1、 - 1 - 湖北省襄阳市优质高中 2017届高三数学 1 月联考试题 理 第卷（选择题 共 60分） 一、选择题：本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分 .在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求 . 1.已知集合 ? ? ? ?2| 6 0 , | 3 1xA x x x B x? ? ? ? ? ?，则 ? ?RA C B ? A.? ?3,1? B. ? ?1,2 C. ? ?3,0? D.? ?1,2 2.已知 1i? 是关于 x 的方程 ? ?22 0 ,x px q p q R? ? ? ?的一个根，则 p qi? A. 2 B. 22 C. 32 D.42 3
2、.设向量 ? ? ? ?, 2 , 1, 1a m b m? ? ?，且 a 与 b 的方向相反，则实数 m 的值为 A. 2? B. 1 C. 2? 或 1 D.m 的值不存在 4.下列说法错误的是（ ） A. 若 2: , 1 0p x R x x? ? ? ? ?，则 2: , 1 0p x R x x? ? ? ? ? ? B. “ 1sin 2? ”是 “ 30 150 “?或 的充分不必要条件 C. 命题“若 0a? ，则 0ab? ”的否命题是“若 0a? ，则 0ab? ” D.已知 2: , c o s 1 , : , 2 0p x R x q x R x x? ? ? ?
3、? ? ? ?，则 ? ?“pq? 为假命题 5.在平面直角坐标系 xoy 中，双曲线的中心在原点，焦点在 y 轴上，一条渐近线与直线 2 1 0xy? ? ?垂直，则双曲线的离心率为 A. 52 B. 3 C. 2 D. 5 6.已知 121, , , 9aa?成等差数列， 1 2 39, , , , 1b b b?成等比数列，则 ? ?2 2 1b a a? 的值为 A. 8 B. 8? C. 8? D. 98? 7.按如下程序框图，若输出结果为 170，则判断框内应补充的条件是 - 2 - A. 5i? B. 7i? C. 9i? D. 11i? 8.已知某几何体的三视图如图所示（正视图
4、的弧线是半圆），根据图中标出的数据，这个几何体的表面积是 A. 36 288? B. 36 216? C. 33 288? D. 33 216? 9.已知函数 ? ? 2 ln xf x x x? ，则函 数 ? ?y f x? 的大致图象为 10.已知 1 203 x dx? ?，在矩形 ABCD 中， 2, 1AB AD?,点 P为矩形 ABCD内一点，则使得AP AC ?的概率为 A. 18 B. 14 C. 34 D.78 11.已知函数 ? ? ? ? ? ? ? ? ?sin , 0c o s , 0xxfx ?是偶函 数，则下列结论可能成立的是 A. ,48? B. 2 ,36?
5、 C. ,36? D. 52,63? 12.抛物线 ? ?2 20y px p?的焦点为 F,准线为 l ， A,B是抛物线上的两个动点，且满足23AFB ?，设线段 AB 的中点 M在 l 上的投影为 N，则 MNAB 的最大值是 A. 34 B. 33 C. 32 D. 3 第卷（非选择题 共 90分） 二、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分 . 13.从某校高三年级随机抽取一个班，对该班 50名学生的高校招生体检表中的视力情况进行统计，其频率分布直方图如图所示 .若某高校 A专业对视力的要求在 0.9 以上，则该班学生中能报 A专业的人数为 . 14.已知函数 ? ? ?
