1、旧知回顾旧知回顾平均变化率的定义平均变化率的定义 我们把式子我们把式子 称为函数称为函数 f(x)从从 到到 的的平均变化平均变化 率率.（average rate of change）2121fx-fxx-x1 1x x2 2x x 平均速度不能反映物体在某段时间里的运平均速度不能反映物体在某段时间里的运动状态，那么用什么来衡量物体的状态呢？动状态，那么用什么来衡量物体的状态呢？新课导入新课导入 如何知道运动员在每一时刻的速度呢？3.1.2 导数的概念导数的概念 在高台跳水运动中，运动员在不同时刻的速度是在高台跳水运动中，运动员在不同时刻的速度是不同的不同的.我们把物体在某一时刻的速度称为我
2、们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度瞬时速度（instaneous velociy）.平均速度平均速度粗略地反映了物体运动时的快慢程粗略地反映了物体运动时的快慢程度度,但要精确地描述非匀速直线运动但要精确地描述非匀速直线运动,就要知道物就要知道物体在每一时刻运动的快慢程度体在每一时刻运动的快慢程度,也即需要通过也即需要通过瞬时瞬时速度速度来反映来反映.引例一变速直线运动的瞬时速度 如：汽车记速器显示的速度是瞬时速度，它能更准确地反映汽车每时刻的快慢程度那么，如何计算汽车行驶的瞬时速度呢?设S是某一物体从某一选定时刻到时刻 t 所走过的路程，的一个函数t现要求任一0t，)(tSS时刻 的瞬时速度
3、瞬时速度.则S是很小时，以匀速代替变速，那么，内的平均速度为越小，平均速度就越接近于时刻的瞬时速度令，取极限，得到瞬时速度瞬时速度.局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值.10,0,212tgts瞬时速度 2t)2(v一小球做自由落体运动，考察小球在研究研究其运动方程为秒时的.1.5,2 1.99,2 1.9999,2 0.5 0.01 0.0001 17.150 19.551 19.600 2019.62,2.001 0.001 19.605 2,2.01 0.01 19.649 22.050 0.5 2,2.5 其变化情况见下表
4、：从表上可以看出，不同时间段上的平均速度不相等，当时间段 tv很小时，瞬时速度为./6.19)2(smv即秒时的2t很接近某一确定的值19.6(m/s)，平均速度小球在 还记得上节课讲的关于高台跳水问题吗？运动员相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒）存在函数关系:2 2h h(t t)=-4 4.9 9t t+6 6.5 5t t+1 10 0通过列表看出平均速度的变化趋势通过列表看出平均速度的变化趋势：知道了瞬时速度的概念，那么在高台跳水运动中，如何求（比如，t=2)运动员的瞬时速度？t0时，在时，在2,2+t这段时间内这段时间内h h2 2-h h2 2+t tv v=
5、2 2-2 2+t t2 24 4.9 9 t t+1 13 3.1 1 t t=-t t=-4 4.9 9 t t-1 13 3.1 1当当t=0.01时，时，=-13.149；v当当t=0.001时，时，=-13.1049；v当当t=0.0001时，时，=-13.10049；v当当t=0.00001时，时，=-13.100049；v当当t=0.000001时，时，=-13.1000049；v.观察观察 当当 趋近于趋近于0时，平均速度时，平均速度 有什么样有什么样的变化？的变化？tv 我们发现，当我们发现，当 趋近于趋近于0时，即无论时，即无论t从小于从小于2的一边，还是从大于的一边，还是
6、从大于2的一边趋近于的一边趋近于2时，平均时，平均速度都趋近于一个确定的值速度都趋近于一个确定的值-13.1 .t 我们用我们用 表示表示“当当t=2,t趋近于趋近于0 时时,平均速度趋于确定平均速度趋于确定值值-13.1”.0lim th h(2 2+t t)-h h(2 2)=-1 13 3.1 1 t t探究探究l那么运动员在某一时刻那么运动员在某一时刻t0的瞬时速度怎么表示的瞬时速度怎么表示?0lim t0 00 0h h(t t+t t)-h h(t t)t t探究探究 函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率又怎么表示？一般地，函数一般地，函数 在在 处的处的瞬时变化率是瞬时变化率
7、是y y=f fx x0 0 x x=x x 我们称它为函数我们称它为函数 在在 处的处的导数导数（derivative）.yfx0 xx0000limlimxxfxxfxfxx 一般将导数一般将导数记作记作 ,或或 者者 ,即即0f(x)0 xxy|()00000 x0 xx0f xxf(x)f(xf(x)f(x)limlimxxx 表示函数表示函数y关于自变关于自变量量x在在 处的导数处的导数0|xxy0 x0 xxy 有极限有极限f(x)在点在点x0处可导处可导f(x)在点在点x0处的导数处的导数 如果函数如果函数y=f(x)在点在点x=x0存在导数，就说函数存在导数，就说函数y=f(x
