1、 1 四川省成都市 2017届高三数学 3 月月考试题 理 本试卷分第 I卷 (选择题 )和第 II 卷 (非选择题 )两部分 注意事项： 1 答题前，考试务必先认真核对条形码上的姓名，准考证号和座位号，无误后将本人姓名、准考证号和座位号填写在相应位置， 2答选择题时，必须使用 2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号； 3答题时，必须使用黑色签字笔，将答案规范、整洁地书写在答题卡规定的位置上； 4所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效； 5考试结束后将答题卡交回，不得折 叠、损毁答题卡。 第 I卷 一、选择题（本大题 12个小题，每题 5
2、分，共 60分 ,请将答案涂在答题卷上 ) 1、已知集合 ? ?0,2,4,6A? ， ? ?| 2 8nB n N? ? ?，则集合 AB的子集个数为（ ） A 8 B 7 C 6 D 4 2、已知复数 21z i? ，则（ ） A.z 的模为 2 B. z 的虚部为 1? C.z 的实部为 1 D. z 的共轭复数为 1i? 3、下列关于命题的说法错误的是（ ） A.命题 “ 若 2 3 2 0xx? ? ? ，则 1x? ” 的逆否命题为 “ 若 1x? ， 则 2 3 2 0xx? ? ? ” B.“ 2a? ” 是 “ 函数 ? ? logaf x x? 在区间 ? ?0 ?， 上为
3、增函数 ”的 充分不必要条件 C.若命题 p ： nN? ， 2 1000n? ，则 :p n N? ? ? ， 2 1000n? D.命题 “ ? ? 0x? ? ?， ， 23xx? ” 是真命题 4、宋元时期数学名著算学启蒙中有关于 “ 松竹并生 ” 的问题： 松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等。 右图是源于其思想的一个程序框图，若输入的 a 、 b 分别为 5 、 2 ， 2 则输出 的 n? （ ） A.2 B.3 C.4 D.5 5、函数 ? ? 1 lnf x xx? 的图象大致是（ ） A. B. C. D. 6、设 ?na 是公差不为 0的等差数列，满足
4、2 2 2 24 5 6 7a a a a? ? ? ，则该数列的前 10项和 10S? （ ） A. 10? B. 5? C.0 D.5 7、 如图，已知长方体 1 1 1 1ABCD A B C D? 的体积为 6， 1CBC? 的正切值为 13 ，当 1AB AD AA?的值最小时，长方体1 1 1 1ABCD A B C D? 外接球的表面积为（ ） A 10? B 14? C 15? D 16? 8、已知抛物线 的焦点 F到双曲线 C： 渐近线的距离为 ，点 P是抛物线 上的一动点， P到双曲线 C的上 焦点 F1（ 0， c）的距离与到直线 的距离之和的最小值为 3，则该双曲线的方
5、程为（ ） A B C D 9、已知 yx, 满足400xyxyx?，若目标函数 2z x y? 的最大值为 n ，则 2()nx x? 的常数项为（ ） A.240 B. 240? C.60 D.16 3 10、已知 函数 2 s in ( )( 0 2 )yx? ? ? ? ? ? ?的部分图象如图所示，点 A（ 6? ， 0）， B、 C是该图象与 x 轴的交点，过点 B作直线交该图象于 D、 E两点，点 F（ 712? ， 0）是 ()fx的图象的最高点在 x 轴上的射影，则( ) ( )AD EA AC? 的值是（ ） A 2 2 B 2 C 2 D以上答案均不正确 11、已知定义在
6、 R内的函数 ()fx满足 ( 4) ( )f x f x? ，当 1, 3x ? 时，2(1 ) , 1,1 ()1 ( 2 ) , (1, 3 t x xfxxx? ? ? ? ? ? ?，则当 8( ,27t? 时，方程 7 ( ) 2 0f x x?的不等实数根的个数是（ ） A 3 B 4 C 5 D 6 12、已知 ()fx是定义在 (0, )? 上的函数 ()fx的导函数，若方程 ( ) 0?fx 无解，且 (0, )? ? ?x ，? ?2016( ) lo g 2 0 1 7?f f x x，设 0.5(2 )?af ， (log 3)bf ? ， 4(log 3)?cf ，
