1、1 高中（高中（理理科）数学选修科）数学选修部分部分常用公式常用公式（全国卷版）（全国卷版） 一一、常用逻辑用语常用逻辑用语 1四种命题： （1）原命题：若p则q（2）逆命题：若q则p （3）否命题：若p则q（4）逆否命题：若q则p （互为逆否关系的两个命题同真假：原命题与逆否命题，逆命题与否命题同真假） 2如果pq，那么p是q的充分条件，q是p的必要条件 注意： （1）小范围大范围，大范围小范围， （2） “p的充分不必要条件是q”“q是p的充分不必要条件” “qp，pq” 3复合命题pq、pq、p的真假性（p即命题的否定） ： （1）当p和q为一真一假时，pq为假，pq为真； （2）p和p
2、的真假性相反 4全称命题与特称命题. 若p：, ( )xM q x 成立，则p： 00 ,()xMq x成立 二二、圆锥曲线圆锥曲线 1椭圆 定义 动点M到两定点 12 ,F F的距离之和为2a（ 12 2FFa） ， 即： 12 2MFMFa， （ca） 图形 标准方程 22 22 1 xy ab (0)ab 22 22 1 yx ab (0)ab 范围axa ，byb bxb ，aya 长轴长2a 短轴长2b 焦点、 焦距(,0)c、2c(0,) c、2c 顶点(,0)a，(0,)b(,0)b，(0,)a 离心率 c e a （01e） 准线 2 a x c 2 a y c 焦半径 10
3、MFaex， 20 MFaex 10 MFaey， 20 MFaey 12 MFF 面积公式 1 2 2 tan 2 MF F Sb （其中 12 FMF ） 通径的长 2 2b a 2 2双曲线 定义 动点M到两定点 12 ,F F的距离之差的绝对值为2a（ 12 2FFa） 即： 12 2FFMMa（ca） 图形 标准方程 22 22 1 xy ab 22 22 1 yx ab 范围xa 或xa，yRx R，ya 或ya 实轴长2a 虚轴长2b 焦点、 焦距(,0)c、2c(0,) c、2c 顶点(,0)a(0,)a 渐近线 b yx a a yx b 离心率 c e a （1e ） 准线
4、 2 a x c 2 a y c 焦半径 10 FeMxa， 20 FeMxa 10 FeMya， 20 FeMya 12 MFF 面积公式 1 2 2 tan 2 MF F b S （其中 12 FMF ） 通径的长 2 2b a 小秘密小秘密焦点到渐近线的距离为b；双曲线上的点到两渐近线的距离之积为 2 ab c 注意：直线与圆锥曲线相交的弦长公式： （和韦达定理结合使用） 222 121212 11()4ABkxxkxxx x快速公式： 2 1ABk A 2 121212 22 11 11()4AByyyyy y kk 快速公式： 2 1 1AB k A （其中A是指消去y或x后得到一元
5、二次方程中的二次项系数） 3 3抛物线 定义 动点P到定点F的距离等于到定直线l的距离 即：PF PP ， （F到l的距离为p） 标准 方程 2 2ypx(0)p 2 2ypx (0)p 2 2xpy(0)p 2 2xpy (0)p 图形 范围0 x 0 x 0y 0y 对称轴x轴y轴 焦点 准线 (,0) 2 p (,0) 2 p (0,) 2 p (0,) 2 p 准线 方程 2 p x 2 p x 2 p y 2 p y 离心率1e 焦半径 0 2 p PFx 0 2 p PFx 0 2 p PFy 0 2 p PFy 焦点弦 公式 12 ()ABpxx 12 ()ABpxx 12 ()
6、ABpyy 12 ()ABpyy 焦点弦 的秘密 三个圆：以AB为直径的圆与准线相切；以AF、BF为直径的圆都与坐标轴相切. 角平分线：设M为准线与坐标轴的交点，则x轴（或y轴）是AMB的角平分线 1 cos p AF ， 1 cos p BF ， 2 2 sin p AB ， 2 2sin AOB p S ， 112 AFBFp （其中为直线AB的倾斜角） 三三、导数及其应用导数及其应用 1. 概念：)(xf在 0 x处的导数 （或变化率或微商） 0 00 0 00 ()() ()limlim x x xx f xxf xy fxy xx . 瞬时速度( )vs t.瞬时加速度( )av t
7、.（注意这个物理意义） 2. 函数)(xfy 在点 0 x处的导数是曲线)(xfy 在)(,( 00 xfxP处的切线的斜率 )( 0 x f ，相应的切线方程是 000 ()()()yf xfxxx. 3. 几种常见函数的导数 （1）0C（C为常数）.（2） 1 () nn xnx .（3）xxcos)(sin.（4）xxsin)(cos. （5） x x 1 )(ln； 1 (log) ln a x xa . （6） xx ee ) (；aaa xx ln)(. 最好记住这三条常用的公式最好记住这三条常用的公式： 2 11 ( ) xx 1 () 2 x x ( ln )1 lnxxx 4
