数 212ii?的共轭复数是（ ） A 35i?B 35iC i? D i 2.若 sin 0? ，且 tan 0? ，则角 ? 的终边位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3.已知函数 ? ? ? ?sin 2f x x ?，其中 ? 为实数，若 ? ?6f x f ? ?对 xR? 恒成立，且? ?2ff? ? ，则 ?fx的单调递增区间
2、是（ ） A向左平移 512?个长度单位 B向右平移 512?个长度单位 C向左平移 56?个长度单位 D向右平移 56?个长度单位 4. 2 sin 47 3 sin17cos17? ?A 3? B -1 C. 3 D 1 5.在 ABC? 中，角 A,B,C 所对边长分别为 ,abc，若 2 2 22a b c? ，则 cosC 的最小值为（ ） A 32B 22C. 12D 12?6.已知 21a b a b? ? ? ?，则 2ab? A 9 B 3 C.1 D 2 7.已知函数 ? ? sin6f x x ?，其中 ,3xa?，若 ?fx的值域是 1,12?，则实数 a 的取值范围是
3、（ ） A 0,3? ?B ,32?C. 2,23?D ,3?8.若 5sin25?， ? ? 10sin10?，且 3, , ,42? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，则 ? 的值是（ ） A 74?B 94?C. 54?或 74?D 54?或 94?- 2 - 9.某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为 1，顶角为的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为（ ） A 2sin 2cos 2? B sin 3cos 3? C.3sin 3cos 1? D 2sin cos 1? 10.已知函数 ? ? ? ?sin 2f x x ?，其中 ? 为实
4、数，若 ? ?6f x f ? ?对 xR? 恒成立，且? ?2ff? ? ，则 ?fx的单调递增区间是（ ） A ? ?,36k k k Z? ? ?B ? ?,2k k k Z?C. ? ?2,63k k k Z? ? ?D ? ?,2k k k Z?11.在矩形 ABCD 中， 1AB? ， 3AD? ， P 为矩形内一点，且 32AP?，若? ?,A P A B A D R? ? ? ? ? ?，则 3? 的最大值为（ ） A 32B 334?C. 62D 6 3 24?12.若 x ， y 实数满足方程组 332cos 2 08 2 cos 2 3 0x x xy y y? ? ?
5、? ? ? ? ? ?则 ? ?cos 2xy?（ ） A 0 B 13C.12D 1 第 卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸 上） 13.在 ABC? 中， A 60 , 2AB?，且 ABC? 的面积为 32，则 BC? 14.2002 年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的，弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图） .如果小正方形的面积为 1，大正方形的面 积为 25，直角三角形中较小的锐角为 ? ，那么 cos2? 的值等- 3 - 于 15. 如图， ABCD 是边长为 4 的正
6、方形，动点 P 在以 AB 为直径的圆弧 APB 上，则 PCPD? 的取值范围是 16. 如图，在平面斜坐标系 xOy 中， 135xOy?，斜坐标定义：如果 12OP xe ye?（其中 1e ，2e 分别是 x 轴， y 轴的单位向量），则 ? ?,xy 叫做 P 的斜坐标 . （ 1）已知 P 得斜坐标为 ? ?1, 2 ，则 OP? （ 2）在此坐标系内，已知 ? ? ? ?0,2 , 2,0AB，动点 P 满足 AP BP? ，则 P 的轨迹方程是 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .） 17. 设 ABC? 的内角 ABC、
7、 、 所对边的长分别为 a b c、 、 ，且有2 sin c o s sin c o s c o s sinB A A C A C?. （ 1）求角 A 的大小； （ 2）若 1bc?=2, ， D 为 BC 的中点，求 AD 的长 . - 4 - 18. 在 ABC? 中， ? ? ? ?2 32 c o s c o s s in s in c o s25AB B A B B A C? ? ? ? ? ? ?. （ 1）求 cosA 的值； （ 2）若 4 2, 5ab?，求 BA 在 BC 方向上的投影 . 19. 已知函数 ? ? ? ?3 s in 0 ,22f x x ? ? ?
8、? ? ? ? ? ?的图象关于直线3x ?对称，且图象上相邻两个最高点的距离为 ? . （ 1）求 ? 和 ? 的值 . （ 2）若 322 4 6 3afa? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，求 3cos2a ?的 值 . 20. 已知函数 ? ? ? ? ? ?13 s in c o s c o s , 02f x x x x x R? ? ? ? ? ? ? ?.若 ?fx的最小正周期为 . （ 1）求 ?fx的单调递增区间； （ 2）在 ABC? 中，角 ABC, 的对边分别是 abc, 满足 ? ?2 cos cosa c B b C?，求函数 ?fA的取值范围 . 2
9、1.如图，在直角坐标系 XOY 中，点 P 是单位圆上的动点，过点 P 作 X 轴的垂线与射线? ?30y x x?交于点 Q ，与 X 轴交于点 M ，记 MOP ?，且 ,22? ?. （ 1）若 1sin3?，求 cos POQ? . （ 2）求 OPQ? 面积的最大值 . 22.已知函数 ? ? 23 s in 2 2 c o s 02f x x x m x ? ? ? ? ?. （ 1）若函数 ?fx的最大值为 6，求常数 m 的值； （ 2）若函数 ?fx有两个零点 1x 和 2x ，求 m 的取值范围，并求 1x 和 2x 的值； （ 3）在（ 1）的条件下，若 ? ? ? ?
