1、四川省成都市经济技术开发区 2018届高三数学 4 月月考试题（文） 第卷（共 60分） 一、选择题：本大题共 12个小题 ,每小题 5分 ,共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1. 已知集合 ? ? ? ? ? ? ?R2 , 1 , 0 , 1 , 2 , | 1 2 0A B x x x? ? ? ? ? ? ?，则 AB? A ? ?1,0,1? B ? ?1,0? C ? ?2, 1,0? D ? ?2,1,2? 2.已知 i 为虚数单位，则 ?ii31 A 52i? B 52i? C 521 i? D 521 i? 3.下列函数中，既是奇函数，又
2、在区间 (1,2) 内是增函数的为 A. siny x x? B. lnyx? C. (2 )y x x? D. eexxy ? 4.设等比数列 na 前 n 项和为 nS ，若 3 9S? ， 6 36S? ，则 10 11 12a a a? ? ? A 81 B 243 C.144 D 576 5.如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的表面积是 A 25? B 254? C 29? D 294? 6.若关于 x的方程 |loga|x b| b(a 0， a 1)有且只有两个解，则 A.b 1 B.b 0 C.b 1 D.b 0 7.某疾病研究
3、所想知道吸烟与患肺病是否有关，于是随机抽取 1000名成年人调查是否吸烟及是否患有肺病，得到 22?列联表，经计算得2 5.231K ?，已知在假设吸烟与患肺病无关的前提条件下，2( 3.841 ) 0.05PK ?，2( 6.635 ) 0.01，则该研究所可以 A有 95%以上的把握认为“吸烟与患肺病有关” B有 95%以上的把握认为“吸烟与患肺病无关” C有 99%以上的把握认为“吸烟与患肺病有关” D有 99%以上的把握认为“吸烟与患肺病无关” 8已知实数 x ， y 满足不等式组,6 0,2 2 0,yxxyxy? ? ? ? ?且 2z x y?的最小值为 m ， 最大值为 n ，
4、 则 mn? ? A 15 B 16 C 17 D 18 9. 如图， ABCD 是边长为 2的正方形，点 FE, 分别为 CDBC, 的中点，将 ABE ， ECF , FDA 分别沿 FAEFAE , 折起，使 DCB , 三点重合于点 P ，若四面体 PAEF 的四个顶点在同一个球面上，则该球的表面积是 A. ?6 B. ?6 C. ?34 D. ?12 10. 若函数 的图象向右平移 个单位后的图象关于直线 对称，则实数 的值可以是 A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 11.若双曲线 )0,0(12222 ? babyax 的渐近线与圆 2)2( 22 ? yx 相离，则此双曲线的
5、离心率的取值范围是 A（ 2， +） B（ 1， 2） C ? ?2,1 D ? ?,2 12.函数 的图像大致为 A. B. C. D. 第卷 （ 90 分 ） 本卷包括必考题和选考题两部分第 (13) (21)题为必考题，每个试题考生都必须作答第 (22) (23)题为选考题，考生根据要求作答 二填空题（本大题共 4小题，每小题 5分，共 20 分） 13.已知 nS 为数列 ?na 的前 n 项和， 1 1a? ，当 2n? 时， 1 1nnSa? ? ，则 8a? 14己知 03a?，那么 aa ? 3 91 的最小值是 15.已知 ABC 的角 A ， B ， C 所对的边分别是 a
6、 ， b ， c ，且 2 2 2 23a b c ab? ? ? ，若 ABC的外接圆半径为 322，则 ABC 面积的最大值为 16 设函数 ()fx的定义域为 D，如果存在正实数 k ，使对任意 xD? ，都有 x k D? ，且( ) ( )f x k f x? 恒成立，则称函数 ()fx为 D上的“ k 型增函数”已知 ()fx是定义在 R上的奇函数，且当 0x? 时， ( ) | | 2f x x a a? ? ?，若 ()fx为 R上的“ 2011型增函数”，则实数a 的取值范围是 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17（本小题满分 12分）（本小题满分 12分
7、 17（本小题满分 12 分）已知向量 )1,(sin ? xm ，向量 )21,cos3( ? xn ，函数 mnmxf ? )()( . ( )求 f(x)单调递减区间； ( )已知 a， b， c分别为 ABC? 内角 A， B， C的对边， A为锐角， 32?a ， c=4，且 )(Af 恰是 f(x)在 ? 2,0?上的最大值，求 A,b，和 ABC? 的面积 S. 18（本小题满分 12分） 某公司计划购买 1台机器 ,该种机器使用三年后即被淘汰 .机器有一易损零件 ,在购进机器时 ,可以额外购买这 种零件作为备件 ,每个 200元 .在机器使用期间 ,如果备件不足再购买 ,则每个
8、500元 .现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件 ,为此搜集并整理了 100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数 ,得下面柱状图 : 记 x表示 1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数 ,y表示 1台机器在购买易损零件上所需的费用 (单位 :元 ),n表示购机的同时购买的易损零件数 . （） 若 n=19,求 y与 x的函数解析式 ; （） 若要求 “ 需更换的易损零件数不大于 n” 的频率不小于 0.5,求 n的最小值 ; （） 假设这 100台机器在购机的同时每台都 购买 19个易损零件 ,或每台都购买 20 个易损零件 ,分别计算这 100台机器在购买易损零件上所需费用的平均
