1、 1 河北省衡水中学 2018 届高三数学下学期全国统一联合考试（ 3 月）试题 理 一、 选择题：本大题共 12 个小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1.已 知全集 ? ?1,2,3,4,5,6,7,8U ? ， ? ?3,4,5A? ， ? ?1,3,6B? ， 则集合 ? ?2,7,8 是 ( ) A.AB B.AB C. ? ?UC A B D. ? ?UC A B 2.已知复数 z 的 实部不为 0， 且 1z? ， 设 1zz?，则 ? 在 复平面上对应的点在 ( ) A.实 轴上 B.虚轴上 C.第 三 象限 D.第
2、 四 象限 3.将 ? ?2 nx? 的 展开式按 x 的 升 幂 排列，若倒数第三项的系数是 40? ， 则 n 的 值是 ( ) A.4 B.5 C.6 D.7 4.如图所示是三棱柱与球的组合体的三视图，则三棱柱的体积与球的体积之比是 ( ) A.33?B.6?C.9?D.43?5.设 1F ， 2F 分别 是双曲线 ? ?22: 1 0 , 0xyC a bab? ? ? ?的 左、右焦点，以 1F 为 圆心、 12FF 为半径的圆与双曲线左支的其中一个交点为 A ， 若 12 120AFF ? ， 则该 双 曲线的离心率是( ) A. 2 B. 3 C. 31? D. 312?6.若
3、函数 ? ? ? ? ?2 s in 2 0f x a x ? ? ? ? ? ?， a 是不 为零的常数 )在 R 上 的值域为 ? ?2,2? ， 且在区间 5 ,12 12?上 是单调减函数，则 a 和 ? 的 值是 ( ) A. 1a? ，3?B. 1a? ，3?C. 1a? ，6?D. 1a? ，6?7.已知函数 ? ? 32f x x ax bx c? ? ? ?(a ， b ， c 均 为常数 )的图象关于点 ? ?1,0? 对称 ，则 bc?2 的 值是 ( ) A. 4? B.4 C. 2? D.2 8.已 知“ x a x b? ? ? ” ，且 “ x a x c? ?
4、? ” ， 则 “ xc? ” 是 “ xb? ” 的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 9.“ 三个臭皮 匠 ，楔个诸葛亮 ” ，这是我们常说的口头禅，主要是说集体智慧的强大，假设李某智商较高，他独自一人解决项目 M 的 概率为 1 0.3P? ； 同时，有 n 个 水平相同的人也在研究项目 M， 他们各自独立地解决项目 M 的 概率都是 0.1 .现 在李某单独研究项目 M， 且这 n 个人组成的团队也同时研究项目 M， 设这个 n 人 团队解决项目 M 的 概率为 2P ， 若 21PP? ， 则 n的 最小值是 ( ) A.3 B.
5、4 C.5 D.6 10.已 知 向量 ? ?cos ,sinAB ? ， ? ?cos ,sinBC ? ， ? ?cos ,sinCA ? ， 其中02? ? ? ? ? ? ? ， 则 ABBC? 的 值是 ( ) A.12B. 12?C. 32?D. 3211.设函数 ?fx定义 如下表： x 1 2 3 4 5 ?fx 1 4 2 5 3 执行 如图所示的程序框图， 则 输出的 x 的值 是 ( ) A.4 B.5 C.2 D.3 12.已 知 异面直线 a ， b 所 成的角为 90 ， 直线 AB 与 a ， b 均 垂直，且 垂 足分别为 A ， B ，若动点 P 在 直线 a
6、 上 运动，动点 Q 在 直线 b 上 运动， 4PA QB?， 则线段 PQ 的 中点 M 的3 轨迹所围成的平面区域的面积是 ( ) A.2 B.4 C.8 D.12 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13.抛物线 24yx? 的 焦点到它的准线的距离是 _. 14.若实数 x ， y 满足 100xyxy? ?， 则 2z x y? 取得 最大值时对应的最优解是 _. 15.已 知在 ABC 中 ，角 ,ABC 的 对边分别是 ,abc， 5cos5A?， 10cos10B?， 2c? ，则 a? _. 16.已知函数 ? ?xxfxe?， 关于 x 的 方
