1、 1 西藏自治区拉萨市 2017届高三数学第六次月考试题 理 （满分 150分，考试时间 120分钟，请将答案填写在答题卡上） 第 I卷（选择题） 一、 选择题：本大题共 12 小题。每小 题 5 分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1已知集合 ? ? ? ?2| 4 3 0 , 2 , 3 , 4A x x x B? ? ? ? ?，则 AB? （ ） A ?2 B ? ?2,3 C ?3 D ? ?2,3,4 2若 43zi? ，则|zz?（ ） A 1 B 1? C 4355i? D 4355i? 3甲、乙、丙三 名 同学中只有一人考了满分，当他们被问到谁考了满分，回
2、答如下：甲说：是我考满分；乙说：丙不是满分；丙说：乙说的是真话 事实证明：在这三名同学中，只有一人 说的是假话，那么满分的同学是（ ） A甲 B乙 C丙 D不确定 4某几何体的 三视图如图所示（单位： cm ），则该几何体的体积是（ ） A 8 3cm B 12 3cm C 323 3cm D 403 3cm 5已知各项都为正的等差数列 ?na 中， 若 23415a a a? ? ? ，若 12a? ，3 4a? ， 6 16a? 成等比数列，则 10a ? （ ） A 19 B 20 C 21 D 22 6.某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为 40 秒，若一名行人来
3、到该路口遇到红灯，则等待的时间不超过 15秒就出现绿灯的概率为（ ） 2 A 710 B 58 C 38 D 310 7执行如图所示的程序框图，输出 S 的值为（ ） A 0 B -1 C 12? D 32? 8若 x ， y 满足2 0,3,0,xyxyx?则 2xy? 的最大值为（ ） A 0 B 3 C 4 D 5 9 设 ? xdxa sin ，则 6)1( xxa ? 的展开式中常数项是（ ） A -160 B 160 C -20 D 20 10直三棱柱 1 1 1ABC ABC? 中，若 90BAC? ? ? ， 1AB AC AA?，则异面直线 1BA 与 1AC 所成的角等于（
4、 ） A 30? B 45? C 60? D 90? 11 已知 A， B 为双曲线 E 的左，右顶点，点 M 在 E 上， ABM 为等腰三角形，且顶角为 120，则E 的离心率为 （ ） A. 2 B. 2 C. 3 D. 5 12已知定义在 R 上的函数 ?fx满足：当 0x? 时，函数 ?fx为增函数， ? ?20f ?；函数? ?1fx? 的图象关于点 ? ?1,0? 对称，则不等式 ? ? 0fxx ? 的解集为 （ ） A ? ? ? ?, 2 0, 2? ? B ? ? ? ?2, 0 2,? ? C ? ?2,2? D ? ? ? ?, 2 2,? ? ? 第 II卷（非选择
5、题） ? 0 3 二 、 填空题：共 4小题，每小题 5分 . 13 某地区有大型商场 x 个，中型商场 y 个，小型商场 z 个， : : 2 : 4 : 9x y z ? ，为了掌握该地区商场的营业情况，采用分层 抽样的方法抽取一 个容量为 45 的样本，则抽取的中型商场的个数为 14 已知非零向量 ,ab的夹角为 60，且 1, 1a a b? ? ? ，则 2ab?_ 15 我国南北朝时代的数学家祖暅提出体积的计算原理（祖暅原理）：“幂势既同，则积不容异”“势”即是高， “幂”是面积意思是：如果两等高的几 何体在同高处截得两几何体的截面积恒等，那么这两个几何体的体积相等，类比祖暅原理，
6、如图所示，在平面直角坐标系中，图 1是一个形状不规则的封闭图形，图 2是一个矩形， 且当实数 t取 0， 4上的任意值时，直线 y=t被图 1 和图 2所截得的线段长始终相等，则图 1的面积为 . 16 已知在 ABC? 中， 90ACB?， 8,6 ? ACBC ， P 是线段 AB 上的点，则 P 到 ,ACBC 的距离的乘积的最大值为 _. 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17（本小题满分 12 分） 已知函数 )0,0)(c o s ()s i n (3)( ? ? xxxf 为偶函数，且函数 (xfy? 的图像的两个相邻对称轴间的距离为 2? . （ 1）求 )8
7、(?f 的值； （ 2）将函数 )(xfy? 的图像向右平移 6? 个单位后，再将所得图像上各点的横坐标伸长到原来的 4倍，纵坐标不变，得到函数 )(xgy? 的图象，求 )(xgy? 的 单调递减区间 . 18（本小题满分 12 分） 一个口袋中装有大小形状完全相同的 3?n 个乒乓球，其中 1 个乒乓球上标有数字 1， 2 个乒乓球上标有数字 2，其余 n 个乒乓球上均标有数字 3 )( ?Nn ，若从这个口袋中随机地摸出 2 个乒乓球，恰有一个乒乓球上标有数字 2的概率是 158 . 4 （ 1）求 n 的值； （ 2） 从口袋中随机地摸出 2 个乒乓球，设 表示所摸到的 2个乒乓球上所
8、标数字之和，求 的分布列和数学期望 . 19（本小题满分 12 分） 如图，在正方体 1 1 1 1ABCD A B C D? 中， E 是 1AA 的中点 . （ 1）求证： 1 /AC 平面 BDE ； （ 2） 求证：平面 1AAC? 平面 BDE ； （ 3） 求直线 BE与平面 1AAC 所成角的正弦值 . 20（ 本小题满分 12 分） 已知函数 21( ) ( ) ln2f x a x x? ? ?（ aR? ） （）当 1a? 时，求 ()fx在区间 ? ?1,e 上的最大值和最小值； （ 2）若在区间 (1, )? 上，函数 ()fx的图象恒在直线 2y ax? 下方，求 a
