1、 第 1 页（共 29 页） 历年高考数学真题精选（按考点分类）历年高考数学真题精选（按考点分类） 专题 29 直线与平面所成的角（学生版） 一解答题（共一解答题（共 15 小题）小题） 1（2019上海） 如图， 在长方体 1111 ABCDABC D中，M为 1 BB上一点， 已知2BM ，3CD ， 4AD ， 1 5AA （1）求直线 1 AC和平面ABCD的夹角； （2）求点A到平面 1 AMC的距离 2 （2019天津）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，PCD为等边 三角形，平面PAC 平面PCD，PACD，2CD ，3AD （）设G，H分别为PB，AC的中点，
2、求证：/ /GH平面PAD； （）求证：PA平面PCD； （）求直线AD与平面PAC所成角的正弦值 3 （2019浙江） 如图， 已知三棱柱 111 ABCABC， 平面 11 A ACC 平面ABC，90ABC， 30BAC， 11 A AACAC，E，F分别是AC， 11 A B的中点 （）证明：EFBC； （）求直线EF与平面 1 A BC所成角的余弦值 第 2 页（共 29 页） 4 （2018天津）如图，在四面体ABCD中，ABC是等边三角形，平面ABC 平面ABD， 点M为棱AB的中点，2AB ，2 3AD ，90BAD （）求证：ADBC； （）求异面直线BC与MD所成角的余弦值
3、； （）求直线CD与平面ABD所成角的正弦值 5（2018天津） 如图，/ /ADBC且2ADBC，ADCD，/ /EGAD且EGAD，/ /CDFG 且2CDFG，DG 平面ABCD，2DADCDG （）若M为CF的中点，N为EG的中点，求证：/ /MN平面CDE； （）求二面角EBCF的正弦值； （）若点P在线段DG上，且直线BP与平面ADGE所成的角为60，求线段DP的长 第 3 页（共 29 页） 6 （2018浙江）如图，已知多面体 111 ABCABC， 1 A A， 1 B B， 1 C C均垂直于平面ABC， 120ABC， 1 4A A ， 1 1C C ， 1 2ABBCB
4、 B （）证明： 1 AB 平面 111 A BC； （）求直线 1 AC与平面 1 ABB所成的角的正弦值 7 （2018新课标） 如图， 四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点， 以DF 为折痕把DFC折起，使点C到达点P的位置，且PFBF （1）证明：平面PEF 平面ABFD； （2）求DP与平面ABFD所成角的正弦值 8 （2017上海）如图，直三棱柱 111 ABCABC的底面为直角三角形，两直角边AB和AC的 长分别为 4 和 2，侧棱 1 AA的长为 5 （1）求三棱柱 111 ABCABC的体积； （2）设M是BC中点，求直线 1 A M与平面ABC所成角的大小
5、第 4 页（共 29 页） 9 （2017浙江）如图，已知四棱锥PABCD，PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形， / /BCAD，CDAD，22PCADDCCB，E为PD的中点 （）证明：/ /CE平面PAB； （）求直线CE与平面PBC所成角的正弦值 10 （2017天津）如图，在四棱锥PABCD中，AD 平面PDC，/ /ADBC，PDPB， 1AD ，3BC ，4CD ，2PD （）求异面直线AP与BC所成角的余弦值； （）求证：PD 平面PBC； （）求直线AB与平面PBC所成角的正弦值 11 （2016浙江）如图，在三棱台ABCDEF中，平面BCFE 平面ABC，90ACB， 1B
6、EEFFC，2BC ，3AC （）求证：BF 平面ACFD； （）求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值 12 （2016新课标）如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，/ /ADBC， 3ABADAC，4PABC，M为线段AD上一点，2AMMD，N为PC的中点 （1）证明：/ /MN平面PAB； 第 5 页（共 29 页） （2）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值 13 （2016天津） 如图， 四边形ABCD是平行四边形， 平面AED 平面ABCD，/ /EFAB， 2AB ，3DE ，1BCEF，6AE ，60BAD，G为BC的中点 （1）求证：/ /FG平面BED； （2）求证：
