1、教 师 课 时 授 课 计 划 教师姓名 课程名称 应用数学 授课时数 2 累计课时 授课日期星期节次授课班级课题M4-1 微分中值定理知识目标理解前两个微分中值定理的几何意义理解三个微分中值定理的关系技能目标会利用已知函数在给定区间上验证微分的中值定理正确性学习中值定理为后面导数的应用做好铺垫态度目标培养学生数型结合的数学思想教学重点拉格朗日中值定理教学难点拉格朗日中值定理的运用教学资源无参考书高等数学同济四版作 业教 学 过 程 设 计教学环节教学内容教学方法时间课程引入复习导数的几何意义启发式5知识讲解1、 罗尔定理2、 拉格朗日中值定理及其应用3、 柯西中值定理启发式65课堂实战会利用
2、已知函数在给定区间上验证微分的中值定理正确性10课后点评微分中值定理10课后小记一、课程引入本章我们将以导数为工具，来研究函数及其图形的各种性态，并应用这些知识解决一些常见的实际问题首先我们先介绍微分中值定理，它是导数应用的理论基础二、知识讲解一、罗尔定理罗尔（Rolle）定理 设函数满足条件：（1）在闭区间上连续；（2）在开区间内可导；（3）.则在开区间内至少存在一点，使得（）.图 4-1罗尔定理的几何意义是: 如果连续曲线除端点外处处具有不垂直于轴的切线，且两端点的纵坐标相等，如图4-1所示，那么我们不难发现，在该曲线上至少有一点，使得曲线在该点的切线平行于轴.设点的横坐标为，则有（）.
3、（4-1）必须指出，罗尔定理的条件有三个，如果缺少其中任何一个条件，定理将不成立例1 验证函数在上满足罗尔定理的条件，并求出使的值.解： 略二、拉格朗日中值定理及其应用在罗尔定理中，如果函数满足条件（1）（2），而不满足条件（3），即，那么由图4-2易看出在曲线上（只要把弦平行移动）至少可以找到一点 ，使得曲线在该点的切线平行于弦，因此，切线的斜率与弦的斜率相等，即图4-2由，及斜率公式，得.于是，得（）.由此可得下面的定理：拉格朗日（Lagrange）中值定理 如果函数满足条件：（1）在闭区间上连续；（2）在开区间内可导.则在开区间内至少存在一点，使得（）. （4-2） 或 例2 验证函数在
4、区间上满足Lagrange中值定理的条件，并求的值.解： 略推论1 如果在区间内，则在内（为常数）.推论2 如果在区间内，则在内（为常数）.三、柯西中值定理柯西（Cauchy）中值定理 如果函数和满足条件：（1）在闭区间上连续；（2）在开区间内可导，且对任意（）， 那末在内至少存在一点，使得 （4-3）证明从略在柯西定理中，如果取，那末 , ，于是公式（4-3）变成这就是拉格朗日中值定理，可见柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广 三、课堂实战1.下列函数在给定区间上是否满足罗尔定理的条件？若满足时，求出定理结论中的值：（1），； （2），.2、下列函数在给定区间上是否满足拉格朗日中值定理的条件？若满足时，求出定理结论中的值：（1），； （2），.4
