1、什么是一个数的算术平方根？如何表示？什么是一个数的算术平方根？如何表示？正数的正的平方根叫做它的算术平方根。正数的正的平方根叫做它的算术平方根。什么叫做一个数的平方根？如何表示？什么叫做一个数的平方根？如何表示？一般地，若一个数的平方等于一般地，若一个数的平方等于a，则，则这个数就叫做这个数就叫做a的平方根。的平方根。用用 (a0)表示。表示。a0 0的算术平方根平方根是的算术平方根平方根是0 0a a的平方根是的平方根是a复习复习1、如果、如果 ，那么，那么 ；42xx2、如果、如果 ，那么，那么 ；32xx3、如果、如果 ，)0(2aaxx那么那么 。x2 23a1.1.如图所示的值表示正
2、方形的如图所示的值表示正方形的面积，则正方形的边长是面积，则正方形的边长是 3bb-32.要修建一个面积为要修建一个面积为6.28m2的圆形喷水池，的圆形喷水池，它的半径为它的半径为 m（取取3.14）；23、关系式中、关系式中 ，用含有，用含有h的式子的式子表示表示t，则，则t为为 。25th 5h导入导入新授新授:观察以上各式，它们有什么共同特点？观察以上各式，它们有什么共同特点？表示一些正数的算术平方根表示一些正数的算术平方根3b25h25002a 25002a3b表示一些表示一些正数正数的的算术平方根算术平方根.的式子叫做二次根式形如 a)0(a你认为所得的各代数式有哪些共同特点？你认
3、为所得的各代数式有哪些共同特点？a被开方数被开方数二次根号二次根号25h归纳归纳:二次根式的定义二次根式的定义(默默1）一般地，形如一般地，形如 的式子的式子叫二次根式。叫二次根式。)0(aa 本课学习目标：（1）二次根式的概念）二次根式的概念(双重非双重非负性负性)（2）根号内字母的取值范围）根号内字母的取值范围（3）二次根式的性质）二次根式的性质(1,2)请你凭着自己已有的知识请你凭着自己已有的知识,说说说对二次根式说对二次根式 的认识！的认识！a?(0).a a 形如的式子叫做二次根式2.a可以是数可以是数,也可以是式也可以是式.3.形式上含有二次根号形式上含有二次根号4.a0,0 a5
4、.既可表示开方运算既可表示开方运算,也可表示运算的结果也可表示运算的结果.1.表示表示a的算术平方根的算术平方根(双重非负性双重非负性)1a如：如：这类代数式只能称为含有二次根这类代数式只能称为含有二次根式的代数式，不能称之为二次根式；式的代数式，不能称之为二次根式；而而 这类代数式，应把这类代数式，应把 这些二次根式看做这些二次根式看做系数或常数项，整个代数式仍看做整式。系数或常数项，整个代数式仍看做整式。3222xx3,2说一说说一说:下列各式是二次根式吗下列各式是二次根式吗?3 32 25 5 (7 7),a a (6 6)，x xy y (5 5)m m-(4 4),1 12 2 (3
5、 3)6 6,(2 2),3 32 2 (1 1)1(m0),(m0),(x,y(x,y 异号异号)在实数范围内在实数范围内,负数没有平方根负数没有平方根219a222 aax)0(x23m1、判断下列代数式中哪些是二次根式？、判断下列代数式中哪些是二次根式？1(3)aa 16例例1 x为何值时，下列各式在实数范围内有意义。为何值时，下列各式在实数范围内有意义。(1)5x(2)1 3x(3)13xx例题讲解例题讲解（3）由题意可知：）由题意可知：5x 0301xx1313xx131 3x15x 1）由）由x-50,得得x 5当当 x 5时，时，有意义有意义（2）由）由1-3x0得得x当当 x
6、时，时，有意义有意义当当-1 x 3时，时，有意义；有意义；解：解：（变式：变式：15x50105xx15x当当x取何值时，取何值时，在实数范围内有意义。（默在实数范围内有意义。（默2）当当x5时，时，在实数范围内有意义。在实数范围内有意义。x-5 0解：由题意得解：由题意得51x2x15解:由题意得,2020202xxxx5555（默（默3）求下列二次根式中字母求下列二次根式中字母 的取值范围（默的取值范围（默4）(1)解：解：字母字母 a 的取值范围是全体实数的取值范围是全体实数 a(1)无论无论 取何值，取何值，都有都有a210a字母字母 的取值范围是全体实数的取值范围是全体实数.aa字