7、平面BED 平面AED； （3）求直线EF与平面BED所成角的正弦值 14（2015天津） 如图， 已知 1 AA 平面ABC， 11 / /BBAA，3ABAC，2 5BC ， 1 7AA ， 1 2 7BB ，点E和F分别为BC和 1 AC的中点 （）求证：/ /EF平面 11 A B BA； （）求证：平面 1 AEA 平面 1 BCB； （）求直线 11 A B与平面 1 BCB所成角的大小 第 6 页（共 29 页） 15 （2015新课标）如图，长方体 1111 ABCDABC D中，16AB ，10BC ， 1 8AA ， 点E，F分别在 11 A B， 11 D C上， 11
8、4AED F，过点E，F的平面与此长方体的面 相交，交线围成一个正方形 （1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由） ； （2）求直线AF与平面所成角的正弦值 第 7 页（共 29 页） 历年高考数学真题精选（按考点分类）历年高考数学真题精选（按考点分类） 专题 29 直线与平面所成的角（教师版） 一解答题（共一解答题（共 15 小题）小题） 1（2019上海） 如图， 在长方体 1111 ABCDABC D中，M为 1 BB上一点， 已知2BM ，3CD ， 4AD ， 1 5AA （1）求直线 1 AC和平面ABCD的夹角； （2）求点A到平面 1 AMC的距离 解： （1）依题意：
9、1 AA 平面ABCD，连接AC，则 1 AC与平面ABCD所成夹角为 1 ACA， 1 5AA ， 22 345AC ， 1 ACA为等腰三角形， 1 4 ACA ， 直线 1 AC和平面ABCD的夹角为 4 ， （2） （空间向量） ，如图建立坐标系， 第 8 页（共 29 页） 则(0A，0，0)，(3C，4，0)， 1(0 A，0，5)，(3M，0，2)， (3AC ，4，0)， 1 (3AC ，4，5)，(0MC ，42)， 设平面 1 AMC的法向量(nx，y，) z， 由 3450 420 n ACxyz n MCyz ，可得(2n ，1，2)， 点A到平面 1 AMC的距离 2
10、22 |3 24 110 |3 212 AC n d n 2 （2019天津）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，PCD为等边 三角形，平面PAC 平面PCD，PACD，2CD ，3AD （）设G，H分别为PB，AC的中点，求证：/ /GH平面PAD； （）求证：PA平面PCD； （）求直线AD与平面PAC所成角的正弦值 证明： （）连结BD，由题意得ACBDH，BHDH， 又由BGPG，得/ /GHPD， GH 平面PAD，PD平面PAD， / /GH平面PAD 第 9 页（共 29 页） （）取棱PC中点N，连结DN， 依题意得DNPC， 又平面PAC 平面PCD，平面P
11、AC平面PCDPC， DN平面PAC， 又PA平面PAC，DNPA， 又PACD，CDDND， PA平面PCD 解： （）连结AN，由（）中DN 平面PAC， 知DAN是直线AD与平面PAC所成角， PCD是等边三角形，2CD ，且N为PC中点， 3DN，又DNAN， 在Rt AND中， 3 sin 3 DN DAN DA 直线AD与平面PAC所成角的正弦值为 3 3 3 （2019浙江） 如图， 已知三棱柱 111 ABCABC， 平面 11 A ACC 平面ABC，90ABC， 30BAC， 11 A AACAC，E，F分别是AC， 11 A B的中点 （）证明：EFBC； （）求直线EF