7、则 a ， b ， c 的大小关系是（ ） A ?b c a B ?a c b C ?c b a D ?abc 第卷 二填空题（本大题 4个小题，每题 5分，共 20分） 13、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 _ 4 14、 已知 ? ? ? ?,f x g x 都是定义在 R 上的可导函数，并满足以下条件： ? ? 0gx? ； ? ? ? ? ?2 0 , 1xf x a g x a a? ? ?； ? ? ? ? ? ? ? ?f x g x f x g x? 。 若 ? ? ? ? ? ?115ffgg? ，则 a? _ 15、在 ABC? 中，已知 c =2，若 2 2
8、 2s i n s i n s i n s i n s i nA B A B C? ? ?则 ?ab的取值范围 _ 16、艾萨克 牛顿，英国皇家学会会长，英国著名物理学家，同时在数学上也有许多杰出贡献，牛顿用 “ 作切线 ” 的方法求函数 ()fx零点时给出一个数列 ?nx ：满足 ? ? ?1 ? ? nnn nfxxxfx，我们把该数列称为牛顿数列。如果函数 ? ? ? ?2 0? ? ? ?f x ax bx c a有两个零点 1， 2，数列 ?nx 为牛顿数列，设2ln 1? ?nnnxa x ，已知 1 2?a ， 2?nx ，则 ?na 的通项公式 ?na _ 三、解答题（本大题共
9、 6小题，共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17、（本小题满分 12 分）设 nS 是数列的前 n项和，已知 1 3a? ， 1 23nnaS? ? *()nN? 。 （ 1）求数列 ?na 的通项公式； （ 2） 令 (2 1)nnb n a?，求数列 ?nb 的前 n项和 nT . 18、（本小题满分 12 分） 空气质量指数（ Air Quality Index，简称 AQI ）是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照 AQI 大小分为六级， 0 50 为优； 51 100 为良； 101 150 为轻度污染；151 200 为中度污染； 201 250 为重度污染
10、； 300 为严重污染。一环保人士记录 2017 年某地某月 10天的 AQI 的茎叶图如下。 （ 1）利用该样本估计该地本月空气质量优良（ 100AQI? ）的天数； （按这个月总共 30天计算） （ 2）将频率视为概率，从本月中随机抽取 3天，记空气质量优良的天数为 ? ，求 ? 的概率分布列和5 数学期望。 19、（本小题满分 12 分） 等腰三角形 ABC， E为底边 BC 的中点，沿 AE折叠，如图， 将 C折到点 P的位置， 使 P AE C?为 120 ，设点 P在面 ABE上的射影为 H。 （ 1） 证明：点 H为 EB 的中点； （ 2） 若 2 2 ,A B A C A B
11、 A C? ? ?，求直线 BE与平面 ABP 所成角的正弦值 . 20、（本小题满分 12 分） 设椭圆 13222 ?yax （ 3?a ）的右焦点为 F ，右顶点为 A ，已知 | 3| 1| 1 FAeOAOF ? ，其中 O 为原点， e 为椭圆的离心率 . （ ）求椭圆的方程； （ ）设过点 A 的直线 l 与椭圆交于点 B （ B 不在 x 轴上），垂直于 l 的直线与 l 交于点 M ，与y 轴交于点 H ，若 HFBF? ，且 MOA MAO? ? ，求直线的 l 斜率的取值范围 . 21、 （本小题满分 12 分） 已知函 数 ( ) 1xf x e ax? ? ?，其中
12、a 为实数。 （ 1）若 1a? ，求函数 ()fx的最小值； （ 2）若方程 ( ) 0fx? 在 (0,2 上有实数解，求 a 的取值范围； （ 3）设 ,kkab( 1,2k? ? ， )n 均为正数，且 1 1 2 2 1 2. . . . . .n n na b a b a b b b b? ? ? ? ? ? ?， 求证： 12. 1nbbb na a a ? . 6 四、选做题（ 10 分） 请考生从给出的 下列 2 道题中任选一题做答，并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑。注意所选题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题。如果多做，则按所