10、? ? ? ?3 s in 3 c o s123 c o s s inxxg x t f x txx? ? ? ?，讨论函数 ?gx的零点- 5 - 个数 . 数学试卷（文科）参考答案 一、选择题 1-5:CBADC 6-10:CDAAC 11、 12： CD 二、填空题 13. 3 14. 72515.? ?0,16 16.（ 1） 1 （ 2） yx? 三、解答题 17.解：（ 1） 2 sin c o s sin c o s c o s sinB A A C A C?， ? ?2 sin cos sinB A A C?， A C B? ? ? ， ? ?sin sin 0A C B? ?
11、 ?， 2sin cos sinB A B? ， 1cos2A?， ? ?0,A ? ， 3A?； （ 2） 1bc?=2, ，3A?， 2 2 2 2 cos 3a b c bc A? ? ? ?， 2 2 2b a c?， 2B?， D 为 BC 的中点， 22 37A D 122? ? ?. 18.解：（ 1）由 ? ? ? ?2 32 c o s c o s s in s in c o s25AB B A B B A C? ? ? ? ? ? ?， 可得 ? ? ? ? ? ? 3c o s c o s s in s in5A B B A B A C? ? ? ? ? ?， 可得 ?
12、? ? ? 3c o s c o s s in s in5A B B A B B? ? ? ? ?， - 6 - 即 ? ? 3cos5A B B? ? ? ?， 即 ? ? 3cos5A ?； （ 2）由正弦定理，sin sinabAB?，所以 sin 2sin2bAB a?， 由题意可知 ab? ，即 AB? ，所以4B?， 由余弦定理可知 ? ?2 22 34 2 5 2 55cc ? ? ? ? ? ?， 解得 1, 7cc? ? （舍去）， 向量 BA 在 BC 方向上的投影： 2cosB cosB2BA c?. 19.解：（ 1）由题意可得函数 ?fx的最小正周期为 ? ， 2?
13、?， 2? ， 再根据图象关于直线3x ?对称，可得 2,32k k z? ? ? ? ?， 结合22? ? ?可得6?； （ 2） 322 4 6 3afa? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 33 sin64a ?， 1sin64a ?， 再根据 062a ? ? ?， 2 15c o s 1 s in6 6 4aa? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 3c o s s i n s i n s i n c o s c o s s i n2 6 6 6 6 6 6a a a a a? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
14、? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 1 3 1 5 1 3 1 54 2 4 2 8? ? ? ? ?. 20.解：（ 1） ? ? 2 13 s in c o s c o s s in 226f x x x x x ? ? ? ? ? ? ? ?， 2 42T ? ?， 14?， ? ? 1sin26f x x ?， ?fx的单调递增区间为 ? ?424 , 433k k k Z? ? ?； - 7 - （ 2） ? ?2 cos cosa c B b C?， 2 sin c o s sin c o s sin c o sA B C B B C?， ? ?2 s
15、in co s sin sinA B B C A? ? ?， 1cos2B?， 3B?， ? ? 12sin , 02 6 3f A A A? ? ? ?， 6 2 6 2A? ? ? ? ?， ? ? 1,12fA?. 21.解：（ 1）因为 1sin3?，且 ,22? ?，所以 22cos3?， 所以 2 2 3c o s c o s c o s c o s s in s in3 3 3 6P O Q ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?； （ 2）由三角函数定义，得 ? ?P cos ,sin?，从而 ? ?cos , 3cosQ ?， 所以 211c o s 3 c o s s
16、in 3 c o s s in c o s22P O QS ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 1 3 3 c o s 2 1 1 3 1 3s in 2 s in 2 12 2 2 2 2 2 3 2 2? ? ? ? ? ? ? ? ?， 3142?， 因为 ,22? ?，所以当12?时，等号成立， 所以 POQ? 面积的最大值为 3142?. 22.解：（ 1）由题意得， ? ? 23 s in 2 2 c o s 3 s in 2 c o s 2 1f x x x m x x m? ? ? ? ? ? ?， 2 sin 2 16xm? ? ? ?， 0,2x ?， 72,6 6
17、6x ? ? ?，则 1 2 sin 2 126x ? ? ? ?， 2sin 2 16x ?时， ? ?m ax 2 1 1 6f x m? ? ? ? ?， 解得 3m? ； （ 2）令 26zx?， 0,2x ?， 72,6 6 6zx ? ? ? ? ? ?， - 8 - 函数 ?fx在 0,2x ?上有两个零点 12,xx? 方程 2sin 1zm? ? 在 7,66z ?上有两解， 即函数 2sinyz? 与 1222zz? ? 1ym? ?在 7,66z ?上有两个交点 由图象可知 12 1 2 12 m? ? ? ? ? ?，解得 32m? ? ? 由图象可知，122266xx
18、? ? ? ?解得123xx?； （ 3）在（ 1）的条件下， ? ? 2 sin 2 46f x x ? ? ?， 且 1 2 sin 2 126x ? ? ? ?，则 ? ?m in 12 4 32fx ? ? ? ? ?， 当 2t? 时， ? ? ? ?13t f x?（当 2t? 且2x ?时取等号）， 33 ta n33 s in 3 c o s 3 ta n63 c o s s in 31 ta n3xxxxxxx? ? ? ? ?， 0,2x ?， ,6 6 3x ? ? ? ? ?， 3 tan 3 3 36x ? ? ? ? （当 2x ? 时取等号）， 所以当 2t? 时，函数 ? ? ? ? ? ? 3 sin 3 c o s13 c o s sinxxg x t f x xx? ?有一个零点2x ?， 当 2t? 时， ? ? ? ? 3 sin 3 c o s133 c o s sinxxt