12、与平面 1 A BC所成角的余弦值 第 10 页（共 29 页） 方法一： 证明： （）连结 1 A E， 11 A AAC，E是AC的中点， 1 AEAC， 又平面 11 A ACC 平面ABC， 1 A E 平面 11 A ACC， 平面 11 A ACC平面ABCAC， 1 A E平面ABC， 1 AEBC， 1 / /AFAB，90ABC， 1 BCAF， BC平面 1 A EF，EFBC 解： （）取BC中点G，连结EG、GF，则 1 EGFA是平行四边形， 由于 1 A E 平面ABC，故 1 A EEG， 平行四边形 1 EGFA是矩形， 由（）得BC 平面 1 EGFA， 则平
13、面 1 ABC 平面 1 EGFA， EF在平面 1 A BC上的射影在直线 1 AG上， 连结 1 AG，交EF于O，则EOG是直线EF与平面 1 A BC所成角（或其补角） ， 不妨设4AC ，则在Rt 1 A EG中， 1 2 3AE ，3EG ， O是 1 AG的中点，故 1 15 22 AG EOOG， 222 3 cos 25 EOOGEG EOG EO OG ， 第 11 页（共 29 页） 直线EF与平面 1 A BC所成角的余弦值为 3 5 方法二： 证明： （）连结 1 A E， 11 A AAC，E是AC的中点， 1 AEAC， 又平面 11 A ACC 平面ABC， 1
14、 A E 平面 11 A ACC， 平面 11 A ACC平面ABCAC， 1 A E平面ABC， 如图，以E为原点，在平面ABC中，过E作AC的垂线为x轴， EC， 1 EA所在直线分别为y，z轴，建立空间直角坐标系， 设4AC ，则 1(0 A，0，2 3)，( 3,1,0)B， 1( 3,3,2 3) B， 3 3 (,2 3) 22 F，(0C，2，0)， 3 3 (,2 3) 22 EF ，(3,1,0)BC ， 由0EF BC ，得EFBC 解： （）设直线EF与平面 1 A BC所成角为， 由（）得(3,1,0)BC ， 1 (0AC ，2，2 3)， 设平面 1 A BC的法向
15、量(nx，y，) z， 则 1 30 30 BC nxy AC nyz ，取1x ，得(1, 3,1)n ， |4 sin 5| | EF n EFn ， 直线EF与平面 1 A BC所成角的余弦值为 2 43 1( ) 55 第 12 页（共 29 页） 4 （2018天津）如图，在四面体ABCD中，ABC是等边三角形，平面ABC 平面ABD， 点M为棱AB的中点，2AB ，2 3AD ，90BAD （）求证：ADBC； （）求异面直线BC与MD所成角的余弦值； （）求直线CD与平面ABD所成角的正弦值 （）证明：由平面ABC 平面ABD，平面ABC平面ABDAB，ADAB， 得AD 平面A
16、BC，故ADBC； （）解：取棱AC的中点N，连接MN，ND， M为棱AB的中点，故/ /MNBC， DMN（或其补角）为异面直线BC与MD所成角， 在Rt DAM中，1AM ，故 22 13DMADAM， AD 平面ABC，故ADAC， 在Rt DAN中，1AN ，故 22 13DNADAN， 在等腰三角形DMN中，1MN ，可得 1 13 2 cos 26 MN DMN DM 异面直线BC与MD所成角的余弦值为 13 26 ； （）解：连接CM，ABC为等边三角形，M为边AB的中点， 第 13 页（共 29 页） 故CMAB，3CM ， 又平面ABC 平面ABD，而CM 平面ABC， 故C
17、M 平面ABD，则CDM为直线CD与平面ABD所成角 在Rt CAD中， 22 4CDACAD， 在Rt CMD中， 3 sin 4 CM CDM CD 直线CD与平面ABD所成角的正弦值为 3 4 5（2018天津） 如图，/ /ADBC且2ADBC，ADCD，/ /EGAD且EGAD，/ /CDFG 且2CDFG，DG 平面ABCD，2DADCDG （）若M为CF的中点，N为EG的中点，求证：/ /MN平面CDE； （）求二面角EBCF的正弦值； （）若点P在线段DG上，且直线BP与平面ADGE所成的角为60，求线段DP的长 （）证明：依题意，以D为坐标原点，分别以DA、DC、DG的方向为
18、x轴， y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系 可得(0D，0，0)，(2A，0，0)，(1B，2，0)，(0C，2，0)， (2E，0，2)，(0F，1，2)，(0G，0，2)，(0M， 3 2 ，1)，(1N，0，2) 第 14 页（共 29 页） 设 0 ( , , )nx y z为平面CDE的法向量， 则 0 0 20 220 n DCy n DExz ，不妨令1z ，可得 0 (1,0, 1)n ； 又 3 (1,1) 2 MN ，可得 0 0MN n 又直线MN 平面CDE， / /MN平面CDE； （）解：依题意，可得( 1,0,0)BC ，(1, 2,2)BE ，(0, 1,2)
