1、2.1.2 指数函数及其性质(二) 第二章 2.1 指数函数 1.掌握指数函数与其他函数复合所得的函数单调区间的求法及单调 性的判断； 2.能借助指数函数性质比较大小； 3.会解简单的指数方程，不等式； 4.了解与指数函数相关的函数奇偶性的判断方法. 问题导学 题型探究 达标检测 学习目标 问题导学 新知探究 点点落实 知识点一 不同底指数函数图象的相对位置 思考 y2x与y3x都是增函数，都过点(0,1)，在同一坐标系内如何确 定它们两个的相对位置？ 答案 答案 经描点观察，在y轴右侧，2x3x，即y3x图象在y2x上方，经 (0,1)点交叉，位置在y轴左侧反转，y2x在y3x图象上方. 一
2、般地，在同一坐标系中有多个指数函数图象时， 图象的相对位置与底数大小有如下关系： (1)在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小； 在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小.即 无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大.这一性质可通过令 x1时，ya去理解，如图. (2)指数函数 yax与 y 1 a x(a0 且 a1)的图象关于 y 轴对称. 知识点二 比较幂的大小 思考 若x1x2，则 与 (a0且a1)大小关系如何？ 答案 1 x a 2 x a 答案 a1时，yax在R上为增函数，所以 ， 1 x a 2 x a 0a1时，yax在R上为减函数，所以 . 1 x a 2 x
3、 a 答案 一般地，比较幂大小的方法有： (1)对于同底数不同指数的两个幂的大小，利用指数函数的 性 来 判断； (2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用指数函数的 的 变化规律来判断； (3)对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过 来判断. 单调 图象 中间值 知识点三 解指数方程、不等式 思考 若 ，则x1，x2大小关系如何？ 答案 1 x a 2 x a 当 a1 时， 1 x a 2 x a x1x2. 答案 当f(x)在区间m，n上单调递增(减)时，若x1，x2m，n， 则f(x1)f(x2)x1x2(x1x2). 所以，当 0a1 时， 1 x a 2 x a x1x2
4、， 此原理可用于解指数方程、指数不等式. 答案 简单指数不等式的解法： (1)形如af(x)ag(x)的不等式，可借助yax的 求解； (2)形如af(x)b的不等式，可将b化为以a为底数的指数幂的形式，再借 助yax的 求解； (3)形如axbx的不等式，可借助两函数yax，ybx的图象求解. 单调性 单调性 知识点四 与指数函数复合的函数单调性 答案 思考 1 1 ( ) 2 x y 的定义域与y1 x的定义域是什么关系？ 1 1 ( ) 2 x y 的单调性与y 1 x的单调性有什么关系？ 答案 由于 yax(a0 且 a1)的定义域为 R，故 的定义域与 y1 x 的定义域相同，故研究
5、 的单调性，只需在 y1 x的定义域内研究.若 设 0x1x2，则 1 x1 1 x2， ，不等号方向的改变与 y 1 2 x，y1 x的 单调性均有关. 12 11 11 ( )( ) 22 xx 1 1 ( ) 2 x y 1 1 ( ) 2 x y 返回 答案 一般地，有：形如yaf(x)(a0，且a1)函数的性质 (1)函数yaf(x)与函数yf(x)有 的定义域. (2)当a1时，函数yaf(x)与yf(x)具有 的单调性；当0(a2a2)1 x，则x的取值范围是 _. 解析 a2a2(a1 2) 27 41， (a2a2)x(a2a2)1xx1xx1 2. x(1 2，). (1
6、2，) 类型四 与指数函数复合的单调性问题 解析答案 反思与感悟 例 4 设 a 是实数，f(x)a 2 2x1(xR)，试证明对于任意 a，f(x)为增 函数. 解析答案 跟踪训练4 已知函数f(x)2ax2(a为常数). (1)求函数f(x)的定义域； (2)若a0，试证明函数f(x)在R上是增函数； 解 函数f(x)2ax2对任意实数都有意义，所以定义域为实数集R. 解 任取x1，x2R，且x10得ax12bn，则ambn. 2.解简单指数不等式问题的注意点 (1)形如axay的不等式，可借助yax的单调性求解.如果a的值不确定， 需分0b的不等式，注意将b化为以a为底的指数幂的形式，再借助y ax的单调性求解. (3)形如axbx的不等式，可借助图象求解. 返回