7、母字母 的取值的取值范围是全体实数范围是全体实数.22222(21)1(1)10aaaaa 2a2)1(a(2)2a(2)解：解：-02a002aa02a2)1(a(a为任何实数)(a=1)(a=1)说明说明:1.1.当被开方数本身为当被开方数本身为非负数或能化为非负非负数或能化为非负 数形式时数形式时，其字母的取值范围为：，其字母的取值范围为：全体实数全体实数；2.2.当被开方数本身为当被开方数本身为非正数或能化为非正数形式非正数或能化为非正数形式时时，其字母的取值范围为：使，其字母的取值范围为：使被开方数为被开方数为0 0的值。的值。(a为任何实数)求下列二次根式中字母的取值范围：求下列二
8、次根式中字母的取值范围：11a a2112 233a解：（1）由题意得：10a 1a 即当 时，1a1a 有意义.求字母的取值范围的口诀（默求字母的取值范围的口诀（默5）从左看到右从左看到右;从上看到下从上看到下看到分数线看到分数线,分母不为分母不为0 0（2）(3)为任意实数a12a 看到偶次根式看到偶次根式,被开方数大于等于被开方数大于等于0 0看到看到0 0指数指数,底数不为底数不为0 0最后画数轴最后画数轴,写出解集来写出解集来xx1)4(4)3(2 1、x取何值时取何值时,下列二次根式有意义下列二次根式有意义?xx3)2(1)1(1x0 x为全体实数x0 x3)5(x0 x21)6(
9、x0 x01(2)3xxx(7)1,2xx 且2xx(8)0 x 1)9(2x为全体实数x参考图参考图1-2,完成以下填空完成以下填空:22212_;7_;_.22712一般地一般地,二次根式有下面的性质二次根式有下面的性质:快速判断快速判断 222222113_,2_,32_,73245_,5_.3 532712323aa?9 4161517)0(2aaaaa2)(2222_,5_,0_,|2|_;|5|_;|0|_.请比较左右两边的式子请比较左右两边的式子,议一议议一议:与与 有什么关有什么关系系?当当 时时,;当当 时时,2a|a2_;a 2_.a 0a 0a 225500aa)0(0(
10、2aaaaaa）aa 22)2)(1(2)2)(2(2)2()3(2)2()4(22)5(2)2()6(22-2|-2|=2|2|=2-|-2|=-2大家抢答大家抢答23_22_,725_21_22_5 132527512524_4 421(1)xx1x?)(22有区别吗与 aa2.从取值范围来看从取值范围来看,2a2a a00a取任何实取任何实数数1:从运算顺序来看从运算顺序来看,2a2a先开方先开方,后平方后平方先平方先平方,后开方后开方=aa (a 0)0)3.从运算结果来看从运算结果来看:2a2a-a (a0)0)=a 比较分析比较分析 和和2a2a读法读法运算顺序运算顺序a的取值范围
11、的取值范围运算结果运算结果2a2a先开方先开方,后平方后平方先平方先平方,后开方后开方a0a0a a取全体实数取全体实数a a a a 根号根号a a的平方的平方根号下根号下a a平方平方二次根式的性质及它们的应用二次根式的性质及它们的应用:（1）（2）2aaa0-a(a 0)(a=0)(a 0)(x0)讨论与思考讨论与思考将下列各式化简：将下列各式化简：)21()1(x原式12 1 x2)(:yx原式解xy 2223yxyx0100 xxxyxyx 0yx)yx（原式42例例3 3、化简及求值：、化简及求值：(1)(2)(3)(1)(2)(3)(a a0,b0,b0 0)(4)(4)其中其中
12、a=a=(5)(5)4a22a b21 2a a22)12()21(342(1)(2)(3)(1)(2)(3)(a a0,b0,b0 0)(4)(4)其中其中a=a=(5)(5)4a22a b21 2a a22)12()21(422解：原式22aa解：原式ab解：原式1)1(:2aa原式解2212121221解：原式0,0ba0abab原式31313133）（时，原式当a解：原式=22(3)(1)xx=|x-3|+|x+1|x-3|+|x+1|-1x3,x-3-1x00,x+10原式原式 =(3-x)+(x+1)=4=(3-x)+(x+1)=4_,4)4(2的取值范围是则思考：若mmmmm4?