19、CF 设( , , )nx y z为平面BCE的法向量， 则 0 220 n BCx n BExyz ，不妨令1z ，可得(0,1,1)n 设( , , )mx y z为平面BCF的法向量， 则 0 20 m BCx m CFyz ，不妨令1z ，可得(0,2,1)m 因此有 3 10 cos, | |10 m n m n mn ，于是 10 sin, 10 m n 二面角EBCF的正弦值为 10 10 ； （）解：设线段DP的长为h，(0,2)h，则点P的坐标为(0，0，)h， 可得( 1, 2, )BPh ，而(0,2,0)DC 为平面ADGE的一个法向量， 故 2 |2 |cos,| |
20、 | 5 BP CD BP DC BPDC h 由题意，可得 2 23 sin60 2 5h ，解得 3 0 3 h ，2 线段DP的长为 3 3 第 15 页（共 29 页） 6 （2018浙江）如图，已知多面体 111 ABCABC， 1 A A， 1 B B， 1 C C均垂直于平面ABC， 120ABC， 1 4A A ， 1 1C C ， 1 2ABBCB B （）证明： 1 AB 平面 111 A BC； （）求直线 1 AC与平面 1 ABB所成的角的正弦值 ( ) I证明： 1 A A 平面ABC， 1 B B 平面ABC， 11 / /AABB， 1 4AA ， 1 2BB
21、，2AB ， 22 1111 ()()2 2ABABAABB， 又 22 11 2 2ABABBB， 222 1111 AAABAB， 111 ABAB， 同理可得： 111 ABBC， 又 11111 ABBCB， 1 AB平面 111 A BC 第 16 页（共 29 页） ()II解：取AC中点O，过O作平面ABC的垂线OD，交 11 AC于D， ABBC，OBOC， 2ABBC，120BAC，1OB，3OAOC， 以O为原点，以OB，OC，OD所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系如图所示： 则(0A，3，0)，(1B，0，0)， 1(1 B，0，2)， 1(0 C，3，1)， (1AB
22、，3，0)， 1 (0BB ，0，2)， 1 (0AC ，2 3，1)， 设平面 1 ABB的法向量为(nx，y，) z，则 1 0 0 n AB n BB ， 30 20 xy z ，令1y 可得(3n ，1，0)， 1 1 1 2 339 cos, 13|213 n AC n AC nAC 设直线 1 AC与平面 1 ABB所成的角为，则 1 39 sin|cos,| 13 n AC 直线 1 AC与平面 1 ABB所成的角的正弦值为 39 13 7 （2018新课标） 如图， 四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点， 以DF 为折痕把DFC折起，使点C到达点P的位置，且PF
23、BF （1）证明：平面PEF 平面ABFD； （2）求DP与平面ABFD所成角的正弦值 第 17 页（共 29 页） （1）证明：由题意，点E、F分别是AD、BC的中点， 则 1 2 AEAD， 1 2 BFBC， 由于四边形ABCD为正方形，所以EFBC 由于PFBF，EFPFF，则BF 平面PEF 又因为BF 平面ABFD，所以：平面PEF 平面ABFD （2）在平面PEF中，过P作PHEF于点H，连接DH， 由于EF为面ABCD和面PEF的交线，PHEF， 则PH 面ABFD，故PHDH 在三棱锥PDEF中，可以利用等体积法求PH， 因为/ /DEBF且PFBF， 所以PFDE， 又因为
