1、 1 北京市朝阳区高三年级第一次综合练习 数学测试题（文史类） 2017.3 （考试时间 120 分钟 满分 150 分） 本试卷分为选择题（共 40 分）和非选择题（共 110 分）两部分 第一部分（选择题 共 40 分） 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 . （ 1） 已知 集合 | 1 3A x x? ? ? ?， 2 | 4B x x? ? ?Z ，则 AB? （ A） 0,1 （ B） 1,0,1,2? （ C） 1,0,1? （ D） 2, 1,0,1,2? （ 2） 若 ,xy满足 2 0,3,0,xy
2、xyx?则 yx? 的 最大值为 （ A） 0 （ B） 3 （ C） 4 （ D） 5 （ 3） 执行如图所示的程序框图，若输入 4m? ， 6n? ，则输出 a? （ A） 4 （ B） 8 （ C） 12 （ D） 16 （ 4）已 知直线 l 过定点 (0,1) , 则“直线 l 与圆 22( 2) 4xy? ? ?相切”是“直线 l 的斜率为 34 ”的 （ A） 充分不必要 条件 （ B） 必要不充分条件 （ C） 充分必要条件 （ D） 既不充分也不必要条件 开始 a mi? 输入 m,n 是 1ii?0i? 结束 输出 a 否 a 能被 n 整除？ 2 （ 5） 已知函数 ?
3、224 , 2 ,() lo g , 2x x xfx x a x? ? ? ?有两个不同的零 点，则实数 a 的取值范围是 （ A） ? ?1,0? （ B） ? ?1,2 （ C） ? ?1+?， （ D） ? ?2+?， （ 6） 设抛物线 2 8yx? 的焦点为 F ,准线为 l ， P 为抛物线上一点， lPA? ， A 为垂足 . 如果直线 AF 的斜率为 3 ，那么 ?PF （ A） 8 （ B） 16 （ C） 34 （ D） 38 （ 7） 某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的底面的面积是 （ A） 12 （ B） 32 （ C） 14 （ D） 34 （ 8）如图， ,A
4、BC 三个开关控制着 1,2,3,4 号四盏灯若开关 A 控制着 2,3,4 号灯（即按一下开关A ,2,3,4 号灯亮，再按一下开关 A ,2,3,4 号灯熄灭），同样，开关 B 控制着 1,3,4 号灯，开关 C 控制着 1,2,4 号灯 开始时，四盏灯都亮着，那么下列说法正确的是 （ A） 只需要按开关 ,AC可以将四盏灯全部熄灭 （ B） 只需要按开关 ,BC可以将四盏灯全部熄灭 （ C） 按开关 ,ABC 可以将四盏灯全部熄灭 （ D） 按开关 ,ABC 无法将四盏灯全部熄灭 3 421CBA侧视图 0.5 俯视图 1 正视图 1 0.5 3 第 二部分 （非选择题 共 110 分）
5、 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 . （ 9） 复数 11 iz? 在复平面内 对应的点的坐标是 _. （ 10）已知 na 为等差数列， nS 为其 前 n 项 和若 6 51S? ， 1926aa? ， 则数列 na 的公差 d? ，通项公式 na? （ 11）已知 函数 axxf x ? 22)( 的一个零点在区间 )2,1( 内，则实数 a 的取值范围是 . （ 12） 在 ABC中，3A ?，BC?，6AB?，则C_， ?AC _. （ 13）为了促销某电子产品，商场进行降价，设 0m? ， 0n? ， mn? ，有三种降价方案： 方案：先降 %m ，
6、再降 %n ； 方案：先降 + %2mn ， 再降 + %2mn ； 方案：一次性降价 ( +)%mn . 则 降价幅度最小的方案是 _.（填出正确的序号） （ 14） 如图， 11ABC? ， 1 2 2BBC? ， 2 3 3BBC? 是三个边长为 2 的等边三角形，且有一条边在同 一直线上，边 33BC 上有 5 个不同的点 1 2 3 4 5, , , ,P P P P P，设 2iim AC AP?（ 1,2, ,5i? ），则1 2 5m m m? ? ? ? _. C 1 C 3C2A B 3B2B 1P 5P 2P 4P 1P 34 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分