7、程 ? ? ? ?2 20f x f x c? ? ? 有 以下四个结论： 当 0c? 时， 方程有 3 个 实根 ； 当221cc e?时， 方程有 3 个 实根； 当2211e ce? ?时，方程有 2 个 实根； 当221ec e?时， 方程有 4 个 实根 . 以 上结论中正确的有 _(填序号 ). 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .） 17.已 知正项等比数列 ?na 满足 ? ?*1 4nnna a n N? ?. (1)求数列 ?na 的 通项公式； (2)设2 2 11log lognnnb aa?，求 数列 ?nb 的
8、 前 n 项 和 nS . 18.如图，在三棱柱 1 1 1ABC ABC? 中 ， 1AC BC AB AA? ? ?， 过 AA 的 平面分别交 BC ， 11BC于 点 D ， 1D . (1)求证：四边形 11ADDA 为 平行四边形； (2)若 1AA? 平面 ABC ， D 为 BC 中 点， E 为 1DD 中 点，求二面角 1A CE C?的 余弦值 . 4 19.最近，在 “ 我是 演 说家 ” 第四季这档节目中，英国华威大学留学生游斯彬的 “ 数学之美 ”的演讲视频 在 微信朋友圈不断被转发， 点赞 的人数更是不断增加，对一周 (7 天 )内演讲视频被转发的天数 x 与 点
9、赞的人数 y 进 行了统计，数据见下表： x 1 2 3 4 5 6 7 y 6 11 21 34 66 114 210 根据 所给数据 ? ?,xy ， 画出了散点图以后，发现演讲视频被转发的天数 x 与 点赞的人数 y 的关系可以近似地表示为 xy ab? ( ,ab均 为正常数 ). (题中所有数据的最后计算结果都精确到 0.01 ) (1) 建立 y 关 于 x 的 回归方程； (2) 试 预测，至少经过多少天，点赞的人数超过 12000？ 附 ： 对于一组数据 ? ?11,xy ， ? ?22,xy ，? ， ? ?,nnxy ， 其回归直线 y x a?的 斜率和截距的 最小 二乘
10、估计分别为 ? ? ? ?121niiiniix x y yxx? ?， a y x? . 参考数据： lg2 lg3 lg6 lg1 lg21 lg34 lg6 lg114 lg210 0.30 0.48 0.78 1.04 1.32 1.53 1.82 2.06 2.32 20.已 知 椭圆 ? ?22: 1 0xyE a bab? ? ? ?的 左、右焦点分别为 1F 、 2F ， 椭圆 E 上 一点 A 在 x 轴上的 射 影恰好为 1F ， 且直线 2AF 的 斜率为 312?. (1)求椭圆 E 的 离心率； (2)当 2a? 时， 过点 ? ?0, 2Q ? 的 射线与椭圆 E
11、交 于不同的两点 M ， N ， 若点 P 在 射线 QM 上 ，且满足 2QM QN QP?， 求点 P 的 横坐标 0x 的 取值范围 . 21.已 知函数 ? ? lnf x x? . (1)设 ? ? ? ? ? ? ?F x f k x k f k? ? ?(其中 0k? )，求证： ? ? ? ?f x F x? . (2)若 曲线 ? ?y f x? 与 抛物线 ? ?2 2y ax a x? ? ? 有 两个公共点，求实数 a 的 取值范围 . 22.已知圆 C 的 极坐标方程为 2 2 2 sin 1 04? ? ? ? ? ?， 直 角 坐标系 xOy 的 坐标原点 O 与5 极点重合， x 轴 的正半轴与极轴重合 . (1)求圆 C 的 标准方程和它的一个参数方程； (2)设 ? ?,Pxy 是 圆 C 上 的任意一点，求 xy 的 最大值 . 23.已 知函数 ? ? 1f x x x? ? ? . (1)解不等式 ? ? 3fx? ； (2)若 ? ? ? ? 2f x f y?， 求 xy? 的 取值范围 .