13、)4(24m404mm41682mmm（默（默7）（默（默8）1.若若 ,则则x的取值范围为的取值范围为 ()xx1)1(2(A)x1 (B)x1 (C)0 x1 (D)一切有理数一切有理数A2.实数实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简在数轴上的位置如图所示，化简 22()()abbccaabc2()b c a 2()c a b 2()b c a 3.3.已知已知a a，b b，c c为为ABCABC的三边长，化简：的三边长，化简：+-0)(,0)(,0,acbbacacbcba是三角形三边这一类问题注意把二次根式的运算搭载在三角形三边之间的关系这个知识点上，特别这一类问题注意把二次根式
14、的运算搭载在三角形三边之间的关系这个知识点上，特别要应用好。要应用好。acbbacacb解：原式cabacbcbaacb3原式（默（默9）化简化简xx1)312（4.化简化简 222)1(pp)2(1pp解：原式121pp202pp22)()1(aaaa1解：原式121aaa31031xx（默（默10）归纳归纳二次根式的非负性：二次根式的非负性：0a二次根式的双重非负性：二次根式的双重非负性：00aaa（）（）（），（），时，时，、当、当yxyx0311的值。的值。求求、已知、已知xyzzyx02365223.3.根据非负数的性质，就可以确定字母的值根据非负数的性质，就可以确定字母的值.2.2
15、.如果几个非负数的和为零，那么每一个非负数都为零如果几个非负数的和为零，那么每一个非负数都为零.到现在为止，我们已学过哪些数非负数形式？到现在为止，我们已学过哪些数非负数形式？思考：思考：为偶数）nan()0(aaa的双重非负性再议 a非负数非负数的性质：的性质：1.1.几个非负数的和、积、商、乘方及几个非负数的和、积、商、乘方及算术平方根仍是非负数算术平方根仍是非负数cbacba则若（,023)223（默（默11）（默（默11）（默（默11）例例3、当、当x是怎样的实数时，是怎样的实数时，有最有最小值？最小值是多少？小值？最小值是多少？2x202xx有什么性质？有什么性质？二次根式二次根式
16、的双重非负性：的双重非负性：a00aaa02 x解：02 x2x当当x=-2时，时，有最小值有最小值02x2、2+的最小值为，此时的最小值为，此时x的值为的值为。x323（默（默12）当当t是怎样的实数时，是怎样的实数时，有最有最小值？最小值是多少？小值？最小值是多少？012t解：12t不可能）(10122tt11110222ttt当当t=0时，时，有最小值有最小值112t（默（默13）小结：小结：1.1.怎样的式子叫二次根式？怎样的式子叫二次根式？2.2.怎样判断一个式子是不是二次根式？怎样判断一个式子是不是二次根式？3.3.如何确定二次根式中字母的取值范围？如何确定二次根式中字母的取值范围
17、？.的式子叫做二次根式形如 a)0(a（1）.形式上含有二次根号形式上含有二次根号（2 2）.被开方数被开方数a a为非负数，为非负数，从左看到右从左看到右;从上看到下从上看到下看到分数线看到分数线,分母不为分母不为0 0看到偶次根式看到偶次根式,被开方数大于等于被开方数大于等于0 0看到看到0 0指数指数,底数不为底数不为0 0最后画数轴最后画数轴,写出解集来写出解集来4.真正理解：真正理解：)0(2aaa aa2)0()0(aaaa这两个性质的概念，这两个性质的概念，我们才能我们才能灵活灵活地去解决有关二次根式的问题。地去解决有关二次根式的问题。解决二次根式类问题时特别注意条件，解决二次根
18、式类问题时特别注意条件，有时还得挖掘有时还得挖掘隐含隐含条件。条件。（双重非负性）.0,0.5aa二次根式的性质及它们的应用二次根式的性质及它们的应用:（1）（2）2aaa0-a(a 0)(a=0)(a 0)0(,2aaa3.3.根据非负数的性质，就可以确定字母的值根据非负数的性质，就可以确定字母的值.2.2.如果几个非负数的和为零，那么每一个非负数都为零如果几个非负数的和为零，那么每一个非负数都为零.到现在为止，我们已学过哪些数非负数形式？到现在为止，我们已学过哪些数非负数形式？思考：思考：为偶数）nan()0(aaa的双重非负性再议 a非负数非负数的性质：的性质：1.1.几个非负数的和、积
