1、 1 2018 届高三上学期开学考试 数学（文）试题 第 卷（共 60 分） 一、 选择题：本大题共 12 个小题 ， 每小题 5 分 ， 共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1.已知集合 0)3(| ? xxZxA ， 1ln| ? xxB ，则 ?BA? ( ) A 2,1,0 B ,0e C 2,1 D 3,2 2.已知复数 ibiz ?3 （ Rb? ）的实部和虚部相等，则 ?|z （ ） A 2 B 3 C 22 D 23 3.若 3.03?a ， 3log?b ， ec 3.0log? ，则 （ ） A cba ? B cab ? C. bac
2、? D acb ? 4.下列选项中说法正确的是（ ） A若 22 bmam ? ，则 ba? B若向量 ba, 满足 0?ba ，则 a 与 b 的夹角为锐角 C. 命题 “ qp? 为真 ” 是命题 “ qp? 为真 ” 的必要条件 D“ Rx ? 0 ， 0020 ?xx ”的否定是“ Rx? ， 02 ?xx ” 5.若双曲线 M ： )0,0(12222 ? babyax 的左、右焦点分别是 21,FF ， P 为双曲线 M 上一点，且 15| 1 ?PF ， 7| 2 ?PF ， 10| 21 ?FF ，则双曲线 M 的离心率为 （ ） A 3 B 2 C 35 D 45 6.等差数
3、列 na 中， 465 ?aa ，则 ? )222(log 10212 aaa ? （ ） A 10 B 20 C. 40 D 5log2 2? 7.在区间 8,0 上随机取一个 x 的值，执行 如下 的程序框图，则输出 3?y 的概率为 （ ） 2 A 21 B 31 C. 32 D 43 8.将正方体切去一个三棱锥得 到几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为（ ） A 322 1 B 320 C 316 D 6 9.在等比数列 na 中， “ 124,aa 是方程 0132 ? xx 的两根 ” 是 “ 18 ?a ” 的 （ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C. 充要条件
4、D即不充分也不必要条件 10.九章算术中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖 臑 .若三棱锥 ABCP? 为鳖臑， ?PA 平面 ABC ， 2?ABPA ， 4?AC ，三棱锥 ABCP? 的四个顶点都在球 O的球面上，则球 O 的表面积为 （ ） A ?24 B ?20 C. ?12 D ?8 11.函数 )1()( ? baexxfx，则 （ ） 3 A )()( bfaf ? B )()( bfaf ? C. )()( bfaf ? D )(),( bfaf 的大小关系不能确定 12.如图所示点 F 是抛物线 xy 82? 的焦点，点 BA, 分别在抛物线 xy 82? 及圆012
5、422 ? xyx 的实线部分上运动，且 AB 总是平行于 x 轴，则 FAB? 的周长的取值范围是 （ ） A )10,6( B )12,8( C. 8,6 D 12,8 第 卷（共 90 分） 二、填空题 （每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13.已知单位向量 ba, 满足 21)32( ? baa ， 则向量 a 与 b 的夹角为 14. 已知函数 )(xf 是 偶函数，当 0?x 时， xxxf ln)12()( ? ，则曲线 )(xfy? 在点)1(,1( ? f 处切线的斜率为 15.已知函数 41)( 2 ? bxaxxf （ ba, 为正实数）只有一个零点，则