8、)在点在点x0处处可导可导，如果极限不存在，就说函数，如果极限不存在，就说函数 f(x)在点在点x0处处不可导不可导.是函数是函数f(x)在以在以x0与与x0+x 为端点的为端点的区间区间x0,x0+x(或或x0+x,x0)上的上的平均变化率平均变化率,而导数则是函数而导数则是函数f(x)在点在点x0 处的处的瞬时变化率瞬时变化率,它反映了函数随自变量变化而变它反映了函数随自变量变化而变化的快慢程度化的快慢程度 00f(xx)f(x)yxx 000 xx0f(x)-f(x)f(x)=limx-x事实上，导数也可以用下式表示：事实上，导数也可以用下式表示：由导数的意义可知，求函数由导数的意义可知
9、，求函数y=f(x)在点在点x0处的导处的导数的基本方法是数的基本方法是:（1）求函数的增量）求函数的增量00 y=f(x+x)-f(x).00f(x+x)-f(x)y=x x（2）求平均变化率）求平均变化率0 x0 yf(x)=lim.x（3）取极限，求得导数）取极限，求得导数 这里的增量不是一般意义上的增量，它可正也可这里的增量不是一般意义上的增量，它可正也可负负.自变量的增量自变量的增量x的形式是多样的的形式是多样的,但不论但不论x选择哪选择哪种形式种形式,y也必须选择与之相对应的形式也必须选择与之相对应的形式.注意！注意！求函数求函数y=x2在在x=1处的导数处的导数.2 22 22
10、2解解：(1 1)y y=(1 1+x x)-1 1=2 2 x x+(x x),2 2 y y2 2 x x+(x x)=2 2+x x,x x x xx x=1 1 x x 0 0 x x 0 0 y y l li im m=l li im m(2 2+x x)=2 2,y y|=2 2.x x课堂小结课堂小结1.瞬时速度的定义瞬时速度的定义 物体在某一时刻的速度称为物体在某一时刻的速度称为瞬时速度瞬时速度.2.导数的定义导数的定义 一般地，函数一般地，函数 在在 处的处的瞬时变化率是瞬时变化率是yfx0 xx00 x0 x0fx+x-fx flim=lim x x 我们称它为函数我们称它
11、为函数 在在 处的处的导数导数（derivative）.yfx0 xx3.求导数的步骤求导数的步骤（1）求）求 y；x y（2）求）求 ；（3）取极限得取极限得 f(x)=lim .x y x0若若f(x0)=2，则，则00()()lim_.2kofxkfxk -1随堂练习随堂练习1.设函数设函数 f(x)可导可导，则，则 x x 0 0f f(1 1+x x)-f f(1 1)l li im m3 3 x x=（）A.f(1)B.1f(1)3 C.不存在不存在 D.以上都不对以上都不对 B2.设函数设函数f(x)在点在点x0处可导处可导,求下列极限值求下列极限值.00 x0f(x-x)-f(
12、x)lim.x0 00 00 00 0 x x 0 0 x x 0 00 0f f(x x-x x)-f f(x x)f f(x x-x x)-f f(x x)1 1)原原 式式=l li im m=-l li im m-(-x x)-解解：(x x=-f f(x x);3.求函数求函数y=x+1/x在在x=2处的导数处的导数.1 11 1-x x解解：y y=(2 2+x x)+-(2 2+)=x x+2 2+x x2 22 2(2 2+x x)-x x x x+y y1 12 2(2 2+x x)=1 1-,x x x x2 2(2 2+x x)x x=2 2 x x 0 0 x x 0
13、0 y y1 11 13 33 3 l li im m=l li im m 1 1-=1 1-=,y y|=.x x2 2(2 2+x x)4 44 44 44.5.已知函数已知函数 在在 处的附近有定义，处的附近有定义，且且 ，求，求 的值的值.y=x0 x=x0 x=x1y|=20 x0 00 0解解:y y=x x+x x-x x,0 00 00 00 00 00 00 00 00 00 0 x x+x x-x x(x x+x x-x x)(x x+x x+x x)y y=x x x x x x(x x+x x+x x)1 1=.x x+x x+x x x x 0 0 x x 0 00
14、00 00 0 y y1 11 1 l li im m=l li im m=,x xx x+x x+x x2 2x x0 0 x x=x x0 00 01 11 11 1由由 y y|=,得得=,x x=1 1.2 22 22 2x x习题答案习题答案练习（第练习（第6页）页）y yf f(3 3+x x)-f f(3 3)=x x-1 1 x x x x解：在第解：在第3h和第和第5h时，原油温度的瞬时变化率就是时，原油温度的瞬时变化率就是f(3)和和f(5).根据导数的定义：根据导数的定义：x x 0 0 y y所所 以以，f f(3 3)=l l i i m m=-1 1 x x同同 理理：f f(5 5)=3 3 说明在第说明在第3h附近，原油的温度大约以附近，原油的温度大约以1/h的速的速率下降，原油温度以大约以率下降，原油温度以大约以3/h的速率上升的速率上升.
