1、 1 陕西省黄陵中学 2017届高三数学下学期开学考试试题（普通班）理 一、选择题（每小题 5分，共 60 分） 1.设集合? ? ? ?22| l og ( 2) , | 5 4 0? ? ? ? ? ? ?A x y x B x x x，则AB?( ). A ?B ? ?2,4C ? ?2,1?D ? ?4,?2复数 ( 为虚数单位 ) ，则 =（ ） A B C D 3 平面向量a，b共线的充要条件是（ ） A ， 方向相同 B a，b两向量中至少有一个为零向 量 C R?，使得ba?D 存在不全为零的实数1?，2，120ab?4阅读右面的程序框图，运行相应的程序，则输出 i的值为 (
2、) A 3 B 4 C 5 D 6 5.已知下列命题 ： 命题 “ 3x” 的否定是 “ 3x”； “ a 2” 是 “ a 5” 的充分不必要条件 ； “若 xy=0，则 x=0且 y=0”的逆否命题为真命题 . 已知 p、 q为两个命题， 若“ ”为假命题，则 “ ”为 真命题。 其中真命题的个数为（ ） A 3个 B 2个 C 1个 D 0个 6已知向量 a=(1， 0， -1)，则下列向量中与 a成 60夹角的是 ( ) A (-1， 1， 0) B (1， -1， 0) C (0， -1， 1) D (-1， 0， 1) 7已知椭圆 E 的中心为坐标原点，离心率为 21 ， E 的右
3、焦点与抛物线 C： y2=8x 的焦点重合，点 A、 B 是 C的准线与 E的两个交点，则 |AB|= ( ) A 3 B 6 C 9 D 12 8若 ab 0，则 ax-y+b=0 和 bx2+ay2=ab所表示的曲线只可能是下图中的 ( ) (1 )i z i? iz1122i?1122i?i? i? 1, 2 ? xRx 1, 2 ? xRxqp? qp ?2 9 设 QP, 分别为圆 ? ? 26 22 ? yx 和椭圆 110 22 ?yx 上的点，则 QP, 两点间的最大距离 是（ ） A. 25 B. 246? C. 27? D. 26 10若 AB是过椭圆 22 1( 0 )x
4、y abab? ? ? ?中心的一条弦， M是椭圆上任意一点，且 AM， BM与两坐标轴均不平行， kAM， kBM分别表示直线 AM， BM 的斜率，则 kAM kBM=( ) A. 22ca?B. 22ba?C. 22cb?D. 22ab?11已知抛物线 x2=4y上 有一条长为 6 的动弦 AB， 则 AB的中点到 x轴的最短距离为 ( ) A 34 B 32 C 1 D 2 12已知椭 圆 22: 1( 0 )xyC a bab? ? ? ?的左焦点为 F,C与过原点的直线相交于 A、 B两点 ,连接 AF、 BF. 若|AB|=10,|BF|=8， cos ABF=45 ,则 C的离
5、心率为 ( ) A. 35 B. 57 C. 45 D. 67 二、填空题（每小题 5分，共 20 分） 13若抛物线 y=-2px(p0)上有一点 M，其横坐标为 -9，它到焦点的距离为 10，则点 M的坐标为 _. 14已知函数 f(x)=31 x3+ax2+x+1有两个极值点 ,则实数 a 的取值范围是 . 15过椭圆 22154xy?的右焦点作一条斜率为 2的直线与椭圆交于 A、 B两点， O为坐标原点，则 OAB的面积为 _. 16双曲线 )0,0(12222 ? babyax 的右焦点为 F，左、右顶点为 A1、 A2，过 F 作 A1A2的垂线与双曲线交于 B、 C两点，若 A1
6、B A2C，则该双曲线的渐近线斜率为 _. 三、解答题（共 70分） 17. （本小题满分 10 分） (1)是否存在实数 m， 使 2x+m0的充分条件？ 3 NMC1B1A1CBA(2)是否存在实数 m，使 2x+m0的必要条件？ 18. （本题满分 12分）如图，三棱柱111 CBAABC ?中，1AA平面ABC，BC AC?，2AC?， 31?AA， D为AC的中点 （）求证：1AB平面1BDC； （）求二面角CBDC ?1的余弦值； （）在侧棱1AA上是否存在点 P，使得CP平面1BDC？若存在，求出 AP的长；若不存在，说明理由 19. （本小题满分 12 分） 双曲线 C 的中心
7、在原点，右焦点为 ? 0,332F ，渐近线方程为 xy 3? . (1)求双曲线 C 的方程； (2)设点 P是双曲线上任一点，该点到两渐近线的距离分 别为 m、 n.证明 nm? 是定值 . 20. （本小题满分 12 分） 已知抛物线 C 的顶点在坐标原点 O，对称轴为 x 轴，焦点为 F，抛物线上一点 A 的横坐标为 2，且10?OAFA . (1)求此抛物线 C的方程 . (2)过点 (4， 0)作直线 l交抛物线 C于 M、 N两点，求证： OM ON 21（本题满分 12分）已知函数xxxf ln)( ?（ 1）求函数)(xf的极值点； （ 2）若直线l过点（ 0， 1），并且与
