1、 - 1 - 陕西省黄陵中学高新部 2018届高三数学下学期开学考试试题 文 一、选择题：本大题共 12个小题 ,每小题 5分 ,共 60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 已知集合 ， ，若 ，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 复数 是实数，则实数等于（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. -1 3. 执行如图所示的程序框图，若输出的 ，则输入的 （ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 1或 4 4. 已知 满足对任意的 ， ，且 时， （ 为常数），则 的值为（ ） A. 4 B. -4 C. 6 D. -6 5. 将正方体 (如图 (
2、1)所示 )截去两个三棱锥，得到如图 (2)所示的几何体，则该几何体的侧视图为（ ） A. B. C. D. - 2 - 6. 在平面直角坐标系 中， 为不等式组 所表示的区域上一动点，则直线斜率的最小值为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 7. 若抛物线 上一点 到其焦点的距离为 10，则点 的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 已知图中的图象对应的函数为 ，则图中的图象对应的函数为（ ） A. B. C. D. 9.已知点 P 在双曲线 )0,0(12222 ? babyax 上， xPF? 轴（其中 F 为双曲线的焦点），点 P 到该双曲线的两条渐近线的距离之比为31，则该双
3、曲线的离心率为 A. 332B. 3 C. 552D. 5 10.已知底面半径为 1，高为 3 的圆锥的顶点和底面圆周都在球 O的球面 上，则此球的表面积为 A. 27323B. 4 C. 316 D. 12 11.过抛物线 C ： xy 42? 的焦点 F 的直线 l 与抛物线 C交于 P ， Q 两点，与其准线交于点 M ，且 FPFM 3? ，则 ?|FP A 32 B 34 C 31 D 1 12.已知函数 kxxxxf ? ln)( 在区间 e,e41 上有两个不同的零点，则实数 k 的取值范围为 A )e21,e41B )e21,e41(C e41,e1 2D e1,e12第卷（非
4、选择题 共 90分） - 3 - 二、填空题（每题 5分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13.抛物线 23yx? 的焦点坐标为 14.已知向量 a ， b ，其中 | | 1a? ， | | 2b? ，且 ()a b a?，则 | 2 |ab? 15.已知数列 ?na 的前 n 项和为 nS ， 1 1a? ， 2 2a? ，且 *212 0 ( )n n na a a n N? ? ? ?，记*121 1 1. ( )nnT n NS S S? ? ? ? ?，则 2018T ? 16.在 ABC? 中，角 A B C， ， 的对边依次为 a b c， ， ，若 ABC? 为锐角三角
5、形，且满足22,c b ab? 则 11 2 sinta n ta n CBC?的取值范围是 三、解答题 （本大题共 6小题，共 70分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .） 17.已知数列 na 为等差数列，且 3 5a= ， 5 9a= ，数列 na 的前 n 项和为 2133nnSb=+.(12分 ) (1)求数列 na 和 nb 的通项公式； 18.如图，正方形 ABCD 中， 22AB= ， AC 与 BD 交于 O 点，现将 ACD 沿 AC 折 起得到三棱锥 D ABC- ， M ， N 分别是 OD ， OB 的中点 .(12 分 ) (1)求证： AC MN ； (
6、2)若三棱锥 D ABC- 的最大体积为 0V ，当三棱锥 D ABC- 的体积为032V，且 DOB 为锐角时，求三棱锥 D MNC- 的体积 . 19.某中学为研究学生的身体素质与与课外体育锻炼时间的关系，对该校 200名高三学生的课外体育锻炼平均每天运动的时间进行调查，如下表： (平均每天锻炼的时间单位：分钟 ) 将学生日均课外体育运动时间在 )40,60 上的学生评价为“课外体育达标” .(12 分 ) 平均每天锻炼的时间 (分 )0,10 )10,20 )20,30 )30,40 )40,50 )50,60 - 4 - 钟 ) 总人数 20 36 44 50 40 10 (1) 请根
7、据上 述表格中的统计数据填写下面 22 列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为“课外体育达标”与性别有关？ 课外体育不达标 课外体育达标 合计 男 女 20 110 合计 (2) 从上述 200名学生中，按“课外体育达标”、“课外体育不达标”分层抽样，抽取 4人得到一个样本，再从这个样本中抽取 2人，求恰好抽到一名“课外体育不达标”学生的概率 . 参考公式： ( )( ) ( ) ( ) ( )22 n a d b cKa b c d a c b d-= + + + +，其中 n a b c d= + + + . 参考数据： ( )2 0P K k 0.10
