1、 - 1 - 四川省成都市龙泉驿区 2018届高三数学 1 月月考试题 理 第 卷（选择题，共 60分） 一、 选择题：本大题共 12个小题 ,每小题 5分 ,共 60分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1.已知集合 ? ?| 1 2A x x? ? ? ?, 12|B x y x?，则 AB? （ ） A (0, )? B (1,2)? C (0,2) D (2, )? 2. 已知 i 为虚数单位， mR? ，复数 ? ? ? ?mmmmz 882 22 ? i ，若 z 为负实数，则 m的 取值集合为 （ ） A ?0 B ?8 C ? ?2,4? D ? ?4,
2、2? 3. 已知圆 22: ( ) 1C x a y? ? ?，直线 :1lx? ；则： 13 22a? 是 C 上恰有不同四点到 l 的距离为 12 ”的 ( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 4.已知 ABC的内角 A， B， C的对边分别为 a， b， c， 且c bc asin Asin C sin B， 则 B ( ) A. 6 B. 4 C. 3 D. 34 5.在等差数列 ?na 中，若 5 9 10 3a a a? ? ? ，则数列 ?na 的前 15 项的和为（ ） A 15 B 25 C 35 D 45 6. 已知函数?0240
3、1)(,23)(223xxxxxxxgxxxf，则方程 ? ? 0)( ?axfg 的根的个数不可能为 （ ） A 6个 B 5个 C 4个 D 3个 7.记? ? ,m ax , ,.a a bab b a b? ? ? 已知向量a，b，c满足1a，b，0ab?， ? ,c a b? ? ? ? 且?1?，则当? ?ma ,c a c b?取最小值时，c?（ ） - 2 - A255B223C.1 D528.榫卯（ s?n m?o）是我国古代工匠极为精巧的发明，它是在两个构件上采用凹凸部位相结合的一种连接方式我国的北京紫禁城、山西悬空寺、福建 宁德 的廊桥等建筑都用到了榫卯结构如图所示是一
4、种 榫卯构件中卯的三视图，其体积为 （ ） A.21 B. 2.5 C.23.5 D. 25 9函数 y xxa x（ 0 a 1）的图象的大致形状是（ ） 10.已知半径为 5的求 O 被两平行的平面所截，两截面圆的半径分别为 3和 4，则分别以两截面为上下底的圆台的侧面积为（ ） A 72? B 352? C 72? 或 352? D (7 2 25)? 或 (35 2 25)? 11.设 a1， a2， a2 017是数列 1， 2， 2 017 的一个排列 ， 观察如图所示的程序框图 ， 则输- 3 - 出的 F的值为 ( ) A. 2 015 B. 2 016 C. 2 017 D.
5、 2 018 12. 若函数 存在正的零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 第卷（ 非选择题， 共 90分） 二、 填空题：（本大题共 4小题，每小题 5分。共 20 分） 13. 展开式中， 的系数为 _ 14.若 x ， y 满足约束条件 1 1,1 1,xyxy? ? ? ? ? ? ?则 34z x y?的最小值为 15如图， ?P ABCD 错误！未找到引用源。 是棱长均为 1的正四棱锥，顶点 P 错误！未找到引用源。 在平面 ABCD 错误！未找到引用源。 内的正投影为点 E 错误！未找到引用源。 ， 点 错误！未找到引用源。 在平面 PAB 错误！未找到引用源。
6、 内的正投影为点 错误！未找到引用源。 ，则 ?tan PEF 错误！未找到引用源。 16.已知 P 是圆 224xy?上一点，且不在坐标轴上， (2,0)A ， (0,2)B ，直线 PA 与 y 轴交于点 M ，直线 PB 与 x 轴交于点 N ，则 | | 2| |AN BM? 的最小值为 三、解答题：共 70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17.(本题满分 12分 )已知数列 an满足： a1a22 ann 2n 1(n N*) () 求数列 an的通项公式； () 设 bn2n2 nan ， 数列 bn的前 n项和为 Sn.若对一切 n N*， 都有 Sn M 成立 (M
7、为正整数 )， 求 M的最小值 - 4 - 18. （本小题满分 12分） 如图，在矩形 中， ， ， 是平面 同一侧面点， ， ， ， ， . （ ）证明：平面 平面 ； （ ）求二面角 的正弦值 . 19.（ 本小题满分 12分） 某公司准备将 1000万元资金投入到市环保工程建设中，现有甲、乙两个建设项目供选择，若投资甲项目一年后可获得的利润为1?（万元）的概率分布列如表所示： 且1?的期望1( ) 120E? ?；若投资乙项目一年后可获得的利润2?（万元）与该项目建设材料的成本有关，在生产的过程中，公司将根据成本情况决定是否受第二和第三季度进行产品的价格调整，两次调整相互独立，且调整的
8、概率分别为(0 1)pp?和1p?，乙项目产品价格一年内调整次数 X（次） 与2?的关系如表所示： （ 1）求,mn的值； （ 2）求2?的分布列； （ 3）根据投资回报率的大小请你为公司决策：当p在什么范围时选择投资乙项目，并预测投资乙项目的最大投资回报率是多少？（投资回报率 =年均利润 /投资总额 100%） - 5 - 20.（本小题满分 12分） 已知椭圆 C ： 221xyab?（ 0ab? ）的左右焦点分别为 1F ，2F ，离心率为 12 ，点 A 在椭圆 C 上， 1| | 2AF? ， 1260FAF? ? ?，过 2F 与坐标轴不垂直的直线 l 与椭圆 C 交于 P ， Q
