1、 1 江苏省兴化市 2018届高三数学期初考试试题 文 一、填空题： 1. 命题 “ ,2 0xxR? ? ? ” 的否定是 【答案】 ,2 0xxR? ? ? 2. 集合 ? ? ? ?1, 3 , 5 , 7 , | 2 5A B x x? ? ? ?，则 AB?_.【答案】 ? ?3,5 3. :2px? 或 4y? 是 :6q x y? 的 条件（四个选一个填空：充分不必要，必要不充分，充要，既不充分也不必要） 【答案】必要不充分 4. 已知函数 ? ? ? ?23 , 02 , 0x xxfxf x x? ?，则 ? ?9f ?_.【答案】 2 5. 曲线 C ： lny x x?
2、在点 ? ?,Mee 处的切线方程为 _【答案】20x y e? ? ? 6. 若 21tan ? ，则 ? ? cos3sin2 cossin ? = 【答案】 34? 7. 设 ? 为锐角 ,若 4cos65?,则 sin 212?的值为 【答案】 17250 8. 设 ABC? 的 内角 ,ABC 的 对边分 别为 ,abc，且 12 , 3, c o s C3ab? ? ?，则sinA? 【答案】 429 9. 已知 ? 、 ? 都是锐角，且 3cos( ) 5? ?， 12sin 13? ，则 cos ? ? _【答案】 3365 10. 2,0,sin3)( ? xxxf 的单调减
3、区间为 【答案】 23,2 ? ，也可以写为 ），（ 232 ? 11. 将函数 )32sin( ? xy 的图象上的所有点向右平移6?个单位，再将图象上所有点的横坐标变为原来的 21 倍（纵坐标不变），则所得的图象的函数解析式为 【答案】xy 4sin? 12. 在 ABC? 中 , 2, 3bB?,sin 2 sin ( ) sinA A C B? ? ?,则 ABC? 的面积为 .2 【答案】 23 33 或 13. 在 ABC? 中 ,已知 s i n s i n c o s s i n s i n c o sA B C A C B?sin sin cosB C A? ,若 ,abc
4、分别是角 ,ABC 所对的边 ,则2abc的最大值为 _【答案】 23 【 解 析 】 由 正 弦 定 理 可 得 c o s c o s c o sa b C a c B b c A?， 再 由 余 弦 定 理 可 得2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2a b c a c b b c a? ? ? ? ? ?，即 2 2 3a b c? 。因为 0, 0, 0abc? ? ?，所以 2 2 232c a b ab? ? ?当且仅当 ab? 时取等号，所以2 32abc ?14. 若实数 , , ,abcd 满足 0)3()ln( 22 ? dcaeb ，则 ? ? ? ?22a c
5、b d? ? ? 的最小值为 【答案】 92 【解析】 ? ? ? ?2230b eln a c d? ? ? ? ?， b elna? ， 3dc? ，设函数 lny e x? ， 3yx?， ? ? ? ?22a c b d? ? ? 表示 lny e x? 上的点到直线 3yx?上的点的距离平方， 对于函数lny e x? ， ey x? ，令 1ey x?得 xe? ，曲线 lny e x? 与 3yx?平行的切线的切点坐标为 ee（ ， ） ，所以切点到直线 3yx?即 30xy? ? ? 的距离为 3 3222eed ?，所以 ? ? ? ?22a c b d? ? ? 的最小值为
6、 23 2 922?，故答案为 92 . 二、解答题： 15. 在 ABC? 中， ,abc分别为内角 ,ABC 所对的边，且满足 2, b 2 sina b c a B? ? ? （ 1）求 A 的大小； （ 2）若 2, 2 3ab? ，求 ABC? 的面积 【答案】解：（ 1） 2 sinb a B? ， sin 2 sin sinB A B? sin 0B? ， 1sin 2A? 由于 abc?， A 为锐角 ， 6A ? （ 2）由余弦定理： 2 2 2 2 cosa b c bc A? ? ? ， 2 34 1 2 2 2 3 2cc? ? ? ? ? ? 3 2 6 8 0, 2
7、c c c? ? ? ?或 4c ，由于 ,4a b c c? ? ? 所以 1 sin 2 32S bc A? 16. 设函数 xxxxxf c o ss in3c o s)62s in ()( 2 ? ?. （ 1）若 4?x ，求函数 )(xf 的值域； （ 2） 设 CBA , 为 ABC? 的三个内角，若 25)2( ?Af ， 1435)cos( ? CA ，求 Ccos 的值 【答案】解：（ 1） ? ? xxxxxf 2s in232 2c o s12c o s212s in23 ? 2162s in2212c o s2s in3 ? ? ?xxx 4?x? 32623 ? ?