8、0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k 2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828 （ 20）（本小题满分 12 分） 已知函数? ? 21 ln 22f x ax x? ? ?，Ra? （）讨论函数?fx的单调性； （）若函数 有两个零点，求实数 的取值范围 （ 21）（本小题满分 12 分） 已知椭圆 E ： 22 1( 0)xy abab? ? ? ?的左顶点为 A ，右焦点为 ? ?1,0F ，过点 A 且斜率为 1的直线交椭圆 E 于另一点 B ，交 y 轴于点 C ， 6AB BC? - 5 - （ 1）求椭圆 E 的方程； （
9、2）过点 F 作直线 l 与椭圆 E 交于 ,MN两点，连接 MO （ O 为坐标原点）并延长交椭圆 E于点 Q ，求 MNQ? 面积的最大值及取最大值时直线 l 的方程 (二 )选考题：共 10 分 .请考生在第 22， 23题中任选一题作答 .如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请用 2B铅笔在答题卡上将所选题号后的 方框涂黑 . 22.选修 4 4：坐标系与参数方程 (10分 ) 在平面直角坐标系 xOy中，曲线 C的参数方程是 (为参数 )，以原点 O为极点， x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线 l的极坐标方程为 ( )求曲线 C的普通方程与直线 l的直角坐标方程； ( )已知直线
10、 l与曲线 C交于 A， B两点，与 x 轴交于点 P，求 |PA| |PB|. 23.选修 4 5：不等式选讲 (10分 ) 已知函数 f(x) |2x 1| 2|x 2|. ( )求函数 f(x)的最小值； ( )解不等式 f(x)0时，内单调递增，内单调递减；在，在函数 )()0()( ?aaaaxf? 6分 （）当0时 ，a ?由（）得()在 （ 0， +)fx 上单调递减，函数)(xf不可能有两个零点； ? 7分 - 8 - 当 a0时，由（）得，( ) ( 0 ) ( )aafx ?函 数 在 ， 内 单 调 递 减 ， 在 ， 内 单 调 递 增 ，且当 x趋近于 0和正无穷大时
11、，)(xf都趋近于正无穷大， ? 8分 故若要使函数f有两个零点，则)(f的极小值( ) 0af a ?， ? 10分 即11ln -2 022 a?，解得30 ea?, 综上所述，a的取值范围是)( 3e，? 12分 （ 21） 解：（）由题知),0(),0,( aCaA ?，故)76,7( aaB?， ? 1分 代入椭圆 E的方程得14936491 22 ? ba， ? 2分 又122 ?ba， ? 3分 故3,4 22 ? ba， ? 4 分 椭圆14: 22 ? yxE； ? 5 分 （）由题知，直线l不与 x轴重合，故可设1: ?myxl， 由?134122 ymyx得096)43(
12、 22 ? myym， ? 8分 设),(),( 2211 yxNyxM，则43 9,43 6 221221 ? myym myy，由Q与 M关于原点对称知， 431124)(|2 2 22122121 ? ? ? m myyyyyySS MONMNQ 11131222?mm， ? 10分 2 11m ? ，2 213 1 41m m? ? ? ? ，即3MNQS? ，当且仅当0?m时等号成立， MNQ?面积的最大 值为 3，此时直线l的方程为1?x? 12 分 22.解： ( )由曲线 C的参数方程 ( 为参数 )，得 ( 为参数 )， - 9 - 两式平方相加，得曲线 C的普通方程为 (x
13、 1)2 y2 4； (3 分 ) 由直线 l的极坐标方程可得 cos cos4 sin sin4(4分 ) 即直线 l的直角坐标方程为 x y 2 0.(5分 ) ( )由题意可知 P(2， 0)，则直线 l的参数方程为 (t为参数 ) (6分 ) 设 A， B两点对应的参数分别为 t1， t2，则 |PA| |PB| |t1| |t2|， 将 (t为参数 )代入 (x 1)2 y2 4，得 t2 2t 3 0， (8分 ) 则 0，由韦达定理可得 t1 t2 3， (9分 ) 所以 |PA| |PB| | 3| 3.(10分 ) 23.解： ( )因为 |2x 1| 2|x 2| |(2x 1) 2(x 2)| 5， (4分 ) 所以 f(x)的最小值是 5.(5分 ) ( )解法一： f(x) (6分 ) 当 x 114，即 11412时，由 4x 38，解得 x54，即 12x54， (9 分 ) 所以不等式 f(x)8的解集为 ? ? 114， 54 .(10分 ) 解法二 (图象法 )： f(x) (6 分 ) 函数 f(x)的图象如图所示， - 10 - (8分 ) 令 f(x) 8，解得 x 114或 x 54， (9分 ) 所以不等式 f(x)8的解集为 ? ? 114， 54 .(10分 )