24、PDFCDF ， 所以90FPDFCD ， 所以PFPD， 由于DEPDD，则PF 平面PDE， 故 1 3 FPDEPDE VPF S ， 因为/ /BFDA且BF 面PEF， 所以DA面PEF， 所以DEEP 设正方形边长为2a，则2PDa，DEa 在PDE中，3PEa， 所以 2 3 2 PDE Sa ， 第 18 页（共 29 页） 故 3 3 6 FPDE Va ， 又因为 2 1 2 2 DEF Saaa ， 所以 2 33 2 FPDE V PHa a ， 所以在PHD中， 3 sin 4 PH PDH PD ， 即PDH为DP与平面ABFD所成角的正弦值为： 3 4 8 （20
25、17上海）如图，直三棱柱 111 ABCABC的底面为直角三角形，两直角边AB和AC的 长分别为 4 和 2，侧棱 1 AA的长为 5 （1）求三棱柱 111 ABCABC的体积； （2）设M是BC中点，求直线 1 A M与平面ABC所成角的大小 解： （1）直三棱柱 111 ABCABC的底面为直角三角形， 两直角边AB和AC的长分别为 4 和 2，侧棱 1 AA的长为 5 三棱柱 111 ABCABC的体积： 1ABC VSAA 1 1 2 ABACAA 1 42520 2 （2）连结AM， 第 19 页（共 29 页） 直三棱柱 111 ABCABC的底面为直角三角形， 两直角边AB和A
26、C的长分别为 4 和 2，侧棱 1 AA的长为 5，M是BC中点， 1 AA底面ABC， 11 1645 22 AMBC， 1 AMA是直线 1 A M与平面ABC所成角， 1 1 5 tan5 5 AA AMA AM ， 直线 1 A M与平面ABC所成角的大小为arctan5 9 （2017浙江）如图，已知四棱锥PABCD，PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形， / /BCAD，CDAD，22PCADDCCB，E为PD的中点 （）证明：/ /CE平面PAB； （）求直线CE与平面PBC所成角的正弦值 证明： （）取AD的中点F，连结EF，CF， E为PD的中点，/ /EFPA， 在四边形A
27、BCD中，/ /BCAD，22ADDCCB，F为中点， / /CFAB，平面/ /EFC平面ABP， EC 平面EFC， / /EC平面PAB 解： （）连结BF，过F作FMPB于M，连结PF， PAPD，PFAD， 推导出四边形BCDF为矩形，BFAD， 第 20 页（共 29 页） AD平面PBF，又/ /ADBC， BC平面PBF，BCPB， 设1DCCB，由22PCADDCCB，得2ADPC， 22 4 13PBPCBC ， 1BFPF， 1 2 MF， 又BC 平面PBF，BCMF， MF平面PBC，即点F到平面PBC的距离为 1 2 ， 1 2 MF ，D到平面PBC的距离应该和M
28、F平行且相等，为 1 2 ， E为PD中点，E到平面PBC的垂足也为垂足所在线段的中点，即中位线， E到平面PBC的距离为 1 4 ， 在,2,1,2PCDPCCDPD中， 由余弦定理得2CE ， 设直线CE与平面PBC所成角为，则 1 2 4 sin 8CE 10 （2017天津）如图，在四棱锥PABCD中，AD 平面PDC，/ /ADBC，PDPB， 1AD ，3BC ，4CD ，2PD （）求异面直线AP与BC所成角的余弦值； （）求证：PD 平面PBC； （）求直线AB与平面PBC所成角的正弦值 第 21 页（共 29 页） 【解答】解： （）如图，由已知/ /ADBC， 故DAP或其
29、补角即为异面直线AP与BC所成的角 因为AD 平面PDC，所以ADPD 在Rt PDA中，由已知，得 22 5APADPD， 故 5 cos 5 AD DAP AP 所以，异面直线AP与BC所成角的余弦值为 5 5 证明： （）因为AD 平面PDC，直线PD平面PDC， 所以ADPD 又因为/ /BCAD，所以PDBC， 又PDPB，所以PD 平面PBC 解： （）过点D作AB的平行线交BC于点F，连结PF， 则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角 因为PD 平面PBC，故PF为DF在平面PBC上的射影， 所以DFP为直线DF和平面PBC所成的角 由于/ /ADBC，/ /DF