9、数 ,以此作为决策依据 ,购买 1台机器的同时应购买 19 个还是 20个易损零件 ? 19.（本小题满分 12分） 在如 图所示的几何体中， AB 平面 ACD， DE 平面 ACD， ACD为等边三角形， AD DE 2AB，F 为 CD 的中点 (1)求证： AF 平面 BCE； (2)求证：平面 BCE 平面 CDE. 20 （本小题满分 12分） 已知函数 f(x)13ax3 bx2 cx(其中 a0) ，且 f ( 2) 0. （ 1）若 f(x)在 x 2处取得极小值 2，求 f(x)的单调区间； （ 2）令 F(x) f( x)，若 F( x)0的解集是 A，且 A (0,1)
10、 ( ， 1)，求ac的最大值 21（本小题满分 12分） 对于函数 ()fx，若存在实数 0x 满足 00()f x x? ，则称 0x 为函数 ()fx的一个不动点 已知函数 32( ) 3f x x ax bx? ? ? ?，其中 ,ab?R （）当 0a? 时， （）求 ()fx的极值点； （）若存在 0x 既是 ()fx的极值点，又是 ()fx的不动点，求 b 的值； （）若 ()fx有两个相异的极值点 1x ， 2x ，试问：是否存在 a ， b ，使得 1x ， 2x 均为 ()fx的不动点？证明 你的结论 请考生在第 22、 23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记
11、分。 22（本题满分 10分）选修 4 4：坐标与参数方程 在直角坐标系 中 ,直线 L的参数方程 (t为参数 ),在 O为极点 ,x轴非负半轴为为极轴的极坐标系中 ,曲线 C的极坐标方程为 . （ 1） 求直线 L的普通方程与曲线 C的直角坐标方程 ; （ 2） 若直线 L与 y轴的交点为 P,直线 L与曲线 C的交点为 A,B,求 |PA|PB|的值 . 23（本题满分 10分）选修 4 5：不等式选讲 已知函数 f(x) |x 1| 2|x a|， a0. （ 1） 当 a 1时，求不等式 f(x)1的解集； （ 2） 若 f(x)的图象与 x轴围成的三角形面积大于 6，求 a的取值范围
12、 . 高三下 4月月考试试题 数 学（文科）参考答案 1 5 BDDBD 6 10 BAABC 11 12 DC 13.128 14. 15.42 16 .20116a?17.解： ( ) 21c o ss in31s in)()( 2 ? xxxmnmxf 1 c os 2 3 11 si n 22 2 2x x? ? ? ?31si n 2 c os 2 222xx? ? ?sin(2 ) 26x ? ? ? 3分 )(653)(2326222 ZkkxkZkkxk ? ? 得由 所以 f(x)的单调递减区间为 )(65,3 Zkkk ? ? ? 5分 ( ) 由 (1)知： 2)62si
13、n ()( ? ?AAf ? 2,0?x时 , 65626 ? ? x 由正弦函数图象可知 ,当 262 ? ?x 时 f(x)取得最大值 3， 7分 所以 262 ? ?A , 3?A ? ? 8分 由余弦定理，2 2 2 2 cosa b c bc A? ? ?得 21421612 2 ? bb b10 分 ? 3260s in4221s in21 0 ? AbcS 。? 12分 18.【答案】 ( )当 x19 时 ,y=3 800; 当 x19时 ,y=3 800+500(x-19)=500x-5 700. 所以 y与 x的函数解析式为 y= (x N). ( )由柱状图知 ,需更换的
14、零件数不大于 18的频率为 0.46,不大于 19的频率为 0.7,故 n的最小值为 19. ( )若每台机器在购机同时都购买 19 个易损零件 ,则这 100台机器中有 70台在购买易损零件上的费用为 3 800,20台的费用为 4 300,10台的费用为 4 800,因此这 100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为 (3 80070 +4 30020 +4 80010)=4 000. 若每台机器在购机同时都购买 20 个易损零件 ,则这 100台机器中有 90台在购买易损零件上的费用为 4 000,10台的费用为 4 500,因此这 100台机器在购 买易损零件上所需费用的平均数为(
15、4 00090 +4 50010)=4 050. 比较两个平均数可知 ,购买 1台机器的同时应购买 19 个易损零件 . 【解析】本题考查柱状图、频数、平均数等知识 ,意在考查考生的数据处理能力、统计意识和应用意识 ,化归与转化能力 ,运算求解能力 .( )读懂题意与柱状图 ,即可用分段函数的形式表示 y与 x的函数解析式 ;( )读懂不小于即是大于或等于 ,并且把频率问题转化为频数问题 ,即可求出 n的最小值 ;( )分别求出 n=19与 n=20时 ,这 100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数 ,比较平 均数大小 ,即可得出结论 . 19.证明： (1)如图，取 CE 的中点 G，连
16、接 FG， BG. F为 CD的中点， GF DE，且 GF12DE. ?（ 2分） AB平面 ACD， DE平面 ACD， AB DE， GF AB. ?（ 4分） 又 AB12DE， GF AB. 四边形 GFAB为平行四边形，故 AF BG. AF?平面 BCE， BG?平面 BCE， AF平面 BCE. ?（ 6分） (2) ACD为等边三角形， F为 CD的中点， AF CD. DE平面 ACD， AF?平面 ACD， DE AF.又 CD DE D， AF平面 CDE. ?（ 8分） BG AF， BG平面 CDE. ?（ 10分） BG?平面 BCE，平面 BCE平面 CDE. ?（ 12分） 20 【