6、 ?s in 0 , 02f x x ? ? ? ? ? ? ? ?的- 3 - 图象经过点 10,2?，且相邻两条对称轴的距离为 2? ，则函数 ?fx在 ? ?0,? 上的单调递减区间为 . 15.将三项式 ? ?2 1 nxx? 展开，当 0,1,2,3,n? 时，得到以下等式： ? ?02 11xx? ? ? ? ?12211x x x x? ? ? ? ? ? ? 22 4 3 21 2 3 2 1x x x x x x? ? ? ? ? ? ? ? ? 32 6 5 4 3 21 3 6 7 6 3 1x x x x x x x x? ? ? ? ? ? ? ? ? 观察多项式系数
7、之间的关系，可以仿照杨辉三角构造如图所示的广义杨辉三角形，其构造方法为：第 0行为 1，以下各行每个数是它正头顶上与左右两肩上 3个数（不足 3个数的，缺少的数记为 0）的和，第 k 行共有 21k? 个数，若 ? ? ? ?52 11x x ax? ? ?在的展开式中， 7x 项的系数为 75，则实数 a的值为 . 16.若 1 1a? ，对任意的 nN? ，都有 0na? ，且 ? ?22112 1 2 0n n n nn a n a a a? ? ? ?.设 ?Mx表示整数 x 的个位数字，则 ? ?2017Ma ? . 三、解答题：本大题共 6小题，共 70 分 .解答应写出必要的文字
8、说明或推理、验算过程 . 17.（本题满分 12分）在 ABC? 中，角 ,ABC 的的对边分别为 ,abc （ 1）若 ,abc成等比数列， 12cos 13B? ，求 cos cossin sinAC? 的值； （ 2）若 ,ABC 成等差数列，且 2b? ，设 A? ， ABC? 的周长为 l ，求 ? ?lf? 的最大值 . 18.（本题满分 12分）近年来我国电子商务行业迎来蓬勃发展新机遇， 2016年双 11 期间，某网络购物平台推销了 A,B,C三种商品，某网购者决定抢购这三 种商品，假设该名网购者都参与了 A,B,C三种商品的抢购，抢购成功与否相互独立，且不重复抢购同一种商品，
9、对 A,B,C三件商品抢购成功的概率分别为 ? ?1,4a b a b? ，已知三件商品都被抢购成功的概率为 124 ，至少有一件商品被抢购成- 4 - 功的概率为 34 . （ 1）求 ,ab的值； （ 2）若购 物平台准备对抢购成功的 A,B,C三件商品进行优惠减免， A商品抢购成功减免 2百元，B 商品抢购成功减免 4比百元， C商品抢购成功减免 6 百元 .求该名网购者获得减免总金额（单位：百元）的分别列和数学期望 . 19.（本题满分 12分）如 图， 在四棱锥 P ABCD? 中，1/ / , 9 0 , .2A D B C A D C P A B B C C D A D? ? ?
10、 ? ? ?E 为棱 AD的中点，异面直线 PA 与 CD 所成的角为 90 . （ 1）在平面 PAB 内找一点 M ，使得直线 /CM 平面 PBE ，并说明理由； （ 2）若 二面角 P CD A?的大小为 45 ，求二面角 P CE B?的余弦值 . 20.（本题满分 12分）已知椭圆 ? ?22: 1 0xyC a bab? ? ? ?的一个焦点为 ? ?3,0F ，其左顶点 A在圆22: 12O x y?上 . （ 1）求椭圆 C 的方程； （ 2） 直线 ? ?: 3 0l x my m? ? ?交椭圆 C 于 ,MN两点，设点 N 关于 x 轴的对称点为 1N （点 1N与点
11、M 不重合），且直线 1NM与 x 轴的交于点 P ，试问 PMN? 的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由 . 21.（本题满分 12分）已知函数 ? ? ? ? ? ? ? ?22 ln , .g x a x a R f x x g xx? ? ? ? ? - 5 - （ 1）试判断 ?gx的单调性； （ 2）若 ?fx在区间 ? ?0,1 上有极值 ，求实数 a 的取值范围； （ 3）当 0a? 时，若 ?fx有唯一的零点 0x ，试 ? ?0x 求的值 .（注： ?x 为取整函数，表示不超过 x的 最大整数，如 ? ? ? ? ? ?0 .3 0 , 2 .