30、AB，故1BFAD， 由已知，得2CFBCBF又ADDC，故BCDC， 在Rt DPF中，可得 5 sin 5 PD DFP DF 所以，直线AB与平面PBC所成角的正弦值为 5 5 第 22 页（共 29 页） 11 （2016浙江）如图，在三棱台ABCDEF中，平面BCFE 平面ABC，90ACB， 1BEEFFC，2BC ，3AC （）求证：BF 平面ACFD； （）求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值 【解答】解： （）证明：延长AD，BE，CF相交于一点K，如图所示：平面BCFE 平面ABC，且ACBC； AC平面BCK，BF 平面BCK； BFAC； 又/ /EFBC，1BEEF
31、FC，2BC ； BCK为等边三角形，且F为CK的中点； BFCK，且ACCKC； BF平面ACFD； （）BF 平面ACFD； BDF是直线BD和平面ACFD所成的角； F为CK中点，且/ /DFAC； DF为ACK的中位线，且3AC ； 3 2 DF ； 又3BF ； 第 23 页（共 29 页） 在Rt BFD中， 921 3 42 BD ， 3 21 2 cos 721 2 DF BDF BD ； 即直线BD和平面ACFD所成角的余弦值为 21 7 12 （2016新课标）如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，/ /ADBC， 3ABADAC，4PABC，M为线段AD上一点，2A
32、MMD，N为PC的中点 （1）证明：/ /MN平面PAB； （2）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值 【解答】 （1）证明：法一、如图，取PB中点G，连接AG，NG， N为PC的中点， / /NGBC，且 1 2 NGBC， 又 2 2 3 AMAD，4BC ，且/ /ADBC， / /AMBC，且 1 2 AMBC， 则/ /NGAM，且NGAM， 四边形AMNG为平行四边形，则/ /NMAG， AG 平面PAB，NM 平面PAB， / /MN平面PAB； 第 24 页（共 29 页） 法二、 在PAC中，过N作NEAC，垂足为E，连接ME， 在ABC中，由已知3ABAC，4BC ，得 2
33、22 4332 cos 24 33 ACB ， / /ADBC， 2 cos 3 EAM，则 5 sin 3 EAM， 在EAM中， 2 2 3 AMAD， 13 22 AEAC， 由余弦定理得： 22 9323 2cos422 4232 EMAEAMAE AMEAM ， 22 33 ( )( )4 1 22 cos 33 9 2 22 AEM ， 而在ABC中， 222 3341 cos 2 3 39 BAC ， coscosAEMBAC，即AEMBAC ， / /ABEM，则/ /EM平面PAB 由PA底面ABCD，得PAAC，又NEAC， / /NEPA，则/ /NE平面PAB NEEM
34、E， 平面/ /NEM平面PAB，则/ /MN平面PAB； （ 2 ） 解 ： 在A M C中 ， 由2AM ，3AC ， 2 cos 3 MAC， 得 222 2 2c o s942325 3 C MA CA MA CA MM A C 222 AMMCAC，则AMMC， PA底面ABCD，PA平面PAD， 平面ABCD 平面PAD，且平面ABCD平面PADAD， CM平面PAD，则平面PNM 平面PAD 在平面PAD内， 过A作AFPM， 交PM于F， 连接NF， 则A N F为直线AN与平面PMN 所成角 在Rt PAC中，由N是PC的中点，得 22 115 222 ANPCPAPC， 第
35、 25 页（共 29 页） 在Rt PAM中，由PA AMPM AF，得 22 424 5 5 42 PA AM AF PM ， 4 5 8 5 5 sin 5 25 2 AF ANF AN 直线AN与平面PMN所成角的正弦值为 8 5 25 13 （2016天津） 如图， 四边形ABCD是平行四边形， 平面AED 平面ABCD，/ /EFAB， 2AB ，3DE ，1BCEF，6AE ，60BAD，G为BC的中点 （1）求证：/ /FG平面BED； （2）求证：平面BED 平面AED； （3）求直线EF与平面BED所成角的正弦值 【解答】证明： （1）BD的中点为O，连接OE，OG，在BCD
