1、2024学年九年级中考数学专题复习：一次函数与二元一次方程（组）综合解答题 刷题练习题汇编姓名：_班级：_考号：_1如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，并与直线相交于点C(1)求点C的坐标；(2)如图2，点D在点C右侧的x轴上，过点D作x轴的垂线与直线交于点E，与直线交于点F，且求点E的坐标；若点M是射线上的动点，连接，并在左侧作等腰直角，当顶点P恰好落在直线上时，求出对应的点M的坐标2阅读并解决下面问题：定义：把函数中自变量作为横坐标，函数值作为纵坐标，我们把坐标叫做函数的函数坐标；反过来，把坐标中的横坐标看做自变量，纵坐标看作因变量，得到函数，我们把函数叫做坐标
2、的坐标函数(1)坐标是函数 的函数坐标；（填函数表达式）(2)已知，两点在同一直角坐标系中，则线段的最短距离是 ；(3)如图，已知直线与两坐标轴分别交于，两点，与直线交于点，是直线上的动点，点横坐标为，过点作轴的平行线，交直线于点，且，求点的坐标；(4)在（3）的条件下，点在的内部（不包括边界），则t的取值范围是 3如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点C，与直线：交于点A，且，轴于点D，直线与y轴交于E点，点F为线段中点(1)求点A的坐标；(2)已知动点G在x轴上，动点H在直线上，当四边形周长最小时，连，请求出此时的面积；(3)在第（2）问的条件下，将绕D点逆时针旋转后得到，再沿着x轴
3、平移得到（如图2），在直线上是否存在点P，使得以H，P为顶点的三角形为以为斜边的等腰直角三角形，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由4已知直线：平行于直线，且过点(1)求直线的解析式；(2)在如图的坐标系中，画出直线和：的图象，并根据图象直接写出方程组的解；(3)若直线与x轴的交点为B，直线和的交点为C，以为边作，在第一象限是否存在点P，使得的面积为面积的2倍？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由5如图，在平面直角坐标系中，直线：与x轴交于点，与y轴交于点B，与直线：交于点C，点D为线段上一点，过点D作轴交直线于点E(1)求直线的函数表达式和点C的坐标；(2)在
4、y轴上是否存在点F，使得是等腰直角三角形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由6如图1，在平面直角坐标系中，直线的图象分别交，轴于，两点，直线的图象分别交，轴于，两点，且两条直线相交于点，已知点的坐标为(1)_，点的坐标为_；(2)若点为轴正半轴上一点，且的面积为20，请求出点的坐标；(3)如图2，直线过点且垂直于轴，点是直线上的一个动点，连接，是否存在点使得？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由7如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，直线与x轴交于点，与相交于点(1)求直线的函数表达式；(2)如图2，一动直线轴分别与直线，交于P，Q两点，l与y轴交于点M若，求M的
5、坐标若，求出此时点Q的坐标8定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标等于它的横坐标的三倍，则称该点为“纵三倍点”例如都是“纵三倍点”(1)下列函数图象上只有一个“纵三倍点”的是_；（填序号）；(2)已知抛物线（均为常数）与直线只有一个交点，且该交点是“纵三倍点”，求抛物线的解析式；(3)若抛物线（是常数，）的图象上有且只有一个“纵三倍点”，令，是否存在一个常数，使得当时，的最小值恰好等于，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由9如图，所示在平面直角坐标系中，直线与y轴分别交于点、(1)如图(a)所示，以为斜边在第一象限内作等腰直角三角形，点为直角顶点连接，求点的坐标(2)如图(a)所示，若
6、点M为的中点，点N为的中点，求的值(3)如图(b)所示，将线段绕点B顺时针旋转至，且，直线交直线于点，求点的坐标10已知一次函数(1)无论k为何值，函数图象必过定点，求该定点的坐标；(2)如图1，当时，一次函数的图象交x轴，y轴于A、B两点，点Q是直线：上一点，若，求Q点的坐标；(3)如图2，在（2）的条件下，直线：交AB于点P，C点在x轴负半轴上，且，动点M的坐标为，求的最小值11如图，在平面直角坐标系中，已知直线：经过，动点在直线：上，直线和交于点，设点的横坐标为，(1)求的值和点的坐标(2)过点作轴的平行线交直线于点，当以、为顶点的四边形为平行四边形时，求的值；(3)过点作轴的垂线交轴于