8、. 导数的运算法则： （1）( )( )Cf xCfx（2） ( )( )( )( )f xg xfxg x （3） ( )( )( ) ( )( )( )f xg xfx g xf x g x（4） 2 ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( ) f xfx g xf x g x g xg x 4 5. 复合函数的求导法则：若)(g),(xuufy，则( )( ) x yf u g x 6. 函数的单调性：设函数)(xfy 在某个区间( , )a b可导，若( )0fx，则)(xfy 在 ( , )a b上单调递增；若( )0fx，则)(xfy 在( , )a b上单调递减 逆命题：
9、若( )f x在( , )a b上是增函数， 则( )0fx ；在( , )a b上是减函数， 则( )0fx . 7. 求函数)(xfy 极值的方法与步骤： （1）求导数( )fx； （2）求方程( )0fx的根； （3）画出x、( )fx、( )f x的分布表格，并判断极大值、极小值 四、四、推理与证明推理与证明 1. 推理 （1）合情推理：包含归纳推理（由特殊到一般的推理）和类比推理（由特殊到特殊的推理） . （2）演绎推理：三段论（大前提、小前提和结论） ，由一般到特殊的推理. （3）合情推理得到的结论不一定正确，需要证明. 演绎推理得到的结论一定正确（大前提和小前提正确的情况下）.
10、2. 证明 （1）直接证明：综合法（条件结论）与分析法（结论条件（恒成立） ） （2）间接证明：反证法（反设矛盾推翻反设） （3）数学归纳法： 证明当n取第一个值 0 n（ 0 n * N）时结论成立. 假设当nk（k * N，且 0 kn）时结论成立，证明当1nk时结论也成立. 由可知，对任意 0 nn，且n * N时，结论都成立. 五、计数原理五、计数原理 1. 排列数： ! (1)(2)(1) ()! m n n An nnnm nm 2. 组合数： (1)(2)(1)! !()! m n n nnnmn C mm nm 3. 组合数的性质： （1） mn m nn CC ； （2） 1
11、 1 mmm nnn CCC （3） 012 2 nn nnnn CCCC； 1350241 2n nnnnnn CCCCCC （4） 1 1 mm nn n CC m ； 1231 232 nn nnnn CCCnCn （5） 1 121 rrrrr rrrnn CCCCC ； 4. 二项式定理： 011 ()n nnrn rrnn nnnn abC aC abC abC b （1）展开式中的通项（第1r 项） ： 1 rn rr rn TC ab （2）二项式系数： r n C（1,2,rn） ， 若n为偶数，则展开式的中间一项 1 2 n T 的二项式系数最大； 若n为奇数，则展开式的中
12、间两项 1 2 n T 与 1 1 2 n T 的二项式系数最大； （3）二项式系数和与各项系数和 二项式系数和：2n各项系数和的计算方法：令()nab中的变量等于 1 例如： 4 1 (2) x 的二项式系数和为 4 216， 各项系数和为 44 1 (2)381 1 （令1x ） 5 六、概率六、概率 1. 古典概型与几何概型 （1）古典概型的概率( ) m P A n ，基本事件有限基本事件有限，每个基本事件出现的可能性相同. m表示事件A包含的基本事件数，n表示所有基本事件数. （2）几何概型的概率( ) A P A ，基本事件无限基本事件无限，每个基本事件出现的可能性相同. A 表示
13、事件A发生区域的几何度量，表示总区域的几何度量（如长度、面积、体积） 2. 互斥事件与对立事件 （1）概念理解：互斥事件AB ； 对立事件AB 且( )( ) 1P AP B. （2）关系：对立的两个事件一定互斥，互斥的两个事件不一定对立. （3）概率加法公式：若事件A与B互斥，则()( )( )P ABP AP B. 3. 相互独立事件,A B及其同时发生的概率：()( ) ( )P ABP A P B. 4. 条件概率：设A与B为两个事件，且( )0P A ，则 () (|) ( ) P AB P B A P A ， 其中(|)P B A表示事件A发生的条件下事件B发生的概率. 5. 离散