8、曲线)(xfy?相切，求直线l的方程； （ 3）设函数),1()( ? xaxfxg其中Ra?，求函数)(xg在,1e上的最小值 .（其中 为自然对数的底数） 22. （本小题满分 12 分） 已知函数3212)( ? xxf（ 1）求不等式6)( ?xf的解集； 4 （ 2）若关于x的 不等式1)( ? axf的解集非空，求实数a的取值范围 . 数学（理科）试卷答案 一 .选择题（每小题 5分，共 60分） 1-6 B C D B C B 7-12 B C D B D B 二填空题（每小题 5分，共 20 分） 13 （ -9,6）或（ -9， -6） 14 ? ? ? ? ，11, 15
9、35 16 1? 5 三解答题（ 共 70分） 17.（ 10 分） (1)欲使得 是 的充分条件 , 则只要 或 , 则只要 即 , 故存在实数 时 , 使 是 的充分条件 . (2)欲使 是 的必要条件 , 则只要 或 , 则这是不可能的 , 故不存在实数 m时 , 使 是 的必要条件 . 18. 解：（）证明：连接1BC，与1相交于O，连接OD 11BCCB是矩形， 是1的中点 又 D是AC的中点，OD1AB ? 2分 1AB?平面1DC，?平面1BDC， ? 3 分 1平面 ? 4分 （ ）如图，建立空间直角坐标系，则1(0 0 0)， ，3 2)B ， ，(0 3 0)C ， ，(2
10、 0)A ， ，( 3， ， ?5分 设1 1 1()n x y z? ， ，是平 面1BDC的一个法向量， 则1100n CBn CD? ?，即113 2 030yzxy? ，令1 1x?，则11( )32?， ， ? 7分 易知1 (0 3 0)CC? ， ，是平面ABC的一个法向量， ? 8分 D NMC 1B 1A1CBA6 11112c os 7736n C Cn C Cn C C? ? ? ? ? ? ? ?， ? 9分 由题意知二面角1C BD C?为锐角， 二面角 的余弦值为27 ? 10分 （）假设侧棱1AA上存在 一点(2, 0)Py， ，(03y?)，使得CP?平面1BD
11、C 则1100CP C BCP C D? ?，即3( 3) 02 3( 3) 0y y? ? ? ? ， ，373yy? ?， ? 12分 方程组无解假设不成立 侧棱1AA上不存在点 P，使CP平面1BDC 19. （ 1）易知 双曲线的方程是 13 22 ?yx . （ 2）设 P? ?00,yx ，已知渐近线的方程为： xy 3? 该点到一条渐近线 的距离为：133 00? yxm 到另一条渐近线的距离为133 00? yxn 412232020 ? yxnm是定值 . 20. （ 1）根据题意，设抛物线 的方程为 （ ），因为抛物线上一点 的横坐标为 ，设 ，因此有 ， .1分 因为 ，
12、所以 ，因此 ， .3分 解得 ，所以抛物线 的方程为 ； .5分 （ 2）当直线 的斜率不存在时，此时 的方程是： ，因此 M ， N ，因此NOMO ? ，所以 OM ON； .7分 当直线 的斜率存在时，设直线 的方程是 ，因此 ，得 ，设 M ， N ，则 ， ， .9分 所以 NOMO ? ，所以 OM ON。 .11 分 综上所述， OM ON。 .12分 7 21. 解：（ 1）? ? xxxf ,1ln ? 0.? 1 分 而?xf? 0?lnx+1 0x? ?xfe ?,1 0? 1ln?x 0 0x,1e所以?f在?,0上单调递减，在? ?,上单调递增 .? 3分 所以ex
13、 1?是函数?xf的极小值点，极大值点不存在 .? 4分 （ 2）设切点坐标为? ?00,yx，则,ln 000 xxy ?切线的斜率为,1ln 0?x所以切线l的方程为? ? ?.1lnln 0000 xxxxxy ? 5分 又切 线 过点? ?1,0?，所以有? ? ?.01lnln1 0000 xxxx ?解得.0, 00 ? yx所以直线l的方程为.1?xy? 7分 （ 3）? ? ? ?1ln ? xaxxxg，则? ? .1ln xxg ?xg? 0ax ? 1ln 0 0 ? ?xgea ? ,1 0x?,1e所以 在? ?, a上单调递减，在? ?上单调递增 .? 9分 当,1
14、1?ae即?时，?xg在? ?e,1上单调递增， 所以?xg在? ?e,1上的最小值为? .01?当 11?ae e，即 1 a 2时，?x在? ?, ?ae上单调递减，在?e,上单调递增 . ?x在? ?e,上的最小值为? ? .11 ? ? aa eaeg当,?即2?时，?x在? ?e,1上单调递减， 所以?xg在? ?e,上的最小值为? ? .aeaee ?综上，当1?a时，?xg的最小值为 0；当 1 a 2时，?xg的最小值为1?aa； 当?时， 的最小值为.aee? 12 分 22 解：（）原不等式等价于 8 3 1 3,2 2 2( 2 1 ) ( 2 3 ) 6 , ( 2 1 ) ( 2 3 ) 6 ,xxx x x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?或或1 ,2( 1) ( 2 3 ) 6.x xx? ? ? ? ? ?解之得3 1 3 12 , 12 2 2 2x x? ? ? ? ? ? ? ? ?或 , 或. 即不等式的解集为21| ? xx. ? 7分 （）? ? ? ? ? ? 432123212 ? xxxxxf?. 41?a，解此不等式得53 ? aa 或. ? 12分 （本题利用图像法或几何意义法仍然可解，请酌情给分 .）