6、 ba 21? 的最小值为 16.设 nS 是数列 na 的前 n 项和，且 11 ?a ，nnn SSa ?11，则 ?100a 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .） 17.已知直线 3?x 是函数 xxmxf 2co s2sin)( ? 的图象的一条对称轴 . （ 1）求函数 )(xf 的单调递增区间 ； 4 （ 2）设 ABC? 中角 CBA , 所对的边分别为 cba, ，若 2)( ?Bf ，且 3?b ，求 2ca? 的取值范围 . 18.学校为了了解 BA, 两个班级学生在本学期前两个月内观看电视节目的时长，分别从这两个班
7、级中随机抽取 10 名学生进行调查，得到他们观看电视节目的时长分别为（单位：小时）： A 班： 5、 5、 7、 8、 8、 11、 14、 20、 22、 31； B 班： 3、 9、 11、 12、 21、 25、 26、 30、 31、 35. 将上述数据作为样本 . （ 1）绘制茎叶图，并从所绘制的茎叶图中提取样本数据信息（至少写出 2 条）； （ 2）分别求样本中 BA, 两个班级学生的平均观看时长，并估计哪个班级的学生平均观看的时间较长； （ 3）从 A 班的样本数据中随机抽取一个不超过 11 的数据记为 a ，从 B 班的样本数据中随机抽取一个不超过 11 的数据记为 b ，求
8、ba? 的概率 . 19.如图所示，在四棱锥 ABCDP? 中，四边形 ABCD 为矩形， PAD? 为等腰三角形，?90?APD ，平面 ?PAD 平面 ABCD ，且 1?AB ， 2?AD ， FE, 分别为 BDPC, 的中点 . （ 1）证明： /EF 平面 PAD ； （ 2）证明：平面 ?PDC 平面 PAD ； （ 3）求四棱锥 ABCDP? 的体积 . 20.设点 M 是 x 轴上的一个定点，其横坐标为 a（ Ra? ），已知当 1?a 时，动圆 N 过点 M且与直线 1?x 相切，记动圆 N 的圆心 N 的轨迹为 C . （ 1）求曲线 C 的方程； （ 2）当 2?a 时
9、，若直线 l 与曲线 C 相切于点 ),( 00 yxP （ 00?y ），且 l 与以定点 M 为圆5 心的动圆 M 也相切，当动圆 M 的面积最小时，证明： PM, 两点的横坐标之差为定值 . 21.已知函数 xebxaxf )()( 3? ， xxxg ln)( ? ，且函数 )(xf 的图象在点 ),1(e 处的切线与直线 012 ? yex 平行 . （ 1）求 ba, ； （ 2）求证：当 )1,0(?x 时， 2)()( ? xgxf . 请考生在 22、 23 两题中任选一题作答 .注意：只能做所选定的题目 .如果多做，则按所做第一题计分 . 22.在直角坐标系中，以原点为极点
10、， x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两坐标系中取相同的单位长度，已知曲线 C 的方 程为 ?22 sin21 3?，点 )6,32( ?A . （ 1）求曲线 C 的直角坐标方程和点 A 的直角坐标； （ 2）设 B 为曲线 C 上一动点，以 AB 为对角线的矩形 BEAF 的一边平行于极轴，求矩形BEAF 周长的最小值及此时点 B 的直角坐标 . 23.已知函数 |)( axxf ? . （ 1）若不等式 2)( ?xf 的解集为 4,0 ，求实数 a 的值 ； （ 2）在（ 1）的条件下，若 Rx?0 ，使得 mmxfxf 4)5()( 200 ? ，求实数 m 的取值范围 . 6 试
11、卷答案 一、选择题 1-6： CDACDB 7-12： AADBCB 二、填空题 13 3? ； 14 1? 8； 15 249? 16 99001 三、解答题 17.（ 1） 3?x 是函数 xxmxf 2co s2sin)( ? 的图象的一条对称轴 1)3( 2 ? mf ? 或 12? m 3?m （或利用对称性：如 )32()0( ?ff ? ） )62sin (2)( ? xxf ? 增区间： )(3,6 Zkkk ? ? . （ 2） 2)( ?Bf 31)62s in ( ? ? BB 又 3?b ，由正弦定 理得： )3s in (2s in2,s in2 ? ACcAa )6