19、、商、乘方及几个非负数的和、积、商、乘方及算术平方根仍是非负数算术平方根仍是非负数cbacba则若（,023)223切入点切入点：从字母的取值范围入手。从字母的取值范围入手。l1.已知已知 ，你能求出，你能求出 的值吗？的值吗？442yxxxyl3.已知已知 ，你能求出，你能求出 a 的取值范围吗？的取值范围吗？13xxl2.已知已知 与与 互为相反数，互为相反数，求求 、的值的值.29xy3xyxy切入点切入点：从代数式的非负性入手。从代数式的非负性入手。l4.已知已知 为一个非负整数，试求非负整数为一个非负整数，试求非负整数 的值的值10aa切入点切入点：分类讨论思想。分类讨论思想。(4)
20、1aa011000或10101或0aaaaaaaaa 解:由题意得,(4)1aa2.2.已知已知a,ba,b为实数，且满足为实数，且满足 ，你能求出你能求出a a及及a+ba+b 的值吗？的值吗？12112bba2ab1.1.若若=0=0，则，则=_=_。3、已知、已知 有意义有意义,那那A(a,)在在 象限象限.二二a1由题意知由题意知a a0 0点点A(A(,)a22(5)(22)ab5.,12的值求自然数为一个整数nn可以为：a1212、11 11、8 8、3 31、求下列二次根式中字母的取值范围：（1）（2）（3）（4）43x21x1x2222y）（132x130216xx(1)解:由
21、题意得,2(2)0yy可取全体实数(2)解:由题意得,21012xx (3)解:由题意得,43021210430430或2102104132xxxxxxxx (4)解:由题意得,2x10200且4xxxx解:由题意得,1.求下列各式有意义时的求下列各式有意义时的X取值范围：取值范围：|31 4xx|301 41 40|30|30或1 401 403或333或114413或34xxxxxxxxxxxxxx 解:由题意得,112xx xx631 232x 14x_)3)(2(_)1()1(22_)4()4(_)311()3(22113431 2.数数a在数轴上的位置如图在数轴上的位置如图,则则 2
22、_.a0-2-11aa1.填空填空_;)1()5(22x;_)6(2m12x)0()0(mmmm3.实数实数p在数轴上的位置如图所示，在数轴上的位置如图所示，化简化简 222)1(pp121)2(1pppp22(4)(1)xx2222()()()()a b ca b cb a cc b a 6.x,y取怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？(1)xy22(2)x y解（：1）由题意得，-xy0,即xy0,0,x yx y是异号，两数都为，或中至少有一个数为0,x y（2）中至少有一个数为0时，22x y有意义1.1.（20102010芜湖中考）要使式子芜湖中考）要使式子 有意义，有意义，a
23、 a的取值范围是（的取值范围是（）A.a 0 B.aA.a 0 B.a-2-2且且a 0a 0 C.aC.a-2-2或或a 0a 0 D.a-2D.a-2且且a 0a 0【解析解析】选选D.D.要使式子要使式子 有意义，须同时有意义，须同时满足满足a+20a+20，a0a0两个条件，解两个不等式两个条件，解两个不等式可得可得a-2a-2且且a0 a0。aa2aa 22 2下列式子一定是二次根式的是（下列式子一定是二次根式的是（）A A B B C C D D【解析解析】选选C.AC.A中只有当中只有当x-2x-2时，才是二次根式，故时，才是二次根式，故A A不一定是二次根式；不一定是二次根式；
24、B B中中当当x0 x0时是二次根式，故时是二次根式，故B B不一定是二次根式；不一定是二次根式；C C中无论中无论x x为何值，为何值，x x2 2+2+20 0，所，所以以C C一定是二次根式；一定是二次根式；D D中当中当x=0 x=0时，不是二次根式，所以时，不是二次根式，所以D D也不正确。也不正确。2x x22x 22x 若若a.b为实数为实数,且且求求 的值。的值。|2|2 0ab 2221abb解解:20,a20b 而 220ab 20,a 2 0b 2,2ab 2222原式112 13abab 3.2(12)2(23)2(34)4.4.计算计算：+2)20112010(5.如
25、果如果2(5)a+b-2=0，求以，求以a、b为边长的等腰为边长的等腰 三角形的周长。三角形的周长。1201120102011.342312解原式122,5,02)5(2的周长为解ABCbaba2(3)x2x6.6.化简：化简：-（）2 2分析：本题是化简，说明题中的每一个二次根式均在有意义的范围内，本题有分析：本题是化简，说明题中的每一个二次根式均在有意义的范围内，本题有一个隐条件，即一个隐条件，即2-x0,x2.123,2,02xxxx原式解()()a xaa yaxaay22223xxyyxxyy7.设等式设等式在实数范围内成立，其中在实数范围内成立，其中a,x,y 是两两不等的实数，求
