1、 1 湖南省 2017 届高三数学下学期月考试题（七） 理 本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共 8 页。时量 120 分钟。满分 150 分。 第 卷 一、选择题：本大题共 12 小题 ， 每小题 5 分 ， 共 60 分在每小题给出的四个选项中 ，只有一项是符合题目要求的 (1)已知集合 A ? ? 13， 12 ， B x|ax 1 0 ，且 B A，则 a 的可取值组成的集合为(D) (A) 3， 2 (B) 3， 0， 2 (C)3， 2 (D)3， 0， 2 【解析】 a 0 B 满足条件； a0 时 ， 由 1a 13或 1a 12得 a 3， 2， 故 a的可取值组成的
2、集合为 3， 0， 2， 故选 D. (2)已知命题 p x0 R，使 2x0 2 x0 1；命题 q x R，都有 lg(x2 2x 3)0.下列结论中正确的是 (A) (A)命题 “ 綈 p q” 是真命题 (B)命题 “ p 綈 q” 是真命题 (C)命题 “ p q” 是真命题 (D)命题 “ 綈 p 綈 q” 是假命题 【解析】由判断 p： 2x 2 x 2 2x 2 x 2， 故命题 p 错误；命题 q： lg(x2 2x 3)lg(x 1)2 2lg 20 ， 命题 q 正确 ， 故选 A. (3)一个样本 a， 3， 5， 7 的平均数是 b，且 a， b 分别是数列 2n 2
3、(n N*)的第 2 项和第4 项，则这个样本的方差是 (C) (A)3 (B)4 (C)5 (D)6 【解析】由已知 a 1， b 4， 则 s2 14(1 4)2 (3 4)2 (5 4)2 (7 4)2 5， 故选C. (4)下面给出了关于复数的三种类比推理，其中类比错误的是 (A) 复数的乘法运算法则可以类比多项式的乘法运算法则； 由向量 a 的性质 |a|2 a2可以类比复数的性质 |z|2 z2； 由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义 (A) (B) (C) (D) 【解析】对于复数的乘法运算法则判断出 对；对于 向量 a 的性质 |a|2 a2， 但 |z|2是实数
4、 ， 但 z2不一定是实数 ， 如 z i， 就不成 立 ， 故错；对于 复数加法的几何意义判断出 对故选 A. (5)设 M 是 ABC 边 BC 上一点， N 为 AM 的中点，若 AN AB AC ，则 的值为 (C) (A)14 (B)13 (C)12 (D)1 【解析】 M 在 BC 边上 ， 存在实数 t 0， 1 使得 BM tBC . AM AB BM AB tBC AB t( )AC AB ( )1 t AB tAC ， N 为 AM 的中点 ， AN 12AM 1 t2 AB t2AC ， 1 t2 ， t2， 1 t2 t2 12.故 C 正确 (6)已知 M 是面积为
5、1 的 ABC 内的一点 (不含边界 )，若 MBC， MCA 和 MAB 的面积分别为 x， y， z，则 1x y x yz 的最小值是 (B) 2 (A)2 (B)3 (C)3.5 (D)4 【解析】由已知可得 ， x y z 1， 1x y x yz x y zx y x yz 1 zx y x yz 3.选 B. (7)与圆 x2 (y 2)2 2 相切，且在两坐标轴上截距相等的直线共有 (B) (A)2 条 (B)3 条 (C)4 条 (D)6 条 【解析】当直线截距为零时 ， 设方程为 y kx， 利用点到直线的距离等于半径可求得 k 1 ， 即直线方程为 y x；当直线截距不为
6、零时 ， 设方程为 xa ya 1， 同理可求得 a 4，直线方程为 x y 4， 故满足题意的直线共有 3 条选 B. (8)函数 f(x) lg(| |x 1)的大致图象是 (B) 【解析】易知 f(x)是偶函数 ， 所以图象关于 y 轴对称 ， 由 |x| 10 可得其定义域是 ( ， 1)(1 ， ) ， 且 f(x)在 (1， ) 上是增函数 ， 所以选 B. (9)设 ABC 的三个内角 为 A， B， C，且 tan A， tan B， tan C， 2tan B 依次成等差数列，则 sin 2B (C) (A)1 (B) 45 (C)45 (D) 45 【解析】由条件 ， 得
7、tan C 32tan B， tan A 12tan B， 所以 ABC 为锐角三角形 ， 又 tan A tan(C B) tan C tan B1 tan Ctan B52tan B1 32tan2B 12tan B， 得 tan B 2， 所以 sin 2B 2sin Bcos B 2sin Bcos Bsin2B cos2B 2tan Btan2B 1 45， 故选 C. (10)如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体 的体积为 (A) (A)803 (B)403 (C)203 (D)103 【解析】该几何体可以看作是三棱柱割出一个三棱锥形成的
8、， 故 V 12444 13 12 ? ?1244 4 803. (11)在 ABC 中，角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，若 ac 14b2， sin A sin C psin B，且 B 为锐角，则实数 p 的取值范围是 (B) (A)(1， 2) (B)? ?62 ， 2 (C)? ?62 ， 3 (D)(1， 3) 3 【解析】由正弦定理知 a c pb， 由余弦定理 ， b2 a2 c2 2accos B (a c)2 2ac 2accos B p2b2 12b2 12b2cos B， 即 p2 32 12cos B， 因为 00 于是 p ? ?62 ， 2 ，