9、 两点 （）求椭圆 C 的方程； （）若 P ， Q 的中 点为 N ，在线段 2OF 上是否存在点 ( ,0)Mm ，使得 MN PQ? ？若存在，求实数 m 的取值范围；若不存在，说明理由 21.（ 本小题满分 12分） 已知函数 ? ? ? ?Raaxxaxxxf ? 22ln 在其定义域内有两个不同的极值点 . （ 1）求 a 的取值范围； （ 2）记两极值点分别为 ., 2121 xxxx ?且 已知 0? ，若不等式 ? 211 xxe ? 恒成立，求? 的范围 . 请考生在第 (22)、 (23)两题中任选一题作答 ， 如果多做 ， 则按所做的第一题计分。 22.(本题满分 10
10、分 )选修 4 4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中 ， 以坐标原点为极点 ， x 轴正 半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为 2 4 cos 3 0， )0， 2 . () 求 C1的直角坐标方程； () 曲线 C2的参数方程为?x t cos6，y tsin6(t为参数 )求 C1与 C2的公共点的极坐标 23.（本题满分 10分） 选修 4-5：不等式选讲 已知函数 . （ ）若存在 使不等式 成立，求实数的取值范围； - 6 - （ ）若 对任意正数恒成立，求 的取值范围 . 数 学（理科）参考答案 1 5 CBBCA 6 10 DABDC 11 12 12.【
11、解析】 由 ， 得 ， 令 ， 画出函数 的图象 ， 函数 存在正的零点， 函数 和函数 的图象在 上有公共点。 由图象知，当 时，两函数的图象在 上有公共点 ， 满足题意。 当 时，若两函数的图象在 上有公共点 ， 则需满足 ， 即 ， 解得 。综上 。 所以实数的取值范围是 。选 B。 13.【答案】 【解析】 展开式的通项为 ， 所以 展开式中 的系数为 。 14. 4? 15.错误！未找到引用源。 16.8 17.【解析】 () 因为 a1a22 ann 2n 1， 则 a1a22 an 1n 1 2n 1 1(n2). 两式相减 ， 得ann 2n 1， 即 an n2 n 1(n2
12、) 由已知 ， a1 2 1 1满足上式 故数列 an的通项公式是 an n2 n 1.(6 分 ) - 7 - () 由题设 ， bnn（ 2n 1）n2 n 1 2n 12n 1 .(7分 ) 则 Sn1132522 2n 12n 1 ，12Sn12322 2n 32n 1 2n 12n . 两式相减 ， 得12Sn 1 112 12n 22n 12n 312n 22n 12n 32n 32n . (10分 ) 所以 Sn 62n 32n 1 . 显然 ， Sn5， 所以 M6 ， 故 M的最小值为 6.(12分 ) 18.【答案】 （ 1）见解析（ 2） 【解析】 ：（ ）由条件可得 ，
13、 ，从而可证得 平面 ，根据面面垂直的判定定理可得结论；（ ）建立空间直角坐标系，利用向量的运算可求得二面角的余弦值 为 ，进一步可得正弦值为 。 （ ） 四边形 是矩形， . ， ， 故 . 又 ， 平面 . 平面 ， 平面 平面 . （ ） ， ， ， ， ， 又 ， ， 平面 . 以 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 ， 19.解：（ 1）由题意得：0.4 1110 120 0.4 170 120mnmn? ? ? ? ? ? ?， 得：0.5, 0.1mn? - 8 - （ 2）2?的可能取值为 41.2， 117.6， 204.0， 2( 41.2) (1 ) 1 (1 )
14、(1 )P p p p p? ? ? ? ? ? ? ?222( 117.6 ) 1 (1 ) (1 ) (1 ) (1 )p p p p p p? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2( 204.0 ) (1 )P p p? ? ? ?所以2?的分布列为 41.2 117.6 204.0 P (1 )pp?22(1 )?(1 )?（ 3）由（ 2）可得： 222( ) 41.2 ( 1 ) 117.6 ( 1 ) 204.0 ( 1 )E p p p p p p? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?210 10 117.6pp? ? ? ?根据投资回报率的计算办法，如果选择投资乙项目
15、，只需12( ) ( )EE?，即 2120 10 10 117.6pp? ?，得0.4 0.6p? 因为22( ) 10 10 117.6E p p? ? ? ? ?，所以当12P?时，()E?取到最大值为120.1，所以预测投资回报率的最大值为12.01%. 20解：（）由 12e? 得 2ac? ， 1| | 2AF? ， 2| | 2 2AF a?， 由余弦定理得， 2 2 21 2 1 2 1 2| | | | 2 | | | | c o s | |A F A F A F A F A F F? ? ? ?， 解得 1c? ， 2a? ， 2 2 2 3b a c? ? ? ， 所以椭
16、圆 C 的方程为 22143xy? （）存在这样的点 M 符合题意 . 设 11( , )Px y ， 22( , )Qx y ， 00( , )Nx y ， 由 2(1,0)F ，设直线 PQ 的方程为 ( 1)y k x?， - 9 - 由221,43( 1),xyy k x? ?得 2 2 2 2( 4 3 ) 8 4 1 2 0k x k x k? ? ? ? ?， 由韦达定理得 212 2843kxx k? ?，故 2120 242 4 3xx kx k? ?， 又点 N 在直线 PQ 上，0 2343ky k? ?，所以 22243( , )4 3 4 3kkN ?. 因为 MN PQ? ，所以 2 2230143443MNkkkk kmk? ? ? ?，整理得 22211(0 , )34 3 44kmk k? ? ? ?， 所以存在实数 m ，且 m 的取值范围为 1(0, )4