14、型随机变量及其分布列 （1）分布列性质：0 i p ， 12 1 1 n in i pppp . （2）随机变量X的数学期望（均值） ： 1122 1 n iinn i EXx px px px p . （3）随机变量X的方差： 2 1 () n ii i DXxEXp 222 1122 ()()() nn xEXpxEXpxEXp. （4）随机变量X的均值与方差的性质：()E aXbaEXb； 2 ()D aXba DX. （5）二项分布（独立重复实验） ：( , )XB n p，EXnp，(1)DXnpp 在n次试验中恰好成功k次的概率()(1) kkn k n P XkC pp ，0,1
15、,kn 注意：X表示试验成功的次数成功的次数 （6）超几何分布：在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品数，则 () kn k MN M n N C C P Xk C ，其中,nN MN 6. 正态分布： 2 ( ,)XN ，其中表示总体平均值，表示标准差 （1）正态总体函数 2 2 () 2 1 2 x f xe ，,x 在正态分布中，当0，1时，叫做标准正态分布，记作(0,1)XN. 函数 f x的图象关于x对称，( )0f x ， max 1 2 f x 函数 f x的图象与x轴围成的总面积为 1，()()0.5P XP X 越大，函数 f x的图象越“矮肥” ；越小，函数
16、 f x的图象越“高瘦” （2）几个重要的概率： ()0.6826PX (22 )0.9544PX (33 )0.9974PX 6 七、七、数系的扩充与复数的引入数系的扩充与复数的引入 1. 数系： * NNZQRC 2. 复数的概念：形如abi( ,)a bR的数叫做复数，其中i叫做虚数单位， 2 1i ， a与b分别叫做复数abi的实部和虚部. 3. 复数abicdi的充要条件是ac且bd. 特例0abi0ab. 4. 对于复数abi，当0b 时，它是实数；当0a 且0b 时，它是纯虚数. 5. 复数的模：向量OZ 的模，叫做复数zabi的模，即zabi 22 ab. 6. 复数所在象限的
17、确定：zabi对应点( , )a b，判断点( , )a b所在的象限. 7. 共轭复数：zabi的共轭复数为zabi. 8. 复数加、减法法则：(abi)(cdi)=()()acbd i. 9. 复数乘、除法法则：(abi)(cdi)=()()acbdbcad i. abi cdi 22 ()()()() ()() abi cdiacbdbcad i cdi cdicd . 八、八、统计统计案例案例 1. 回归直线方程为 ybxa用最小二乘法求得的线性回归方程系数公式： 11 2 22 11 ()() () nn iiii ii nn ii ii xxyyx ynxy baybx xxxnx
18、 =，（ ybxa必过样本中心点 , x y） 2. 残差公式： iii eyy；衡量模型拟合效果的一个指标：相关指数 2 2 1 2 1 ) 1 ) n ii i n i i yy R yy ( ( 残差平方和 2 1 ) n ii i yy ( 越小， 2 R（ 2 01R）越接近于 1，回归效果越好. 2 R与r的区别： 2 R为相关指数，r为相关系数，0r 时为负相关，0r 时为正相关， 11r ，r越接近于 1，变量间的相关性就越强. 3. 独立性检验的解题步骤： （1）写出列联表； （2）据公式代数求解 2 K的值； （3）根据观测值 2 K查表，如果 2 0 Kk，就推断两变量有
19、关系，犯错误概率不超过P（即 有1P的把握推断两变量有关系） ； 否则就认为在犯错误的概率不超过P的前提下不能推 断两变量有关系 2 2 () , ()()()() n adbc Knabcd ab cd ac bd ，（上表中的概率P是指犯错误犯错误 的概率的概率） P(K2k0)0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001 k00.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828 7 九、九、坐标系坐标系与参数方程选讲与参数方程选讲 1. 极坐标系的公式： 222 cos ,sin ,tan(0)