9、选 B. (12)已知圆 O 的 方程为 x2 y2 9，若抛物线 C 过点 A( 1， 0)， B(1， 0)，且以圆 O 的切线为准线，则抛物线 C 的焦点 F 的轨迹方程为 (D) (A)x29y28 1(x0) (B)x29y28 1(x0) (C)x29y28 1(y0) (D)x29y28 1(y0) 【解析】设抛物线 C 的焦点为 F(x， y)， 准线为 l， 过点 A， B， O 分别作 AA l， BB l， OP l， 其中 A ， B ， P 分别为垂足 ， 则 l 为圆的切线 ， P 为切点 ， 且 | |AA | |BB 2| |OP 6.因为抛物线过点 A， B，
10、 所以 | |AA | |FA ， | |FB | |BB ， 所以 | |FA | |FB | |AA | |BB 6| |AB 2， 所以点 F 的轨迹是以 A， B 为焦点的椭圆 ， 且点 F 不在 x轴上 ， 所以抛物线 C 的焦点 F 的轨迹方程为 x29y28 1(y0) ， 选 D. 第 卷 本卷包括必考题和选考题两部分第 (13) (21)题为必考题 ， 每个试题考 生都必须作答第 (22) (23)题为选考题 ， 考生根据要求作答 二、填空题：本大题共 4 小题 ， 每小题 5 分 ， 共 20 分把各题答案的最简形式写在题中的横线上 (13)? ?x 1x6的展开式中，系数
11、最大的项为第 _3 或 5_项 【解析】 ? ?x 1x6的展开式中系数与二项式系数只有符号差异 ， 又中间项的二项式系数最大 ， 中间项为第 4 项其系数为负 ， 则第 3， 5 项系数最大 (14)已知函数 f(x) x2 ax b.若 a、 b 都是从区间 0， 4内任取的实数，则不等式f(1)0 成立的概率是 _932_ 【解析】 f(1) 1 a b0， 即 a b1， 如图 ， A(1， 0)， B(4， 0)， C(4， 3)， S ABC92， PS ABCS正方形 9244 932. (15)已知函数 f(x) x3 ax2 bx c，若 f(x)在区间 ( 1， 0)上单调
12、递减，则 a2 b2的取值范围为 _? ?95， _ 【解析】 f( x) 3x2 2ax b， 由题意 f( x) 3x2 2ax b0 在 ( 1， 0)上恒成立 ，所以?f （ 1） 3 2a b0f （ 0） b0 ， 显然点 (a， b)在直线 3 2a b 0 的右下方及 a 轴下方 (如图 )， 点 (a， b)到原点的距离最小值为 3（ 2） 2 12 35， 无最大值 ， 因此 a2 b2的最小值为 95. 4 (16)设函数 f(x) ax bx cx，其中 ca0， cb0. 若 a， b， c 是 ABC 的三条边长，则下列结论正确的是 _ _ (写出所有正确结论的序号
13、 ) x ( ， 1)， f(x)0； x0 R，使 ax0， bx0， cx0不能构成一个三角形的三条边长； 若 ABC x0 (1， 2)，使 f(x0) 0； 若 ABC n N*， f(2n)0 恒成立 【解析】 因为 a， b， c 是三角形的三条边长 ， 所以 a bc. 又因为 ca0， cb0， 所以 0cx? ?acbc 1 cx a b cc 0. 故 正确 令 a 2， b 3， c 4， 则 a， b， c 可以构成三角形的三边长 ， 但 a2 4， b2 9， c216 却不能构成三角形的三边长 ， 故 正确 因为 ca0， cb0， 且 ABC 为钝角三角形 ， 所
14、以 a2 b2 c20， f(2) a2 b2 c2Tn 1， 且 T1 10，都有 f(x)e x. 【解析】 () 定义域为 x0， f (x) 1x aex2 ex aex2 当 a0 时 ， f (x)0， f(x)在 (0， ) 上单调递 增 ， 当 a0 时 ， 令 f( x) 0， 有 x ae， x ? ?0， ae ae ? ?ae， f( x) 0 f(x) 极小值 所以 f(x)的单调减区间为 ? ?0， ae ， 单调增区间为 ? ?ae， .6 分 综合 ， 当 a0 时 ， f (x)在 (0， ) 上单调递增；当 a0 时 ， f(x)的单调减区间为 ? ?0，
15、ae ， 单调增区间为 ? ?ae， . () 要证明 f(x)e x， 即证明 eln x 2x 1ex 1， 下面先证明： ex x 1(x0) 构造函数 h(x) ex (x 1)(x0) ， h (x) ex 1. 令 h( x) 0 得 x 0， 当 x0 时 ， h (x)0 即 h(x)在 0， ) 上单调递增 h(x) ex (x 1) h(0) 0. 于是有 exx 1， x0. 当 x0 时 ， ex 1x. 从而 1ex 10)， 则 F( x) ex 1x2 ex 1x2 ， 所以 F(x)在 ? ?0， 1e 上单调递减 ， ? ?1e， 上单调递增 ， 即 F(x) F? ?1e 0， x 1e时 ， ex 1x， 0 1ex 1.(12 分 ) 选做题：请考生在第 (22)、 (23)两题中任选一题做答 ， 如果多做 ， 则按所做的第一题计分 (22)(本小题满分 10 分 )选修 4 4：坐标系与参数方程 () 若圆 x2 y2 4 在伸缩变换?x xy 3y ( 0)的作用下变成一个焦点在 x 轴上，且离8 心率为 45的椭圆，求 的值； () 在极坐标系中，已知点 A(2， 0)，点 P 在曲线 C： 2 2cos sin2 上运动，求 P、 A两
