1、 1 2016-2017 学年第二学期高三数学周练试题（ 5.7） 一、选择题 1抛物线 的焦点为 ，过 作斜率为 的直线 与抛物线在 轴右侧的部分相交于点 ，过 作抛物线准线的垂线，垂足为 ，则 的面积是（ ） A. B. C. D. 2“现代五项”是由现代奥林匹克之父顾拜旦先生创立的运动项目，包含射击、击剑、游泳、马术和越野跑五项运动 .已知甲、乙、丙共三人参加“现代五项”规定每一项运动的前三名得分都分别为 ， ， （ 且 ），选手最终得分为各项得分之和已知甲最终得 22 分，乙和丙最终各得 9分，且乙的马术比赛获得了第一名，则游泳比赛的第三名是 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 乙和丙
2、都有可能 3已知过定点 的直线 与曲线 相交于 ， 两点， 为坐标原点，当 的面积最大时，直线 的倾斜角为 A. B. C. D. 4某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长的棱长为 A. B. C. D. 5以椭圆 的顶点为焦点，焦点为顶点的双曲线 ，其左、右焦点分别是 ， ，已知点 坐标为 ，双曲线 上点 在第一象限，满足 ，则 （ ） 2 A. B. C. D. 6若实数 、 、 ，且 ，则 的最小值为（ ） A. B. C. D. 7设实数 ， 满足 ，则 的最大值为（ ） A. 25 B. 49 C. 12 D. 24 8已知函数 ，若存在实数 满足 时， 成立，则实数 的最大值为
3、( ) A. B. C. D. 9三棱锥 中， ， ， 互相垂直， ， 是线段 上一动点，若直线 与平面 所成角的正切的最大值是 ，则三棱锥 的外接球表面积是 ( ) A. B. C. D. 10已知 是双曲线 ： 的右焦点， ， 分别为 的左、右顶点 . 为坐标原点， 为 上一点， 轴 .过点 的直线 与线段 交于点 ，与 轴交于点 ,直线 与 轴交于点 ，若 ，则双曲线 的离心率为（ ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 11已知函数 ，其中 .若函数 的最大值记为 ，则 的最小值为 ( ) A. B. 1 C. D. 12若函数 在区间 上的值域为 ，则 等于 A. B. C. D
4、. 3 二、填空题 13已知双曲线 与抛物线 有一个公共的焦点 .设这两曲线的一个交点为 ，若 ，则点 的横坐标是 _； 该双曲线的渐近线方程为 _ 14设公差不为 0的等差数列 的前 项和为 ，若 ， ， 成等比数列，且，则 的值是 _ 15巳知函数 是定义在 上的奇函数，且当 时，都有不等式 成立，若，则 的大小关系是 _ 16若数列 的首项 ，且 （ ），则数列 的通项公式是_ 三、解答题 17 已知函数 . （）求 的单调区间； （）对任意 ，都有 ，求 的取值范围 . 18已知函数 （ 1）求函数 的极值； （ 2）当 时，过原点分别做曲线 与 的切线 ， ，若两切线的斜率互为倒数，
5、求证：. 19已知函数 ， . （ 1）求证： （ ）； （ 2）设 ，若 时， ，求实数 的取值范围 . 4 20定义 的零点 为 的不动点，已知函数 . .当 时，求函数 的不动点； .对于任意实数 ，函数 恒有两个相异的不动点，求实数 的取值范围； .若函数 只有一个零点且 ,求实数 的最小值 . 参考答案 1 C 【解析】 由抛物线的定义可得， ，则 的斜率等于 ， 的倾斜角等于 ， 可得， 故 为等边三角形，又因为焦点 ， 的为 ， 与 可得点 ， 抛物线的定义可得 故等边 的边长 ， 的面 ， 故选 C. 2 B 【解析】 射击 击剑 游泳 马术 越野跑 总分 甲 5 5 5 2
6、5 22 乙 1 1 1 5 1 9 丙 2 2 2 1 2 9 总分为 ，所以 ，只有两种可能 或 。显然不符，因为即使五个第一名也不够 22 分。所以 。所以上面可知，甲其余四个选项都是第一名，马术第二名，记 2分，总共 22 分。 由于丙马术第三名，记 1分，所以其余四项均第二名，记 2分，共 9分。 乙马术第一名，记 5分，其余四项均第三名，记 1分，共 9分。所以选 B. 【点睛】 对于复杂的逻辑关系，我们可以采用列表格的方式，以便于我们理清，多个量中的逻辑关系。此题就是很好的体现。 3 A 【解析】由题意可画图如下： 5 由面积公式 可知 时 取最大值。由于圆的半径为 ，所以点 到