26、是两两不等的实数，求的值。的值。解：解：()()a xaa yaxaay313,02222yxyxyxyxyxyxa巩固提高：巩固提高：2(32)x1.分别求下列二次根式中的字母的取值范围分别求下列二次根式中的字母的取值范围2(1)x32xx（1）（2）（3）23023).1(xx为全体实数x).2(23203).3(xxxx且且2.当当x_时时,33xx有意义有意义.=022()2()abba3.化简：化简：=_2a-3b4.要使式子要使式子 有意义，那么有意义，那么x的取值范围是（的取值范围是（）A、x0 B、x0 C、x=0 D、x0 xxC332yxx3yx5.已知已知,求求的值。的值
27、。3932,3,33,03032yxyxxxxx只有且且解0 xy 2x y6.已知已知，化简：，化简：yxyxyxyxxy22,0,0:0,0得解由73,73xy22xxyy7.已知：已知：，求，求的值。的值。1612283)(4,72222xyyxyxyxxyyx解练习练习:1.用心算一算用心算一算:2471 2101 2712 22330.118232)5(12 2326232.计算：计算：22)15()10()1(222)2(2)2(2)9(25)7()3(222)7354()5372()4(51510解原式22222222222解原式15357解原式352715173547253解原
28、式 222211015;27259;322222.试试你的计算能力试试你的计算能力:215-5试试你的计算能力试试你的计算能力:22232421|;535323432.75571523352把下列各式写成平方差的形式，把下列各式写成平方差的形式，再在再在实数范围内分解因式；实数范围内分解因式；54)1(2x103)2(2a2252)1(）（）（原式解、x22103)2(）（）（原式a)52)(52(xx)103)(103(aa思路启迪：思路启迪：利用利用 可以把任何一可以把任何一个非负数或非负式子写成完全平方形式个非负数或非负式子写成完全平方形式 02aaa把下列各式写成平方差的形式，把下列各
29、式写成平方差的形式，再在再在实数范围内分解因式；实数范围内分解因式；9)3(4a96)4(24 aa2223)3(）（原式a22)3()4(a原式)3)(3(22aa)3)(3)(3(2aaa22)3()3(aa.,18的值求自然数为一个整数nnn为2，9，14，171(2)12a101 21 201 2012aaaa解:由题意得,(0).a a 代数式叫做二次根式(0).a a 代数式叫做二次根式2.a可以是数可以是数,也可以是式也可以是式.1.二次根式的两个特征：二次根式的两个特征：（1）根指数为）根指数为2（2）被开方数大于等于零）被开方数大于等于零形形质质如如222212,1,4(4)
30、,(2)32abac bacxx等都是二次根式都是二次根式说一说说一说:下列各式是二次根式吗下列各式是二次根式吗?4223(8)11(9)4 2(10)3x3 32 22 2(1 1)3 32 2 (2 2)1 12 2 (3 3)8 8(4 4)a a (5 5)-m m (m m0 0)(6 6)2 2a a-1 1 (7 7)a aa a 被开方数被开方数a0有意义有意义，a被开方数被开方数a可以是数也可以是式可以是数也可以是式例例1 a取何值时取何值时,下列根式有意义下列根式有意义?21(1)21(2)2(3)(4)1xxxx-+解解(1)由由x得得x.所以，当所以，当x.时，有意义时
31、，有意义21x-(2)由由x得得x所以，当所以，当x 时，有意义时，有意义2x-(3)由由及及x得得x1x所以当所以当x时，有意义时，有意义1x(4)不论不论x为何实数，都有为何实数，都有x 2所以，当所以，当x取任何实数时，有意义取任何实数时，有意义21x+求二次根式中字母的取值范围的基本依据是什么？求二次根式中字母的取值范围的基本依据是什么？被开方数大于等于零；被开方数大于等于零；分母中有字母时，要保证分母不为零。分母中有字母时，要保证分母不为零。说一说说一说练习：练习：x取何值时取何值时,下列二次根式有意义下列二次根式有意义?xx3)2(1)1(1x0 x为全体实数x0 xxx1)4(4