9、 的取值范围 21（本小题满分 12 分） 已知椭圆 ? ?221 10xyC a bab? ? ? ?：离心率为 63，焦距为 22，抛物线 ? ?22 : 2 0C x py p?的焦点 F 是椭圆 1C 的顶点 . （）求 1C 与 2C 的标准方程； （）设过点 F 的直线 l 交 2C 于 ,PQ两点，若 1C 的右顶点 A 在以 PQ 为直径的圆内，求直线 l 的5 斜率的取值范围 . 请考生在第 22、 23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分 22（本小题满分 10 分） 选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中，曲线 1C 的参数方程为 3 cos
10、sinxy ? ?（ ? 为参数），以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 2C 的极坐标方程为 sin( ) 2 24? （）写出 1C 的普通方程和 2C 的直角坐标方程； （）设点 P 在 1C 上，点 Q 在 2C 上，求 |PQ 的最小值及此时 P 的直角坐标 23（本小题满分 10 分） 选修 4-5：不等式选讲 已知函数 xxxf ? 31)( ， 1?x （）求不等式 6)( ?xf 的解集； （）若 )(xf 的最 小值为 n ，正数 a ， b 满足 banab 22 ? ，求 ba?2 的最小值 . 6 拉萨中学第六次月考理科数学答案 选择题 BDB
11、CAC ACACAD 填空题 12 7 8 12 解答题 7 19. （ 1）设 AC BD O? ， E 、 O 分别是 1AA 、 AC 的中点， ? 1AC EO 又 1AC? 平面 BDE ， EO? 平面 BDE ， ? 1AC 平面 BDE 4分 （ 2） 1AA? 平面 ABCD ， BD? 平面 ABCD ， 1AA BD? 5分 又 BD AC? ， 1AC AA A? ， ? BD? 平面 1AAC 7分 BD? 平面 BDE ， ?平面 BDE? 平面 1AAC 8分 （ 3）由（ 2）可知直线 BE 与平面 1AAC 所成角是 BEO 9分 设正方体棱长为 a,在 Rt
12、 BOE中， aBEaEO25,22 ?11分 510sin ?BEO，即直线 BE与平面 1AAC 所成角的正弦值 为51012分 20.（ 1）当 1a? 时， 21( ) ln2f x x x?， 211( ) xf x xxx? ? ?； 8 对于 ? ?1,xe? ，有 ( ) 0fx? ， 所以 ()fx在区间 ? ?1,e 上为增函数， 所以 2m a x( ) ( ) 1 2ef x f e? ? ?，m in 1( ) (1) 2f x f? （ 2）令 21( ) ( ) 2 ( ) 2 l n2g x f x a x a x a x x? ? ? ? ? ?，则 ()gx
13、的定义域为 (0, )? 在区间 (1, )? 上，函数 ()fx的图象恒在直线 2y ax? 下方的等价于 ( ) 0gx? 在区间 (1, )? 上恒成立 1( ) ( 2 1) 2g x a x a x? ? ? ? ? ?2 ( 1 ) ( 2 1 ) 1( 2 1 ) 2 1 x a x xa x a xxx? ? ? ? ?， 若 12a? ，令 ( ) 0gx? ，得极值点 1 1x? ，2 121x a? ?， 当 211xx?，即 1 12 a?时，在 2( , )x ? 上 有 ( ) 0gx? ， 此时 ()gx在区间 2( , )x ? 上是增函数，并且在该区间上有 2
14、( ) ( ( ), )g x g x? ?，不合题意； 当 211xx?，即 1a? 时，同理可知， ()gx在区间 (1, )? 上是增函数，有 ( ) ( (1), )g x g? ?，不合题意； 若 12a? ，则有 2 1 0a? ，此时在区间 (1, )? 上恒有 ( ) 0gx? ， 从而 ()gx在区间 (1, )? 上是减函数； 要使 ( ) 0gx? 在此区间上恒成立，只需满足 1(1) 02ga? ? ? ?，即 12a? ， 由此求得 a 的范围是 11,22? 综合可知，当 11,22a ?时，函数 ()fx的图象恒在直线 2y ax? 下方 21.解析： （ ）设椭
15、圆 1C 的焦距为 2c ，依题意有 2 2 2c? ， 63ca?，解得 3a? ， 1b? ，故椭圆 1C 的标准方程为 22131xy?，又抛物线 ? ?22 : 2 0C x py p?开口向上，故 F 是椭圆的 1C 上顶点，9 ? ?0,1F ， 2p? 故抛物线 2C 的标准方程为 2 4xy? . （ ）由题意可设直线的方程为： 1y kx?，设点 ? ?11,Px y ， ? ?22,Qx y ，联立214y kxxy? ? 得2 4 4 0x kx? ? ? ，由韦达定理得 124x x k? ， 12 4xx? . A 在以 PQ 为直径的圆内 ? ?1 2 1 2 1
16、20 3 3 0A P A Q x x x x y y? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 221 2 1 2 1 21 6 1 6 3 4 8 0x x x x x x? ? ? ? ? ? 6 4 1 6 3 4 4 8 1 6 0 0kk? ? ? ? ? ? ? ? 22.解析：（ 1） 1C 的普通方程为 2 2 13x y?， 2C 的直角坐标方程为 40xy? ? ? . （ 2）由题意，可设点 P 的直角坐标为 ( 3 cos ,sin )?，因为 2C 是直线，所以 |PQ 的最小值即为P 到 2C 的距离 ()d? 的最小值， | 3 c o s s i n 4 | ( ) 2 | s i n ( ) 2 |32d ? ? ? ?. 当且仅当 2 ()6kk? ? ? ? Z时， ()d? 取得最小值，最小值为 2 ，此时 P 的直角坐标为 31( , )22 . 10