7、直线 的距离为 1.所以倾斜角为 。选 A. 【点睛】 在解析几何中解决三角形面积问题时，选择合适的公式是重要的，本题选择 使得运算更简单。同时注重“先几何后代数”的原则，结合图象得 ，可得直线倾斜角为 。迅速解决问题。处理面积问题还有底乘高的一半，还有割补法等。 4 C 【解析】三视图还原图 形三棱锥 ，如下图： ,所以最长边为 ，选 C. 6 5 A 【解析】 由题意可得双曲线方程为 ，已知中的 ，表示 在 方向上的投影，表示 在 方向上的投影，即表示投影相等，根据平面几何可知 是 的角平分线，设 为 的内心， 轴，由角平分线定理可知 ，即 是双曲线的右顶点 ， 即 所 在 的 直 线 方
8、 程 为 ， 所 以 点 重 合 ， 点 就是 的 内 心 ，故选 A. 【点睛】本题以向量为背景，考查了双曲线的几何性质以及三角形的内心等知识，考查了转化与化归的能力，知识的考查综合性比较强，属于难题，向量的数量积有一 条性质，设 是两个不共线的向量， 是与 同方向的单位向量，则 ，表示 在 方向上的投影，这样转化为平面几何的知识，再和双曲线的定义相结合，从而确定点 的位置，突破难点，才能为求面积扫平障碍 . 6 D 【 解 析 】 因 为 ， 所 以，所以 = ，当且仅当时，等号成立 . 故选 D. 点睛： 本题主要考查均值不等式的灵活应用，关键是对已知等式分解为 . 7 A 【解析】不等
9、式组的图象如图 7 由图象知 ，则 ，当且仅当 时，等号成立，经检验 在可行域内，故 的最大值为 25.故选 A. 8 B 【解析】 由题意得，定义域为 ，则 ， 当 时， 恒成立，不符合要求， 当 时，由 ，得 ， 因为存在 时， 成立， 所以 ，此时 在 上递增，在 单调递减， 由于 ， 当 ，即 是，只需 ，即 ， 所以 ； 8 当 ，即 时，只需 ，即 ，所以 综上所述 ，所以实数 的最大值为 . 点睛：本题主要考查了导数在函数中的综合应用问题，解答的关键在于正确的理解题设条件，转化为函数的单调性与极值（最值）的应用，其中根据 值之间的关系是解答本题的难点 . 9 B 【解析】 如图所
10、示，过点 作 ，连接 ， 则 为直线 与平面 所成最大角， 设 ，则 中， ， 所以 ，解得 ， 此时可把该三棱锥补成一个长方体，所以长方体的对角线长等于球的直径， 即 ，所以球的表面积为 ，故选 B. 点睛：本题主要考查了的直线与平面所成的角的应用和组合体的性质等知识点，解答此类问题的关键在于正确作出几何体的结构图，找到线面角的最大值，确定 的长，进而利用组合体得到球的直径，计算球的表面积 . 10 C 【解析】 由题意得，因为 轴， 9 设 ，则在 中， ，所以 ， 又 中， ，所以 ， 又由 ，即 ，解得 ，所以 . 11 D 【解析】 由题意得 设 ，即 ， 所 以 二 次 函 数 开
11、 口 向 下 ， 对 称 轴 为 ， 所 以 函 数 的 最 大 值 为， 因为 ，所以 ， 所以 的最小值为 . 12 D 【解析】 令 ，则 ，所以函数为奇函数，其对称中心为 ，所以函数 的中心为 ，所以 ，故选 D 点睛：本题主要考查函数的值域、函数的图象，以函数为载体，借助函数的对称性，考查逻辑思维能力、运算求解能力解答本题的关键是根据函数的奇偶性的性质进行推理 . 13 3 【解析】由题意可得，抛物线的焦 点 ，所以双曲线 ， 解得 。10 代入双曲线方程得 。解得 。所以双曲线渐近线方程为 。填 (1). 3 (2). 。 【点睛】 对于形式为 结构的抛物线，焦半径公式为 。 对于
12、形式为 结构的抛物线，焦半径公式为 。 对于形式为 结构的抛物线，焦半径公式为 。 对于形式为 结构的抛物线，焦半径公式为 。 14 9 【解析】 由题意得，因为 成等比数列，得 ， 即 ，解得 ， 又 ，所以 ， 整理得 ，因为 且 为整数， 所以 且 ，所以 点睛：本题主要考查了等差、等比数列的通项公式以及数列的求和问题，其中利用题设条件，利用等差数列的求和公式得出 是解答的关键，再根据 且为整数进行整体赋值和代换是解答的难点 . 15 【解析】 设函数 ，则 ， 所以根据题中条件，当 时， ， 即函数 在 上单调递增，又因为 为奇函数， 所以 为偶函数，根据偶函数性质，又因为 ，所以，即 . 点睛：本题主要考查抽象函数导数问题，此类问题常考常新，成为近年来命题的热点，主要是利用导数研究函数单调性，根据题中条件，结合导数四则运算法则和复合函数求导来构造新函数，使多