32、)3(23)5(x0 x21)6(x0 x求二次根式中字母的取值范围的基本依据：求二次根式中字母的取值范围的基本依据：被开方数大于等于零；被开方数大于等于零；分母中有字母时，要保证分母不为零。分母中有字母时，要保证分母不为零。12a 0)a (a0)=0 (a=0)0 (a=0)?)(22有区别吗与 aa2.从取值范围来看,2a2a a0a0a a取任何实数取任何实数1:从运算顺序来看,2a2a先开方先开方,后平方后平方先平方先平方,后开方后开方22()aa与3.3.从运算结果来看从运算结果来看:=a=aa (aa (a 0)0)2a2a-a (a-a (a0)0)=a a _,4)4(2的取
33、值范围是则思考：若mmm4m例求下列二次根式的值例求下列二次根式的值22(1)(3)(2)21(3)xxxp-+=-2(3)|3|pp-=-解解：(1)30p-2(3)3pp-=-(2)2221(1)|1|xxxx-+=-=-当当x 时，时，x0)a (a0)-a (a-a (a0)0)=a a 2a=二次根式的性质二次根式的性质0 (a=0)0 (a=0)1、练习册、练习册16.12、一课一练、一课一练P1-2已知已知 有意义有意义,那那A(a,)在在 象限象限.a二二?a1由题意知由题意知a a0 0点点A(A(,)_2162取值范围是的中字母下列式子xxx03x?2x+602x+60-2
34、x-2x0 0 x-3x-3x x0 0.,12的值求自然数为一个整数nnn12n=3，8，11，12?若若a.b为实数为实数,且且求求 的值的值022ba1222bba解解:20a，02 b022ba而20a，02b22ab，31212212222ba原式实数实数p在数轴上的位置如图所示，化简在数轴上的位置如图所示，化简 222)1(pp121)2(1pppp?在实数范围内分解因式在实数范围内分解因式:243x 233（）2224323xx（）（）解解:(23)(23)xx已知已知x，化简，化简2211()4()4xxxx-+-+-2已知已知416210 xyxy-+-=+求求 的值的值20
35、11(2)xy-11|xxxx112xxxxx141426290 xxyy22(12)(23)0 xyx=5，y=112011(2)1xy 1.一个平行四边形的底为一个平行四边形的底为 ，高为，高为 ，求，求这个平行四边形的面积。这个平行四边形的面积。根据平行四边形的面积公式 S=ah 求解。提示5353S=这是最终结果吗？这个结果能否继续化简？如何化简？53新课导入 2.如果矩形的面积是如果矩形的面积是 ，长为，长为 ，求宽。，求宽。根据矩形的面积公式 S=ab 求解。205提示5？20205b=这是最终结果吗？这个结果能否继续化简？如何化简？16.2二次根式的乘除 【知识与能力】理解 （a
36、0，b0），（a0，b0），并利用它们进行计算和化简。理解 （a0，b 0）和（a0，b 0），及利用它们进行运算。理解最简二次根式的概念，并运用它化简二次根式。abab=abab=aabb=aabb=教学目标 【过程与方法】利用具体数据探究，不完全归纳法得出二次根式的乘（除）法规律。使用逆向思维，得出二次根式乘（除）法规律的逆向等式。分析结果，抓住它们的共同点，给出最简二次根式的概念。【情感态度与价值观】利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神。abab=abab=aabb=aabb=（a0，b0）（a0，b 0）（a0，b0）（a0，b 0）利用以上公式进行计算和化简。教学重难点探究1.计算
37、：425=425=11916=11916=有什么规律？有什么规律？2525=2 510=100=21010=221134骣骣鼢珑=鼢珑鼢珑桫桫1113412=1144=2112骣桫112=探究2.填空：23 _625 _ 10254254=算术平方根的积各个被开方数积的算术平方根=254254=各个被开方数积的算术平方根算术平方根的积=逆向等式归纳(4)(254)(25)(4)(25100)10 下面的等式成立吗？为什么？根号下不能出现负数！abab=abab=知识要点（a0，b0）（a0，b0）a、b必须都是非负数！二次根式的乘法规定：逆向等式：可以进行二次根式的化简。例题计算：（2）（1）