8、 x 162sin23 ? ? ?x ? ? 25321 ? xf , 即 ?xf 的值域为 ? ? 25,321 ； （ 2）由 252 ?Af , 得 16sin ? ?A ，又 A 为 ? ABC 的内角，所以 3?A , 又因为在? ABC 中 , ? ? 1435cos ? CA , 所以 ? ? 1411sin ?CA 所以 ? ? ? ? 14 33s i n23c o s213c o sc o s ? ? CACACAC ? 17.已知函数 ? ? ? ?s i n ( 0 , 0 , 0 )f x A x A? ? ? ? ? ? ? ? ? ?在 12x ? 时取得最大值
9、4 ，在同一周期中，在 512x ? 时取得最小值 4? . （ 1）求函数 ?fx的解析式及单调增区间； （ 2）若 2 23 12f ?， ? ?0,? ，求 ? 的值 . 【答案】解：（ 1）依题意， 4A? ； 512 12 3? ? ?， 23T ? ， 223T ?， 3? ； 将 ,412?代入 ? ? ? ?4sin 3f x x ?，得 sin 14? ?， 0 ?， 4? ， 4 ? ? 4sin 34f x x ?. 由 2 3 22 4 2k x k? ? ? ? ? ? ? ? 223 4 3 1 2kkx? ? ? ? ? ? ?， 即函数 ?fx的单调增区间为 2
10、2,3 4 3 12kk? ? ? ?， kZ? . （ 2）由 2 23 12f ? 4sin 2 22? 1cos2 2? ， ? ?0,? ， 2 3? 或 52 3? ， 6? 或 56? 18. 为了制作广告牌，需在如图所示的铁片上切割出一个直角梯形，已知铁片由两部分组成，半径为 1的 半圆 O 及等腰直角三角形 EFH ，其中 FE FH? 为裁剪出面积尽可能大的梯形铁片 ABCD （不计损耗），将点 ,AB放在弧 EF 上，点 CD、 放在斜边 EH 上，且 / / / /AD BC HF，设 AOE ? （ 1）求梯形铁片 ABCD 的面积 S 关于 ? 的函数关系式； （ 2
11、）试确定 ? 的值，使得梯形铁片 ABCD 的面积 S 最大 ，并求出最大值 【答案】（ 1）连接 OB ，根据对称性可得 AOE BOF ? ? ? ?且1OA OB?， 所以 1 cos sinAD ? ? ?， 1 c o s s in , A B 2 c o sBC ? ? ? ? ? ? 所以 ? ? ? ?2 1 s in c o s2A D B C A BS ? ? ?，其中 0 2? （ 2）记 ? ? ? ?2 1 s in c o s , 0 2f ? ? ? ? ? ? ?， ? ? ? ? ? ? ? ?222 c o s s i n s i n 2 2 s i n 1
12、 s i n 1 0 2f ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 当 0 6? 时， ? ? 0f ? ? ，当 62? 时， ? ? 0f ? ? ， 所以 ?f ? 在 0,6?上单调增，在 ,62?上单调减 所以 ? ?m ax 3362ff ? ?，即6? 时， max 332S ? 19. 已知函数 ? ? ? ?321 132af x x a x a x? ? ? ?，其中 aR? . （ 1）若曲线 ? ?y f x? 在点 ? ?1, 1f 处的切线方程为 8 2 0xy? ? ? ，求 a 的值； 5 （ 2）当 0a? 时，求函数 ? ?( 0)f
13、 x x? 的单调区间与极值； （ 3）若 1a? ，存在实数 m ，使得方程 ? ?f x m? 恰好有三个不同的解，求实数 m 的取值范围 . 【解析】（ 1） ? ? ? ?2 1f x ax a x a? ? ? ? ，由 8 2 0xy? ? ? 可得 ? ?18f? ? ， 即 ? ? ? ?21 1 8f a a a? ? ? ? ? ? ，解得 3a? ， 当 3a? 时， ? ? ? ? ? ? ? ?3 2 24 3 , 1 6 , 3 8 3 , 1 8f x x x x f f x x x f? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 当 3a? 时， ? ? ? ? ?