12、6 2 , 1 .4 2? ? ? ? ?；以下数据供参考：l n 2 0 .6 9 3 1 , l n 3 1 .0 9 9 , l n 5 1 .6 0 9 , l n 7 1 .9 4 6? ? ? ?） 请考试在第（ 22）、（ 23）两题中任选一题作答，如果多选，则按所做的第一题记分 . 22.（本题满分 10分）选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 xoy 中，直线的参数方程为 1 cossinxttt ? ?（ t 为参数），以原点 O为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C的极坐标方程为 2 2 cos .4?（ 1）求曲线 C的直角坐标方程，并指出其表示
13、何种曲线； （ 2）设直线 l 与曲线 C 交于 ,AB两点，若点 P 的直角坐标为 ? ?1,0 ，试求当 4? 时， PA PB?的值 . 22.（本题满分 10分）选修 4-5：不等式选讲 已知函数 ? ? 1.f x x x? ? ? （ 1） 若 xR? ，恒有 ? ?fx? 成立，求实数 ? 的取值范围； （ 2） 若 mR?，使得 ? ?2 20m m f t? ? ?成立，试求实数 t 的取值范围 . - 6 - - 7 - 襄阳市优质高中 2017届高三联考试题 数学（理科）（参考答案） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C D A B D A
14、 C D A D B B 13、 20 14、 2 , 63? 15、 1 16、 6 17、解： （ ） 135s in,1312co s ? BB? 由 cba, 成等比数列，得 acb ?2 ? 2分 又由正弦定理，得 CAB sinsinsin 2 ? CA ACCA ACACCCAA s i ns i n )s i n (s i ns i n s i nc o sc o ss i ns i nc o ss i nc o s ? BB2sinsin? ? 4分 513sin1 ? B ?分 （ ） 由角 CBA , 成等差数列，得 3?B 又 2?b ，由正弦定理 CcBbAa sin
15、sinsin ? ，及 ? ? 32)(, BACA 得)32s in (3s in2s in ? ?ca )32s in (34,s in34 ? ? ca?分 ABC? 周长 )32s in (342s in34)( ? ? cbafl2)s in21c o s23( s in34 ? ? 2)c o s23s in23(34 ? ? 2)c o s21s in23(334 ? ? 2)6sin(4 ? ? ? 10分 - 8 - 320 ? 当 26 ? ? 即 3? 时 624)3(m ax ? ?fl所以 ABC? 周长 )(?fl? 的最大值为 6 ?分 18、解： （ ） 由题意
16、，得?43)1)(411)(1(1 24141baab ， 因为 ba? ，解得?3121ba ? 4分 （） 由题意，令网购者获得减免的总金额为随机变量 X （单位：百元）， 则 X 的值可以为 0， 2， 4， 6， 8， 10， 12 ? 5分 而 41433221)0( ?XP ； 41433221)2( ?XP ； 81433121)4( ?XP ； 245433121413221)6( ?XP ； 121413221)8( ?XP ； 241413121)10( ?XP ； 241413121)12( ?XP ? 9分 所以 X 的分布列为： X 0 2 4 6 8 10 12 P
17、 41 41 81 245 121 241 241 于是有 623241122411012182456814412410)( ?XE ? 12分 19、 解：（ I）延长 AB 交直线 CD 于点 M ， 点 E 为 AD 的中点， ADEDAE 21? ， ADCDBC 21? ， BCED? ， AD BC ，即 ED BC 四边形 BCDE 为平行四边形，即 EB CD MCDAB ? ， CDM? ， CM BE ， ?BE 平面 PBE ， CM? PBE CM 平面 PBE ， ? 4分 - 9 - ABM? ， ?AB 平面 PAB ， ?M 平面 PAB ，故在 平面 PAB 内可以找到一点)( CDABMM ? ，使得直线 CM 平面 PBE ? 6分 （ II） 法一、 如图所示， ? 90PABAD C ，异面直线 PA 与 CD 所成的角为90? ， 即 AP CD 又 MCDAB ? ， AP 平面 ABCD 又 90ADC? ? ? 即 CD