13、做的第一题计分。 选修 4-4：坐标系与参数方程 22、 （本小题满分 10 分） 已知直线 l 的参数方 程是2 12 ()22xttyt? ? ?是 参 数，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴，且取相同的长 度单位建立极坐标系，圆 C的极坐标方程为 = 2 2 cos( )4?。 （ 1）求直线 l 的普通方程与圆 C的直角坐标方程； （ 2）设圆 C与直线 l 交于 A、 B两点，若 P点的直角坐标为（ 1， 0），求 |PA|+|PB|的值 选修 4-5：不等式选讲 23、 （本小题满分 10 分） 已知函数 ( ) 2 1 2 2f x x x? ? ? ?，且 ()fx的最大
14、值记为 k 。 （ ）求不等式 ()f x x? 的解集； （ ）是否存在正数 ,ab，同时满足 2 1 12 , 4a b k a b ab? ? ? ? ? ？请说明理由 。 7 成都外国语学校高 2014 级高三 3月月考 理科数学答案 1-12:DBDCB CBAAA CD 13、 42 3? 14、 2 15、 (2,4 16、 2n 17、 解：（ 1）当 2n? 时，由 1 23nnas? ?，得 123nnas?， （ 1分） 两式相减，得 112 2 2n n n n na a s s a? ? ? ?， 1 3nnaa?， 1 3nnaa? （ 3分） 当 1n? 时， 1
15、 3a? ， 2 1 12 3 2 3 9a s a? ? ? ? ?，则 21aa? . ?数列 ?na 是 以 3为首项， 3 为公比的等比数列 （ 5分） 13 3 3nnna ? ? ? ? （ 6分） （ 2）由（ 1）得 ( 2 1 ) ( 2 1 ) 3 nnnb n a n? ? ? ? ? 231 3 3 3 5 3 . . . ( 2 1 ) 3 nnTn? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 3 4 13 1 3 3 3 5 3 . . . ( 2 1 ) 3 nn ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 错位相减得 2 3 12 1 3 2 3 2 3 . .
16、. 2 3 ( 2 1 ) 3nnnTn ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?= 16 (2 2) 3nn ? ? ? ? 1( 1) 3 3nnTn ? ? ? ? ? （ 12 分） 18、 解：（ 1）从茎叶图中可发现该样本中空气质量优的天数为 2 ，空气质量良的天数为 4 ，故该样本中空气质量优良的频率为 6310 5? ，从而估计该月空气质量优良的天数为 330 185? （ 2）由（ 1）估计某天空气质量优良的概率为 35 ， ? 的所有可能取值为 0 ， 1， 2 ， 3 ? ? ? ? ? ?3 2 212332 8 3 2 3 6 3 2 5 40 , 1
17、, 25 1 2 5 5 5 1 2 5 5 5 1 2 5P P C P C? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， ? ? 33 2 73 5 1 2 5P ? ? ? ?， 故 ? 的分布列为： ? 0 1 2 3 P81253612554125271258 显然 333 , , 3 1 .855BE? ? ? ?19、 解： （ ） 依题意 ， AE BC? ， 则 AE EB? ， AE EP? ， EB EP E?. AE? 面 EPB . 故 CEP? 为二面角 C AE P?的平面角 ， 则 点 P 在面 ABE 上的射影 H 在 EB 上 . 由 120CEP? ? ? 得 60PEB? ? ? .? 3分 1122EH EP EB?. H 为 EB 的中点 . ? 6分 （