12、s in (3)3s in (s in22 ? ? AAAca )1,21()6s i n ()2,6(6)32,0( ? ? AAA )3,23(2 ? ca . 18. 解： （ 1）茎叶图如下（图中的茎表示十位数字，叶表示个位数字）： 从茎叶图中可看出： A 班数据有 109 集中在茎 0、 1、 2 上， B 班数据有 108 集中在茎 1、 2、 3 上； A 班叶的分布是单峰的， B 班叶的分布基本上是对称的； A 班数据的中位数是 10， B 班数据的中位数是 23. （ 2） A 班样本数据的平均值为 2.13)312220141198755(101 ?甲x小7 时； B 班样
13、本数据的平均值为 3.20)353130262521121193(101 ?乙x 小时 . 因为 乙甲 xx ? ，所以由此估计 B 班学生平均观看的时间较长 . （ 3） A 班的样本数据中不超过 11 的数据 a 有 6 个，分别为 5、 5、 7、 8、 8、 11； B 班的样本数据中不超过 11 的数据 b 有 3 个，分别为 3、 9、 11. 从上述 A 班和 B 班 的 数 据 中 各 随 机 抽 取 一 个 ， 记 为 ),( ba ， 分 别 为 ：),11,5(),9,5(),3,5(),11,5(),9,5(),3,5( )11,11(),9,11(),3,11(),1
14、1,9(),9,9(),3,9(),11,8(),9,8(),3,8(),11,7(),9,7(),3,7( 共 18 种， 其中 ba? 的有： )9,11(),3,11(),3,9(),3,8(),3,7(),3,5(),3,5( 共 7 种 . 故 ba? 的概率为 187?P . 19. 解： (1)如图所示， 连接 AC . 四边形 ABCD 为矩形，且 F 为 BD 的中点 , F 也是 AC 的中点 . 又 E 是 PC 的中点， APEF/ , ?EF 平面 PAD ， ?AP 平面 PAD . (2) 证明：平面 ?PAD 平面 ABCD ， ADCD? ，平面 ?PAD 平
15、面 ADABCD? ， ?CD 平面 PAD . ?CD 平面 PDC ，平面 ?PDC 平面 PAD . (3)取 AD 的中点 O ，连接 PO . 平面 ?PAD 平面 ABCD ， PAD? 为等腰三角形， ?PO 平面 ABCD ，即 PO 为四棱锥 ABCDP? 的高 . 2?AD ， 1?PO . 又1?AB ， 四棱锥 ABCDP? 的体积 3231 ? ADABPOV . 20. 解 ： （ 1）圆 N 与直线 1?x 相切，点 N 到直线 1?x 的距离等于圆 N 的半径， 8 点 N 到点 )0,1(M 的 距离与到直线 1?x 的距离相等 . 点 N 的轨迹是以点 )0
16、,1(M 为焦点，直线 1?x 为准线的抛物线 . 圆心 N 的轨迹方程，即曲线 C 的方程为 xy 42? . （ 2）由题意，直线 l 的斜率存在 .设直线 l 的方程为 )( 00 xxkyy ? ， 由? ? ? xy xxkyy 4 )(2 00得 04002 ? ykxyyk， 又 020 4xy ? ， 0440202 ? yykyyk， 直线 l 与曲线 C 相切， 0)4(1020 ? yykk，解得02yk? . 直线 l 的方程为 024 200 ? yyyx . 动圆 M 的半径即为点 )0,(aM 到直线 l 的距离2020416 |4| yyad ?. 当动圆 M
17、的面积最小时，即 d 最小，而当 2?a 时， 1242 442 442 44442 4416 |4| 2020202020202020 ? ayayyayyayyyad 当且仅当 8420 ? ay ，即 20 ?ax 时取等号，当动圆 M 的面积最小时， 20?xa ， 即当动圆 M 的面积最小时， PM, 两点的横坐标之差为定值 21.解： （ 1） ef ?)1( ，故 eeba ? )( ，故 1?ba ， 依题意， ef 2)1( ? ，又 xexxxf )23()( 32 ? ，故 24 ? ba 联立 解得 2?a ， 1?b （ 2）证明：要证 2)()( ? xgxf ，即证 xxxee xx ln22 3 ? 令 32)( xeexh xx ? )22)(1()23()( 223 ?