38、312128872例题化简：（1）2253 12=36=6=128872=4=2=1515=()215=15=15 15=（2）2316ab c2316abc=24a bc c=24a bcc=4a b cc=4bc ac=16，b2，c2，是开得尽的因数或因式。例题计算：（1）3 52 1032 5 10=创26 52=26 52=65 2=30 2=3 52 1032 552=创32 552=创()23252=创65 2=30 2=一题多解（2）12xyx12xyx=2y=12xyx12xyx=12xyx=12xyx=2y=一题多解探究1.计算：169=169=有什么规律？有什么规律？22
39、4343=243骣桫43=425=425=222525=225骣桫25=探究2.填空：22_3322_55449449=算术平方根的商各个被开方数商的算术平方根=各个被开方数商的算术平方根算术平方根的商=逆向等式归纳449449=449494=-下面的等式成立吗？为什么？根号下不能出现负数！049049=490490=分母不能为0！知识要点二次根式的除法规定：逆向等式：可以进行二次根式的化简。aabb=aabb=（a0，b 0）（a0，b 0）例题化简：（2）（1）31162259yx 如果被开方数是带分数，应先化成假分数。1916=1916=194=2259yx=53yx=例题计算：（1）1
40、12 15262111526=23652=235=65=如果根号前有系数，就把系数相除，仍作为二次根号前的系数。一题多解4 23 7（2）4237=-427377=-241437=-241437=-41437=-4 1421=-427377=-24143(7)=-41437=-4 1421=-为了去掉分母中的根号最后结果的分母中不含二次根式。（3）2aab+2a ababab+=+2a abab22a abab23 402106 1010206 102 556030=（4）23 2 10为了去掉分母中的根号最后结果的分母中不含二次根式。分母有理化 把分母中的根号化去,使分母变成有理数，这个过程
41、叫做分母有理化。2.分母有理化的关键是要搞清分式的分子和分母都乘什么。注意 1.在二次根式的运算中，一般先观察把能化简的二次根式化简，再考虑如何化去分母中的根号。这样的二次根式，叫做最简二次根式。知识要点最简二次根式的特点n 被开方数不含分母。n 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。194、53yx、65、4 1421、2a abab、530以上各例题的最后结果：n 分母中不含二次根式。n 被开方数不能含有小数或分数。n 分子分母不能约分。n 最后结果中的二次根式要求化成最简二次根式。在二次根式的运算中，最后结果的一般要求22如：10.22如：或223xyx如：122如：1222RhRh1
42、22hhh化简 。1222RhRh1222RhRh12hh1222hhhh1.将被开方数尽可能分解成几个平方数.2.应用baab 3.将平方式（或平方数）应用 把这个因式（或因数）开出来，将二次根式化简。20aa a（）化简二次根式的步骤 在RtABC中，C=90，BC=1.5 cm，AC=3 cm，求斜边 AB 的长。例题解答：CAB3 cm？1.5 cm解：由勾股定理 AB2=AC2BC2，AB=CAB3 cm？1.5 cm22ACBC2231.523924543 52（cm）0,0ababab0,0aababb1.二次根式的乘法：课堂小结2.二次根式的除法有两种常用方法：（1）利用公式：
43、0,0aababb （2）把除法先写成分式的形式，再进行分母有理化运算。0,0aabbab（1）将被开方数尽可能分解成几个平方数。（2）应用 。baab （3）将平方式（或平方数）应用 把这个因式（或因数）开出来，将二次根式化简。20aa a（）3.化简二次根式的步骤：1.判断下列算法是否正确，不正确的请予以改正。121224254254 128 325124252525（）49149（）随堂练习121121122425252511216 74 7252525（）正确的算法如下：1494 92 36（）m 53355mmmm 2.等式 成立的条件是_。解：要想等式成立，必须满足：m3 0m5
44、0m 3m 5m 5 3.已知：1.732，如何求出 的近似值?313一题多解131311.7320.57713131.73230.577133333计算繁琐。计算简便。3 26（4）1a （）=a1（3）8（）=4（1）2 5（）=10（2）4.在括号内填写适当的数或式子使等式成立。21a53 5.化简。8138（）2224yxy（）8 38888 24824 2 6 222yxyxyxy2yxyxyy xyx6.已知实数 a、b 满足求 的值。14114303abba12ababab解：要想原等式有意义，必须满足：4110ab14303ba14a 12b 将 a、b 代入121121411