20、 y xyxyx x . （表示极点O和曲线上的点的连线与极轴的正方向所成的角） 2. 参数方程： （1）圆 222 ()()xaybr的参数方程： cos sin xar ybr （为参数） ； （表示圆心和曲线上的点的连线与x轴的正方向所成的角） （2）椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的参数方程： cos sin xa yb （为参数） ； *（3）抛物线 2 2ypx的参数方程： 2 2 2 xpt ypt （t为参数） ； *（4）双曲线 22 22 1 xy ab 的参数方程： sec tan xa yb （为参数）.（ 1 sec cos ） ； （5）直线 00 t
21、an()yyxx的参数方程： 0 0 cos sin xxt yyt （t为参数）. （t表示点 00 ,P xy到直线l上的任意一点( , )M x y的有向距离） 圆心和曲线上的点的连线与x轴的正方向所成的角） 3. 空间直角坐标系：已知向量a = 111 ( ,)x y z，b = 222 (,)xyz （1）空间向量的平行与垂直：ab 111 222 xyz xyz （ 222 ,0 xyz ） a b a b0 12121 2 0 x xy yz z （2） 空间向量的模、 距离公式：a = 222 111 ,xyz 222 212121 ()()()ABxxyyzz （3）点( ,
22、 , )x y z关于x轴对称的点为( ,)xyz，关于y轴对称的点为(, ,)x yz 关于z轴对称的点为(, )xy z，关于原点(0,0)对称的点为(,)xyz 关于平面xOy对称的点为( , ,)x yz， 关于平面yOz对称的点为(, , )x y z， 关于平面xOz对称的点为( , )xy z， 十、空间的角与空间的距离（向量法十、空间的角与空间的距离（向量法） ： 设直线a与b的方向向量分别为, a b，平面与的法向量分别为 12 ,n n （1）异面直线a与b所成的角：则cos a b ab ，(0, 2 （2）直线a与平面所成的角： 1 1 1 sincos, a n a
23、n an ，0, 2 （3）二面角l 的平面角： 12 12 cos n n nn ，0, 注意：二面角的平面角需要根据实际图形，判断“锐角”还是“钝角” （4）点P到平面的距离： 1 1 PA d n n ，其中A 8 十一、补充公式与定理十一、补充公式与定理 1. 斜率k、比率、离心率e， 2 1 1 1 ek （焦点在x轴上的所有圆锥曲线都成立，若焦点在y轴，则改为 2 11 1 1 e k ） 2. 斜率 12 k k为定值的两个定理： 椭圆 22 22 10 xy ab ab 上的关于原点对称的两定点为,A B，点M是椭圆上的动点， 直线PQ交椭圆于,P Q两点，点N是PQ的中点，则
24、 2 2 MAMB b kk a ， 2 2 PQON b kk a ； 双曲线 22 22 10,0 xy ab ab 关于原点对称的两定点为,A B，点M是双曲线上的动点， 直线PQ交双曲线于,P Q两点，点N是PQ的中点，则 2 2 MAMB b kk a ， 2 2 PQON b kk a . （以上两个定理若把椭圆和双曲线的焦点改在（以上两个定理若把椭圆和双曲线的焦点改在y轴上轴上，则则, a b的位置互换的位置互换） 3. 神奇的置换缔造完美的切线（适用于圆和圆锥曲线） （1）曲线上任意一点 11 ,P x y的切线方程为： 将原曲线方程按照以下方式“ 2 1 xx x， 2 1
25、yy y， 2 1 xaxaxa， 2 1 ybybyb， 1 2 xx x ， 1 2 yy y ”置换得到. （2）过曲线外任意一点 00 ,P xy引曲线的两条切线，切点A,B所在的直线方程为： 将原曲线方程按照以下方式“ 2 0 xx x， 2 0 yy y， 2 0 xaxaxa， 2 0 ybybyb， 0 2 xx x ， 0 2 yy y ”置换得到. 4. 求点A关于直线0 xym（0 xym）的对称点 A 可以用“x,y交叉置换法” 快速求解. 例如求3,2A关于30 xy的对称点 00 ,A xy， 把30 xy进行交 叉置换 0 0 3 3 xy yx ，3,2A代入即可求得 00 ,A xy为1,6A . （注意（注意：当对称轴的斜率当对称轴的斜率1k 时才可以用此绝技时才可以用此绝技，否则只能用传统的解方程组的方法否则只能用传统的解方程组的方法）. 5. 复杂的导数问题常考“整体法” ，关键是要想到整体函数 g x，常见的 g x有 g xxf xgxxfxf x ； 2 f xxfxf x g xgx xx ； 22 22g xf xxgxx fxxf xx xfxf x ； xx g xe f xgxefxf x ； xx f xfxf x g xgx ee .
