1、 - 1 - 陕西省黄陵中学高新部 2018届高三数学下学期开学考试试题 理 第 卷 选择题（满分 60分） 一、 选择题：本大题共 12小题 ,每小题 5分 ,共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1.若集合 |1 3 81xAx? ? ?， 22 | lo g ( ) 1B x x x? ? ?， 则 AB? （ ） A (2,4 B 2,4 C ( ,0) (0,4? D ( , 1) 0,4? ? 2.已知复数 1zi? （ i 为虚数单位 ），复数 z 为 z 的共轭复数 ， 则 2 21zzz? ? （ ） A 2i? B 2i C 42i? D
2、42i? 3.已知函数 1()( 1)fx xx? ?， 执行如图所示的程序框图 ， 输出 的 结果是 （ ） A 20172018 B20182019C 20182017 D 20192018 4.在平面直角坐标系 xOy 中 ， 设 12,FF分别为双曲线 22 1( 0 , 0 )xy abab? ? ? ?的左 、 右焦点 ，P 是双曲线左支上一点 ， M 是 1PF 的中点 ， 且 1OM PF? ， 122| | | |PF PF? ， 则双曲线的离心率为 （ ） A 6 B 5 C. 2 D 3 - 2 - 5.设 x ， y 满足约束条件 2 1 0100xyxym? ? ?，
3、若目标函数 2z x y? 的最小值大于 5? ，则 m 的取值范围为（ ） A 111,3?B 113,3?C.( 3,2)? D ( ,2)? 6.福建省第十六届运动会将于 2018 年在宁德召开 .组委会预备在会 议期间将 A ， B ， C ， D ，E ， F 这六名工作人员分配到两个不同的地点参考接待工作 .若要求 A ， B 必须在同一组，且每组至少 2 人，则不同的分配方法有（ ） A 15种 B 18种 C. 20 种 D 22 种 7.一个几何体的三视图如图所示，则它的表面积为（ ） A 3472? B 5472? C. 5272? D 3172? 8.已知 0.6log
4、2a? ， 2log 0.6b? ， 20.6c? ，则（ ） A abc? B b c a? C.c b a? D c a b? 9.若 e 是 自然对数的底数 ， 则 （ ） A 1 ln ln22e ?B 1 ln2 ln2e ?C ln 1 ln22e? ?D ln ln2 12 e? ?10.已知函数 ? ? ?f x x R? 满足 ? ? ? ?4f x f x? ? ? ， 若函数 21xyx?与 ? ?y f x? 图像的交点为? ? ? ? ? ?1 1 2 2 1 0 1 0, , , , , ,x y x y x y， 则 ? ?101 iii xy? ?（ ） - 3
5、 - A 10 B 20 C 10? D 20? 11.已知数列 ?nb 满足 121, 4,bb? 222 1 s in c o snnnnbb? ? ? ?，则该数列的前 23 项的和为（ ） A 4194 B 4195 C 2046 D 2047 12.已知 , , ,66 tR? ? ? ?，且 5 sin 3 0t? ? ?， 5 181 sin 3 03 t? ? ?， 则? ?ln 3 cos 3? ? ?（ ） A ln2 B ln3 C 5ln2D 2ln 32?二、填空题： （本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分） 13 函数 ? ? ? ?1 01xf x k x
6、k a a a? ? ? ? ?且 的 图 象 必 过 定 点_ . 14某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是 23 ，则正视图中的 x 的值是_ 15. 平面几何中有如下结论：如图，设 O是等腰直角 ABC? 底边 BC 的中点， 1AB? ，过点O 的动直线与两腰或其延长线的交点分别为 ,QR，则有112AQ AR?.类比此结论，将其拓展到空间，如图 (2)，设 O是正三棱锥 A BCD BCD? 底 面 的中心， ,AB AC AD两两垂直， 1AB? ，过点 O的动平面与三棱锥的三条侧棱或其延长线的交点分别为 , , ;QRP 则有 _ . 16.在平面直角坐标系 xOy 中，
7、直线 l 与抛物线 2 4yx? 相交于不同的 A,B两点，且4OA OB? ? ，则 OAB? 的面积的最小值为 _. 三、解答题 ：第 17-21 题每题 12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 17. 在 中 ， 角 的对边分别为 ， 且满足 . （ 1）求角 的大小 ； （ 2）若 为 的中点 ， 且 ， 求 . - 4 - 18. 在直三棱柱 中 ， ， ， 分别为 的中点 . （ 1）求证 ； （ 2）求二面角 的余弦值 . 19 如图 (1)，在等腰 ABC? 中， D， E， F分别是 AB， AC和 BC 边的中点， 120ACB?，现将 ABC?沿 CD翻折成直
8、二面角 A-DC-B.(如图 (2) （ I） 试判断直线 AB与平面 DEF的位置关系，并说明理由； （ II）求二面角 E-DF-C的余弦值； （ III）在线段 BC是否存在一点 P，但 AP? DE？证明你的结论 . 20 （本题满分 13分）已知数列 ?na 满足 21?a ，nn ana 21 )11(2 ? （ 1）求数列 ?na 的通项公式； （ 2）设 nn CBnAnb 2)( 2 ? ，试推断是否存在常数 A B C， 使对一切 ?Nn 都有 nnn bba ? ?1 成立？若存在，求出 A B C 的值；若不存在，说明理由 求证： ?nini nna122 2)22(