7、 .解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 . （ 15） （ 本小题满分 13 分） 已知函数 ( ) s i n ( c o s 3 s i n )f x x x x?. ( )求函数 ()fx的最小正周期； ( )求函数 ()fx在 0,x? 上的单调递增区间 . （ 16） （本小题满分 13 分） 已知数列 na 满足11 2 ( 1)1, ,nnna a an? ?设 nn ab n?， n ?N . （）证明 nb 是等比数列； （）求数列 2log nb 的前 n 项和 nT （ 17） （本小题满分 13 分） 某校高三年级共有学生 195 人，其中女生 105 人，男生 9
8、0 人 .现采用按性别分层抽样的方法，从中抽取 13 人进行问卷调查设其中某项问题的选择分别为“ 同意”、“不同意”两种，且每人都做了一种选择下面表格中提供了被调查人答卷情况的部分信息 同 意 不同意 合计 女学生 4 男学生 2 （ ） 完成上述统计表 ； （ ）根据上表的数据 估计高三年级学生该项问题选择“同意”的人数； （） 从被抽取的女生中随机选取 2 人进行访谈，求选取的 2 名女生中至少有一人选择“同意”的概率 5 （ 18）（本小题满分 14 分） 如 图，在四棱锥 P ABCD? 中，平面 PAB ? 平面 ABCD ， AD BC ， PA AB? ，CD AD? ， 12B
9、C CD AD? ， E 为 AD 的中点 . （ ） 求证： PA CD? ； （ ） 求证：平面 ?PBD 平面 PAB ； （） 在 平面 PAB 内是否存在 M ，使得直 线 CM 平面 PBE ， 请 说明理由 . （ 19） （本小题满分 14 分） 过点 (1,0)A 的直线 l 与椭圆 2 2:13xCy?相交于 ,EF两点 ,自 ,EF分别 向直线 3x? 作垂线，垂足分别为 11,EF. （）当 直线 l 的斜率为 1 时，求线段 EF 的中点坐标； （）记 1AEE? ， 1AFF? 的面积分别为 1S ， 2S .设 12SS? ，求 ? 的取值范围 . （ 20） （
10、本小题满分 13 分） 已知函数 3( ) 3 e , ( ) 1 l nf x x a x g x x? ? ? ? ?，其中 为自然对数的底数 . ( )若曲线 ()y f x? 在点 (1, (1)f 处的切 线与直线 : 2 0l x y?垂直，求实数 a 的值； （） 设函数 1( ) ( ) 2 2F x x g x x? ? ? ?，若 ()Fx在区间 ( , 1)( )m m m Z+?内存在唯一的极值点，求 m 的值； （） 用 ? ?max ,mn 表示 m,n 中的较大者，记函数 ( ) m a x ( ) , ( ) ( 0 )h x f x g x x?.若函数 ()
11、hx 在(0, )? 上恰有 2 个零点，求实数 a 的 取值范围 . 北京市朝 阳区高三年级第一次综合练习 P A B C D E 6 数学测试题答案（文史类） 2017.3 一、 选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 题号 （ 1） （ 2） （ 3） （ 4） （ 5） （ 6） （ 7） （ 8） 答案 C B C B C A D D 二、 填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 . 题号 （ 9） （ 10） （ 11） （ 12） （ 13） （ 14） 答案 (1, 1)? 3, 32n? )3,0( ,?6 3 22? 90 三、解答题：本
12、大题共 6 小题，共 80 分 .解答 应写出文字说明，演算步骤或证明过程 . （ 15） （本小题满分 13 分） 解： ( )因为 ( ) s in ( c o s 3 s in )f x x x x? 2sin c o s 3 sinx x x? 1 3 3s in 2 c o s 22 2 2xx? ? ? 3sin(2 )32x? ? ?， 所以函数 ()fx的最小正周期为 2 2T?. ? 6 分 ( )令 2 22 ,2 3 2k x k k? ? ? ? ? ? Z得， 5 2 22 ,66k x k k? ? ? ? ? Z， 所以 5 ,1 2 1 2k x k k? ?