36、中， G是BC的中点， / /OGDC，且 1 1 2 OGDC， 又/ /EFAB，/ /ABDC， / /EFOG，且EFOG， 即四边形OGEF是平行四边形， 第 26 页（共 29 页） / /FGOE， FG平面BED，OE 平面BED， / /FG平面BED； （2）证明：在ABD中，1AD ，2AB ，60BAD， 由余弦定理可得3BD ，仅而90ADB， 即BDAD， 又平面AED 平面ABCD， BD平面ABCD，平面AED平面ABCDAD， BD平面AED， BD平面BED， 平面BED 平面AED （）/ /EFAB， 直线EF与平面BED所成的角即为直线AB与平面BED
37、所形成的角， 过点A作AHDE于点H，连接BH， 又平面BED平面AEDED， 由（2）知AH 平面BED， 直线AB与平面BED所成的角为ABH， 在ADE，1AD ，3DE ，6AE ，由余弦定理得 2 cos 3 ADE， 5 sin 3 ADE， 5 3 AHAD， 在Rt AHB中， 5 sin 6 AH ABH AB ， 直线EF与平面BED所成角的正弦值 5 6 第 27 页（共 29 页） 14（2015天津） 如图， 已知 1 AA 平面ABC， 11 / /BBAA，3ABAC，2 5BC ， 1 7AA ， 1 2 7BB ，点E和F分别为BC和 1 AC的中点 （）求证
38、：/ /EF平面 11 A B BA； （）求证：平面 1 AEA 平面 1 BCB； （）求直线 11 A B与平面 1 BCB所成角的大小 【解答】 （）证明：连接 1 A B，在 1 A BC中， E和F分别是BC和 1 AC的中点， 1 / /EFAB， 又 1 A B 平面 11 A B BA，EF 平面 11 A B BA， / /EF平面 11 A B BA； （）证明：ABAC，E为BC中点，AEBC， 1 AA 平面ABC， 11 / /BBAA， 1 BB平面ABC， 第 28 页（共 29 页） 1 BBAE，又 1 BCBBB，AE平面 1 BCB， 又AE 平面 1
39、AEA，平面 1 AEA 平面 1 BCB； （）取 1 BB中点M和 1 B C中点N，连接 1 A M， 1 A N，NE， N和E分别为 1 B C和BC的中点，NE平行且等于 1 1 2 B B， NE平行且等于 1 A A，四边形 1 A AEN是平行四边形， 1 A N平行且等于AE， 又AE 平面 1 BCB， 1 A N平面 1 BCB， 11 AB N即为直线 11 A B与平面 1 BCB所成角， 在ABC中，可得2AE ， 1 2A NAE， 1 / /BMAA， 1 BMAA， 1 / /AMAB且 1 AMAB， 又由 1 ABBB， 11 AMBB， 在RT 11
40、AMB中， 22 1111 4ABBMAM， 在RT 11 ANB中， 1 11 11 1 sin 2 AN AB N AB ， 11 30AB N，即直线 11 A B与平面 1 BCB所成角的大小为30 15 （2015新课标）如图，长方体 1111 ABCDABC D中，16AB ，10BC ， 1 8AA ， 点E，F分别在 11 A B， 11 D C上， 11 4AED F，过点E，F的平面与此长方体的面 第 29 页（共 29 页） 相交，交线围成一个正方形 （1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由） ； （2）求直线AF与平面所成角的正弦值 【解答】解： （1）交线围成的
41、正方形EFGH如图： （2）作EMAB，垂足为M，则： 10EHEFBC， 1 8EMAA； 22 6MHEHEM，10AH； 以边DA，DC， 1 DD所在直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则： (10A，0，0)，(10H，10，0)，(10E，4，8)，(0F，4，8)； ( 10,0,0),(0,6, 8)EFEH ； 设( , , )nx y z为平面EFGH的法向量，则： 100 680 n EFx n EHyz ，取3z ，则(0,4,3)n ； 若设直线AF和平面EFGH所成的角为，则： 404 5 sin|cos,| 15180 5 AF n； 直线AF与平面所成角的正弦值为 4 5 15