9、21.已知函数 2( ) 2 lnf x x x a x? ? ?， ()gx ax? . （）求函数 ( ) ( ) ( )F x f x g x?的极值； （）若不等式 sin ()2 cosx gx? 对 0x? 恒成立，求 a 的取值范围 . - 5 - 请考生在 22、 23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 . 22.选修 4-4：坐标系与参数方程 已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与 x 轴的正半轴重合，直线 l 的极坐标方程为： 1sin( )62?，曲线 C 的参数方程为： 2 2cos ,2sinxy ? ?（ ? 为参数） （ 1）写出直线 l
10、的直角坐标方程； （ 2）求曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最大值 23.选修 4-5：不等式选讲 设函数 ( ) | 2 | | 2 |f x x x? ? ? ? （ 1）解不等式 ( ) 2fx? ； （ 2）当 xR? ， 01y?时，证明： 11| 2 | | 2 |1xx yy? ? ? ? ? ? - 6 - 参考答案 1-5:ACBC 6-10： DACAD 11、 12： AA 13.（ 1， -1） 14.32 15. 1AQ 1AR 1AP 3 16. 42 17.【答案】（ 1） ；（ 2） 【解析】试题分析： 由正弦定理和两角和的正弦公式和诱导公式即可证得结论；
11、取线段 的中点 ，连接 ，推出 ， 的值，然后根据正弦定理得 ，即可求得 解析：（ 1）在 中 ， ， ， ， ， ， 即 ， ， ， ， 综上所述，结论是： （ 2）取线段 的中点 ，连接 ， ， ， 设 ， 则 ， ， ， 在 中，由正弦定理得 ， ， 综上所述，结论是： 18.【答案】（ 1）见解析；（ 2） 【解析】试题分析： 建立 空间直角坐标系 ， 求得 ， 的坐标，求得 ，从- 7 - 而证明 ； 由 是直三棱柱推导出 ，再推出 ，求出平面 的法向量的值，设二面角的平面角为 ， 即可得到 的值 解析：（ 1）建立如图 空间直角坐标系 ， 不妨设 ， 则 ， ， ， ， ， ， ，
12、 ， （ 2） 是直三棱柱 ， ， 又 ， ， 设平面的法向量为 ， 则 ， ， ， ， 解得 设二面角的平面角为 ， 则 . 19.解：（ I）如图：在 ABC中，由 E、 F分别是 AC、 BC中点， 得 EF/AB， 又 AB? 平面 DEF， EF? 平面 DEF， AB平面 DEF 4分 （）以点 D为坐标原点，直线 DB、 DC为 x轴、 y轴，建立空间直角坐标系， 设 CD a ，则 AC BC 2a , AD DB 3a ，则 A（ 0， 0， 3a ）， B（ 3a ， 0， 0）， C（ 0， 33, 0 , ) , (0 , , ) , ( , , 0 )2 2 2 2a
13、aa E a F a. 5分 取平面 CDF的法向量为 (0,0,1)m? ，设平面 EDF的法向量为 ( , , )n x y z? ， - 8 - 则 00DF nDE n? ?得 30 ( 3 , 3 , 3 )30xy nyz? ? ? 取， 7分 5c o s , 5| | |mnmn mn? ? ?， 8分 二面角 E DF C的余弦值为 55 9分 （）设 ? ?, ,0P x y ，则 23 022aA P D E y a? ? ? ?， 3ya? 10 分 又 ? ? ? ?3 , , 0 , , , 0B P x a y P C x a y? ? ? ? ? 由 /BP P
14、C 得 ? ? ?3,x a a y xy? ? ? ?即 33x y a? 11 分 由 得 2 3 , 3x a y a? ? ? P在 BC的延长线上 在线段 BC 上不存在一点 P，使 AP? DE. 12分 20.解：（ 1）由已知得221 2)1( nana nn ?， 2nan?是公比为 2的等比数列，首项为 21?a ， 12 22nnan ?， 22 na nn ? 4分 （ 2） nn CBnAnb 2)( 2 ? ， 2 1 21 ( 1 ) ( 1 ) 2 ( ) 2nnnnb b A n B n C A n B n C? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? -
15、 9 - nCBAnBAAn 222)4( 2 ? 若 nnn bba ? ?1 恒成立，则 22 22)4( nCBAnBAAn ? 恒成立， 14 0 , 1 , 4 , 62 2 0AA B A B CA B C? ? ? ? ? ? ? ?解 得，故存在常数 A=1， B=-4， C=6满足条件 8 分 （ 3）由（ 2）得， nn nnb 2)64( 2 ? ， 2 1 3 2 4 3 1 1 11 ( ) ( ) ( ) ( )ni n n ni a b b b b b b b b b b? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?626)1(4)1( 12 ? ?nnn 121
16、2 2)32(62)32( ? ? nn nnn = 22 2)232( ? nnn 222 2)212()22( ? nnnnn 22222 2)22(22 )1()22( ? ? nn nnnnn ， 原式成立 12 分 21. 解：（） 2( ) 2 lnF x x x a x ax? ? ? ?， 22 ( 2 )( ) x a x aFx x? ? ? (2 )( 1)x a xx? ， ()Fx的定义域为 (0, )? . 02a?即 0a? 时， ()Fx在 (0,1) 上递减， ()Fx在 (1, )? 上递增， ( ) 1F x a?极 小 ， ()Fx无极大值 . 012a? ? 即 20a? ? ? 时， ()Fx在 (0, )2a? 和 (1, )? 上递增，在 ( ,1)2a? 上递减， ( ) ( )2aF x F?极 大 2 ln( )42aaaa? ? ? ?， ( ) (1) 1F x F a? ? ?极 小 . 12a?即 2a? 时， ()Fx在 (0, )? 上递增， ()Fx没有极值 . 12a?即 2a? 时， ()Fx在 (0,1) 和 ( , )2a? ? 上递增， ()Fx在 (1, )2a? 上递减， ( ) (1) 1F x f a? ? ?极 大 ， ( ) ( )2aF x F?极