13、? ? ? Z. 又因为 0,x? ， 所以函数 ()fx在 0,x? 上的单调递增区间是 0, 12 和 7,12 .? ? 13 分 （ 16） （本小题满分 13 分） 解：（）由1 2( 1)nnnaan? ?，得 1 21nnaa? ? 所以 1 2nnbb? ? ，即 1 2.nnbb? ? 又因为 11 11ab ?， 所以数列 nb 是以 1 为首项，公比为 2 的等比数列? 7 分 7 （）由（）可知 111 2 2nnnb ? ? ? 所以 122lo g lo g 2 1nnbn? ? ? 则数列 2log nb 的前 n 项和 nT? ( 1 )1 2 3 ( 1 )
14、2nnn ? ? ? ? ? ? ? ? ? 13 分 （ 17）（本小题满分 13 分） 解 ： （ ） 统计表如下： ? 3 分 （ ） 高三年级学生该项问题选择“同意”的人数估计有 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（人） ? 7 分 （） 设“同意”的 4 名女生分别为 1 2 3 4, , ,A A A A ， “不同意”的 3 名女生分 别为 1 2 3,B B B 从 7 人中随机选出 2 人的情况有 1 2 1 3 1 4 1 1 1 2 1 3 2 3 2 4 2 1 2 2 2 3 3 4 3 1 3 2 3 3, , , , , , , , , , , , , ,
15、 ,A A A A A A A B A B A B A A A A A B A B A B A A A B A B A B 4 1 4 2 4 3 1 2 1 3 2 3, , , , ,A B A B A B B B B B B B， 共 21 种结果 其中 2 人都选择“不同意” 的情况 有 1 2 1 3 2 3,B B B B B B， 共 3 种结果 设 2 名女生中至少有一人选择“同意”为事件 M ， 所求概率 6( ) 1 7PM ? ? ? ? 13 分 （ 18） （本小题满分 14 分） 证明： （ ） 因为平面 PAB ? 平面 ABCD ， 平面 PAB 平面 ABCD
16、 AB? ， 又因为 PA AB? ， 所以 PA? 平面 ABCD . 则 PA CD? . ? ? ? ? 5 分 （ ） 由已知， BC ED，且 BC ED， 所以四边形 BCDE 是平行四边形 ， 又 CD AD? ， ?BC CD ，所以 四边形 BCDE 是 正方形， 同意 不同意 合计 女学生 4 3 7 男学生 4 2 6 P 8 连接 CE ，所以 ?BD CE ， 又因为 , ?BC AE BC AE， 所以 四边形 ABCE 是平行四边形 ， 所以 CE AB ，则 ?BD AB . 由 （ ） 知 PA? 平面 ABCD ， 所以 ?PA BD ， 又因为 PA AB
17、 A? ， 则 ?BD 平面 PAB ， 且 ?BD 平面 PBD ， 所以平面 ?PBD 平面 PAB . ? ? ? ? 10 分 （） 在梯形 ABCD 中， AB 与 CD 不平行 .延长 AB， DC，相交于点 M(M 平面 PAB)，点 M 即为所求的一个点 . 理由如下：由已知， BC ED，且 BC ED. 所以四边形 BCDE 是平行四边形 ， 所以 CD EB ， 即 CM EB ， 又 EB? 平面 PBE ， CM? 平面 PBE ， 所以 CM 平面 PBE . ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 14 分 （ 19） （本小题满分 14 分） 解：（）依题意，直线 l 的方程为 1yx?，由221, 3 3 0yxxy? ? ? ? ，得 22 3 0xx?. 设 1 1 2 2( , ) ( , )E
