1、3.2.2 函数模型的应用实例 第三章 3.2 函数的模型及其应用 1.能利用已知函数模型求解实际问题； 2.能自建确定性函数模型解决实际问题； 3.了解建立拟合函数模型的步骤，并了解检验和调整的必要性. 问题导学 题型探究 达标检测 学习目标 问题导学 新知探究 点点落实 知识点一 几类已知函数模型 思考 指数型函数与指数函数在解析式上有什么不同？ 答案 答案 指数函数yax(a0，a1)的系数为1，且没有常数项.确定一个 指数函数解析式只需要一个条件；指数型函数模型f(x)baxc(a，b， c为常数，b0，a0且a1)指数式前的系数不一定是1，而且可能还 有常数项.所以确定指数型函数通常
2、需要3个条件. 几类函数模型： 答案 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x) 反比例函数模型 f(x) b(k，b为常数且k0) 二次函数模型 f(x) 指数型函数模型 f(x) 对数型函数模型 f (x)blogaxc(a，b，c为常数，b0，a0且 a1) 幂函数型模型 f(x) k x axb(a、b为常数，a0) ax2bxc(a，b，c为常数，a0) baxc(a，b，c为常数，b0，a0 且a1) axnb(a，b为常数，a0) 知识点二 自建函数模型 思考 数据拟合时，得到的函数为什么要检验？ 答案 答案 因为限于我们的认识水平和一些未知因素的影响，现实可能与 我们所估计的
3、函数有误差或甚至不切合客观实际，此时就要检验，调 整模型或改选其他函数模型. 面临实际问题，自己建立函数模型的步骤： (1)收集数据； (2)画散点图； (3)选择函数模型； (4)求函数模型； (5)检验； (6)用函数模型解释实际问题. 返回 2 h 内火车行驶的路程 S13120(210 60)233 (km). 题型探究 重点难点 个个击破 类型一 利用已知函数模型求解实际问题 例1 某列火车从北京西站开往石家庄，全程277 km.火车出发10 min开 出13 km后，以120 km/h的速度匀速行驶.试写出火车行驶的总路程S与 匀速行驶的时间t之间的关系，并求火车离开北京2 h内行
4、驶的路程. 解 因为火车匀速运动的时间为(27713) 120 11 5 (h)，所以 0t11 5 . 因为火车匀速行驶时间 t h 所行驶路程为 120t，所以，火车运行总路程 S 与匀速行驶时间 t 之间的关系是 S13120t(0t11 5 ). 反思与感悟 解析答案 解析答案 跟踪训练1 商店出售茶壶与茶杯，茶壶每个定价20元，茶杯每个5元， 该商店推出两种优惠办法： 买一个茶壶送一个茶杯，按购买总价的92%付款.某顾客购买茶壶4 个，茶杯若干个(不少于4个)，若购买茶杯数x个，付款为y(元)，试分 别建立两种优惠办法中 y与x的函数关系式，并指出如果该顾客需要购买茶杯40个，应选择
5、哪 种优惠办法？ 类型二 自建确定性函数模型解决实际问题 例 2 某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品， 其生产的总成本 y(万元)与年产量 x(吨)之间的函数关系式可以近似地表示为 yx 2 5 48x 8 000，已知此生产线年产量最大为 210 吨.若每吨产品平均出厂价为 40 万元， 那么当年产量为多少吨时， 可以获得最大利润？最大利润是多少？ 解析答案 反思与感悟 解析答案 跟踪训练 2 有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所获得的利润依次 为 Q1万元和 Q2万元，它们与投入的资金 x 万元的关系是 Q11 5x，Q2 3 5 x.现有 3 万元资金投入使用，则对甲、乙两种商
6、品如何投资才能获得最 大利润？ 类型三 拟合函数模型 例3 人口问题是当今世界各国普遍关注的问题，认识人口数量的变化 规律，可以为有效控制人口增长提供依据.早在1798年，英国经济学家 马尔萨斯就提出了自然状态下的人口增长模型：yy0ert，其中t表示经 过的时间，y0表示t0时的人口数，r表示人口的年平均增长率.下表是 19501959年我国的人口数据资料： 年份 1950 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 1959 人数/ 万人 55 196 56 300 57 482 58 796 60 266 61 456 62 828 64 563 65
7、 994 67 207 解析答案 (1)如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率(精 确到0.000 1)，用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人 口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符； 解析答案 反思与感悟 (2)如果按表中的增长趋势，大约在哪一年我国的人口达到13亿？ 解 将y130 000代入y55 196e0.022 1t， 由计算器可得t38.76. 所以，如果按表的增长趋势，那么大约在1950年后的第39年(即1989年) 我国的人口就已达到13亿. 解析答案 跟踪训练3 已知1650年世界人口为5亿，当时人口的年增长率为0.3%； 1970年
8、世界人口为36亿，当时人口的年增长率为2.1%. (1)用马尔萨斯人口模型计算，什么时候世界人口是1650年的2倍？什么 时候世界人口是1970年的2倍？ 解 已知人口模型为yy0ert，其中y0表示t0时的人口数，r表示人口 的年增长率. 若按1650年世界人口5亿，年增长率为0.3%估计，有y5e0.003t. 当y10时，解得t231. 所以，1881年世界人口约为1650年的2倍. 同理可知，2003年世界人口数约为1970年的2倍. 解析答案 返回 (2)实际上，1850年以前世界人口就超过了10亿；而2003年世界人口还 没有达到72亿.你对同样的模型得出的两个结果有何看法？ 解
9、由此看出，此模型不太适宜估计时间跨度非常大的人口增长情况. 1 2 3 达标检测 4 5 答案 1.从2013年起，在20年内某海滨城市力争使全市工农业生产总产值翻 两番，如果每年的增长率是8%，则达到翻两番目标的最少年数为( ) A.17 B.18 C.19 D.20 C 1 2 3 4 5 2.一辆汽车在某段路程中的行驶路程s关于时间t变化的图象如图所示， 那么图象所对应的函数模型是( ) 答案 A.分段函数 B.二次函数 C.指数函数 D.对数函数 A 1 2 3 4 5 3.若镭经过100年后剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x年后 剩留量为y，则x，y的函数关系是( )
10、答案 100 A0.957 6 x y B.y(0.957 6)100x C.y(0.957 6 100 )x 100 D10.0424 x y A 1 2 3 4 5 4.某种植物生长发育的数量y与时间x的关系如下表： 答案 x 1 2 3 y 1 3 8 下面的函数关系式中，拟合效果最好的是( ) A.y2x1 B.yx21 C.y2x1 D.y1.5x22.5x2 D 1 2 3 4 5 5.某同学最近5年内的学习费用y千元与时间x年的关系如图所示，可选 择的模拟函数模型是( ) 答案 A.yaxb B.yax2bxc C.yaexb D.yaln xb B 规律与方法 解函数应用问题的步骤(四步八字) (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学 模型； (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言， 利用数学知识，建立相应的数学模型； (3)求模：求解数学模型，得出数学结论； (4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义. 返回