45、2124111482481211481224811122 3322ababab（）1=24 7.判断下列各式是否为最简二次根式？12311223.2342339412.8560.404（），（），（）（），（），（）34 558 55392105习题答案1.（1）（2）（3）（4）2.（1）（2）（3）（4）3.（1）（2）（3）（4）4.（1）（2）18 23 1030 3024 5322 3223x1410 3372abc4 62402()a（a0）a-a 当a0时，=；当a0时，=.|a|2aaab ba baba（a 0，b0）（a 0，b0）回顾:你会计算吗?(1)(2)104.03
46、03.0有简便的方法吗?根据什么?积和商的二次根式的性质:反过来:)0,0(),0,(babababoaabba二次根式乘除运算法则)0,0(ba)0,0(babababaab,二次根式相乘：被开方数相乘，根指数不变；化简。（默1）3223)2(1.01000)1(你能用上面二次根式乘法法则来计算吗？例1 计算：11322310100101000解：原式原式 二次根式乘除运算的一般步骤：1.运用法则,化归为根号内的实数运算;2.完成根号内相乘,相除(约分)等运算;3.化简二次根式.（默2）)0(6223)4(105)3(aaa例1 计算：2525550105解：原式aaaaaa31232632
47、261266a2232原式分子约分后,分解素因数,找平方的项开出,不必马上乘出来274125271245)(933420233220)(3601820计算：abmnbnam3224计算：316)4838(23232243224153：方法3162328246232242：方法结果必须化为最简二次根式.找因数的最大公因数,不行再分解因数（默3）xyx313)3(10253)2(714)1(:计算27727714714)1(52561052310253)2(230256yxxyxxyx2313313)3(yxyxyx2要先相乘，后化简。计算：26xy232)2(yx 226yx分子约分后,分解素因
48、数,找平方的项开出,不必马上乘出来二次根式乘除运算的一般步骤：1.运用法则,化归为根号内的实数运算;2.完成根号内相乘,相除(约分)等运算;3.化简二次根式.abmnbnam0,0ba例2：计算 1812323241解：832432412224 18231812318123293baba两个二次根式相除，等于把被开方数相除，作为商的被开方数331 10 05 50 0(2 2)2 23 32 2)1(计算：10751436152112)4(解：原式)3(原式)4(107514710521621115262365265如果根号前有系数，就把系数相除，仍旧作为二次根号前的系数。4162322321
49、 5105010502ba32)1(vuu32106例题2计算（2）(u0)bbba3332:原式解bab36bab36vuu32106:原式解uv53uvuvuv5553uvuv515050010,03uvvvuuuvuv515原式cbcaba22)3(（ab0）cbcaba22:原式解)(babacba)()()(1bacbacbac)()(bacbac00,000)(022cbababababaccbca)()(bacbac原式分子和分母乘除后,分别分解素因数,找平方的项开出,不必马上乘出来(分母必须是平方的项）多项式先因式分解,再乘除（默4）二次根式乘除运算的一般步骤：1.运用法则,化
50、归为根号内的实数运算;2.完成根号内相乘,相除(约分)等运算;3.化简二次根式.分子和分母乘除后,分别分解素因数,找平方的项开出,不必马上乘出来(分母必须是平方的项)多项式先因式分解,再乘除（默2）例3 计算：18278623(2)(1)3962362332341827818278解：原式解：原式6213623341812781827821223222330252383023原原式式解解:)(25810223)(528102123244323253830223:原式解5238302123224243244323（默5）计算)23(62325baabbaabb解;原式=baababbab3522
