1、 1 2016-2017 年上海市嘉定区高三第二次（ 4 月）质量调研数学 一、填空题：共 12题 1 函数 的最小正周期是 _. 【答案】 【解析】本题考查二倍角公式 ,三角函数的性质 .由题意得 ,其周期.即函数 的最小正周期是 . 2 设 i为虚数单位，复数 ，则 _. 【答案】 【解析】本题考查复数的概念与运算 . = = ;所以 . 3 设 为 的反函数，则 _. 【答案】 2 【解析】本题考查反函数 .令 ,解得 ,所以 . 4 _. 【答案】 【解析】本题考查极限 . . 5 若圆锥的侧面积是底面积的 倍，则其母线与轴所成角的大小是 _. 【答案】 【解析】本题考查圆锥 .由题意
2、得 ,即 ,所以 ,即 .即母线与轴所成角的大小是 . 6 设等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 _. 3 【答案】 【解析】本题考查等差数列 .因为 ,解得 ;所以 . 【备注】等差数列 : , 7 直线 ( 为参数 )与曲线 ( 为参数 )的公共点的个数是_. 【答案】 【解析】本题考查直线、曲线的参数方程 .削参得直线的普通方程 : ;削参得曲线的普通方程 : ;圆心到直线的距离 ,即直线与圆相切 ,所以直线与曲线的公共点的个数是 1. 8 已知双曲线 与双曲线 的焦点重合， 的方程为 ，若 的一条渐近线的倾斜角是 的一条渐近线的倾斜角的 倍，则 的方程为 _. 【答案】 4 【解析】本
3、题考查双曲线的标准方程与几何性质 .由题意得 的焦点为 ,所以双曲线的焦点为 ,即 ;而 的一条渐近线为 ,其斜率 ,即 的 一条渐近线的倾斜角 ;而 的一条渐近线的倾斜角是 的一条渐近线的倾斜角的 倍 ,所以 的一条渐近线的倾斜角为 ,其斜率 ,即 的一条渐近线为 ,即;而 ,解得 , ,所以 的方程为 . 【备注】双曲线 ,离心率 , ,渐近线为 . 9 若 ，则满足 的 的取值范围是 _. 【答案】 【解析】本题考查幂函数 .由题意得 ,若 ,则 ,即 ,即 ;所以满足 的 的取值范围是 . 10 某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为 和 .现安排甲组研发新产品 ，
4、乙 组研发新产品 ，设甲、乙两组的研发相互独立，则至少有一种新产品研发成功的概率为 _. 5 【答案】 【解析】本题考查互斥事件的概率 .由题意得至少有一种新产品研发成功的概率. 11 设等差数列 的各项都是正数，前 项和为 ，公差为 .若数列 也是公差为 的等差数列，则 的通项公式 _. 【答案】 【解析】本题考查等差数列 ,数列求和 .因为数列 是公差为 的等差数列 ,所以;即 , ,解得, ;所以 .即 的通项公式 . 【备注】等差数列 : , . 12 设 ，用 表示不超过 的最大整数 (如 )，对于给定的，定义 ，其中 ，则当 时，函数 的值域是 _. 【答案】 6 【解析】本题考查
5、函数的值域 ,新定义问题 .当 时 ,函数 ,此时 单减 ,可得 ；当 时 ,函数 ,此时 单减 ,可得；所以当 时，函数 的值域是 . 二、选择题：共 4题每题 5分共 20 分 13 命题 “ 若 ，则 ” 的逆否命题是 A.若 ，则 B.若 ，则 C.若 ，则 D.若 ，则 【答案】 D 【解析】本题考查命题及其关系 .命题 “ 若 ，则 ” 的逆否命题是 “ 若，则 ”. 选 D. 14 如图，在正方体 中， 、 是 的三等分点， 、 是 的三等分点，、 分别是 、 的中点，则四棱锥 的左视图是 7 A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】本题考查三视图 .由题意得四棱锥 的左视
6、图是 C.选 C. 15 已知 是边长为 的等边三角形， 、 是 内部两点，且满足，则 的面积为 A. B. C. D. 【答案】 A 8 【解析】本题考查平面向量的线性运算 .取 的中点 ,连接 ,则, ；因为 ,所以 ,即 ;而,所以 ,且 ;所以 .选 A. 16 已知 是偶函数，且 在 上是增函数，若 在上恒成立，则实数 的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】本题考查函数的性质 ,不等式恒成立问题 .由题意得 在 上恒成立 ,即 在 上恒成立 ,即 在 上恒成立 ,即在 上恒成立 ,所以 ,而 ,所以 .即实数 的取值范围是 .选 B. 9 三、解答题：共 5题
7、17 在 中，内角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，已知 (1)求 的面积 ； (2)求 的值 . 【答案】 (1)因为 ，所以由正弦定理得 ； 又 ，故 ，所以 ; 因为 ，所以 . 所以 . (2)因为 ， 所以 ， ，因为 ，所以 为锐角 ; 所以 (或由 得到 ). 所以 . 10 【解析】本题考查差角公式 ,二倍角公式 ,正余弦定理 ,三角形的面积公式 .(1)由正弦定理得,而 ，故 ，由余弦定理得 ,所以 ,由三角形的面积公式得 .(2)由二倍角公式得, ， ,由差角公式得 . 18 如图，在长方体 中， ，平面 截长方体得到一个矩形 ，且 . (1)求截面 把该长方体分成的两部分体积之比； (2)求直线 与平面 所成角的正弦值 . 【答案】 (1)由题意，平 面 把长方体分成两个高为 的直四棱柱， ， ，