14、 ? ? ?3 2 24 3 , 1 2 , 3 8 3 , 1 8f x x x f f x x x f? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 故曲线 ? ?y f x? 在点 ? ?1, 1f 处的切线方程为 ? ?2 8 1yx? ? ? ?，即 8 6 0xy? ? ? 不符合题意，舍去， 故的值为 3 . （ 2）当 0a? 时， ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 111f x a x a x a x a a x a x a xa? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 当 0a? 时，令 ? ? 0fx? ? ，则121 ,x x aa? ?所以 ?fx的单调
15、递增区间为 ? ?1, , ,aa? ? ?，单调递减区间为 1,aa?. 函数 ?fx 在1 1x a?处取得最大值 1fa?，且? ?322 21 1 1 1 1 1113 2 6 2afaa a a a? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?. 函数 ?fx 在 2xa? 处取得极小值 ?fa ，且? ? ? ?3 2 2 4 21 1 113 2 6 2af a a a a a a a a? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 当 0a? 时，令 ? ? 0fx? ? ，则121,x a x a? ?， 所以 ?fx的单调
16、递减区间为 ? ? 1, , ,aa? ? ?，单调递增区间为 1,aa?， 函数 ?fx在1 1x a?处取得极大值 1fa?， 6 且 ? ?32 221 1 1 1 1 1 113 2 6 2af a aa a a a a? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?. 函数 ?fx 在 2xa? 处取得极小值 ?fa ，且? ? ? ?3 2 2 4 21 1 113 2 6 2af a a a a a a a a? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， （ 3）若 1a? ，则 ? ? ? ?321
17、,13f x x x f x x? ? ? ?， 由（ 2）可知 ? ? 313f x x x?在区间 ? ? ? ?, 1 , 1,? ? ?内增函数，在区间 ? ?1,1? 内为减函数， 函数 ?fx在 1 1x? 处取的极小值 ?1f ，且 ? ? 1 1 21 6 2 3f ? ? ? ? ?. 函数 ?fx在 2 1x? 处取得极大值 ? ?1f ? ，且 ? ? 1 1 21 6 2 3f ? ? ?. 如图分别作出函数 ? ? 313f x x x?与 ym? 的图象， 从图象上可以看出当 2233m? ? ? 时，两个函数的图象有三个不同的交点， 即方程 ? ?f x m? 有
18、三个不同的解，故实数 m 的取值范围为 22,33?. 20. 已知函数 ? ? ? ?xxaf x e a Re? ? ?是定义在 R上的奇函数，其中 e 为自然对数的底数 . （ 1）求实数 a 的值； （ 2）若存在 ? ?0,x? ? ，使得不等式 ? ? ? ?2 20f x x f tx? ? ? ?成立，求实数 t 的取值范围； （ 3）若函数 ? ?221 2x xy e m f xe? ? ?在 ? ?,? 上不存在最值，求实数 m 的取值范围 . 【 答 案 】（ 1 ） 解 ： 因 为 ? ? xsaf x e e?在定义域 R 上 是 奇 函 数 ， 所 以? ? ?
19、?,0xxxxaax R f x f x e eee? ? ? ? ? ? ? ? ?即 ? ? 110x xae e? ? ?恒 成 立 ， 所 以1a? ，此时 ? ? 1x xf x e e? 7 （ 2） 因为 ? ? ? ?2 20f x x f tx? ? ? ?所以 ? ? ? ?2 2f x x f tx? ? ? ? 又因为 ? ? xsaf x e e?在定义域 R 上是奇函数，所以 ? ? ? ?2 2f x x f tx? ? ? 又因为 ? ? 1 0xxf x e e? ? ?恒成立 所以 ? ? 1xxf x e e?在定义域 R 上是单调增函数 所以存在 ? ?0,x? ? ，使不等式 ? ? ? ?2 20f x x f tx? ? ? ?成立等价于存在 ? ?0,x? ? ， 2 2x x tx? ? ? 成立 所以存在 ? ?0,x? ? ，使 ? ? 212t x x? ? ? ，即