7、点，以为边向右作正方形，当正方形的顶点或落在直线上时，直接写出的值12如图，在平面直角坐标系中，点A，B均在x轴上，点C在第一象限，直线AC与y轴交于点D，且直线AC上所有点的坐标都是二元一次方程的解，直线BC上所有点的坐标都是二元一次方程的解(1)求点C的坐标时，小聪是这样想的：先设点C的坐标为，因为点C在直线AC上，所以是方程的解；又因为点C在直线BC上，所以是方程的解，从而m，n满足据此可求出点C的坐标为_，再求出点A的坐标为_，点B的坐标为 ；(2)求四边形BODC的面积；(3)点是线段BC上一点，若点E的纵坐标，则点E的横坐标x的取值范围是 ；(4)在y轴上是否存在点P，使三角形AC
8、P的面积等于三角形ABC面积的倍？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由13如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点；直线：交轴于点，与直线交于点，且(1)求直线：的解析式；(2)求的面积，当时，直接写出自变量的取值范围；(3)若点在此平面直角坐标系中，点在轴上，以为边，点为顶点作四边形，请直接写出此四边形为菱形时点的坐标14如图，已知直线：和直线：相交于点，直线与轴相交于点，与轴相交于点(1)求点的坐标；(2)点在直线上，在直线上是否存在点，使以点、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合条件的点的坐标：若不存在，请说明理由(3)直线：经过一定点，与轴相交于点，若直
9、线把的面积分成两部分，求定点的坐标和的值15如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线交于点P点C为直线与x轴的交点(1)求点P的坐标；(2)点是线段上的一个动点（点不与点，重合），过点作平行于轴的直线，分别交直线，于点，点，设点的横坐标为：求线段的长（用含的代数式表示）；当点，三点中有一个点是另两个点构成线段的中点，请求出的值；(3)过点作轴于点，点在射线上且不与点重合，点在射线上，连结，是否存在最小值？如果存在，请直接写出最小值；如果不存在，请说明理由第 9 页 共 44 页答案：1解题过程：（1）解：联立，解得：，点C的坐标为；（2）解：设点E的坐
10、标为，则点F的坐标为，解得：，点E的坐标为；当时，把代入得：，为等腰直角三角形，点P与点O重合，点B与点M重合，点M坐标为；当时，过点M作于点G，过点P作于点H，如图所示：设点M的坐标为，则，点D的横坐标为4，点P的横坐标为：，纵坐标为：，即，把代入得：，解得：，不符合题意舍去；当时，过点M作直线轴，交直线于点K，过点P作直线轴，交直线l于点Q，如图所示：则四边形是矩形，同理可证，点P的纵坐标为，横坐标为，即，把点代入得：，解得：，符合题意，点M的坐标为：；综上所述，点M的坐标为或2 解题过程：（1）解：根据定义可得坐标是函数的函数坐标；（2）解：，点在直线上，点在直线上，如图，直线经过点，直
11、线经过点，则，直线与直线的距离为线段的长度，即线段的最短距离为线段的长度，在中，；（3）解：由题意得：，解得：或1，当时，当时，综上所述，点的坐标为或；（4）解：如图，由（2）知：点是直线上的动点，由题意得，解得：，在中，令，得，解得：，点在的内部（不包括边界），解得：3解题过程：（1）解：将代入，解得：，直线的解析式为，联立，解得：，；（2）解：依题意，直线与轴交于点，点为线段中点令中，解得，则，,，则，如图所示，分别作关于，的对称点，设交轴于点，连接，则，,，此时四边形周长为最小，设直线的解析式为，解得：，令，解得：，当四边形周长最小时，；（3）解：由（1）知，将绕点逆时针旋转后得到，则，
12、如图所示，过点作轴于点，则，沿着轴平移得到，的纵坐标为,即点在直线上运动，设，由直线的解析式为，设点，为顶点的三角形为以为斜边的等腰直角三角形，解得：或，的坐标为或4 解题过程：（1）解：直线平行于，将点代入，得，解得，一次函数解析式：；（2）画出直线：和：的图象，如图：由图象可知，方程组的解为；（3）在第一象限存在点P，使得的面积为面积的2倍，如图：由可得，设，当C为直角顶点时，的面积为面积的2倍，（），（），由（）（）可解得或，P在第一象限，； 当B为直角顶点时，同理可得 ，解得或，（舍去），综上所述，P的坐标为或5解题过程：（1）解：直线：与x轴交于点，解得，直线的函数表达式为， 令，得
13、，；（2）解：设，则，； 当点D为直角顶点时，如图，点F在的位置，是以点D为直角顶点的等腰直角三角形，即，解得，； 当点E为直角顶点时，如图，点F在的位置图是以点E为直角顶点的等腰直角三角形，即，解得，； 当点F为直角顶点时，如图，点F在的位置图过点D作轴于点M，过点E作轴于点N，过点作于点H，则，又，即，解得，此时，综上可知，在y轴上存在点F，使得是等腰直角三角形，点F的坐标为或或6解题过程：（1）解：将点的坐标为代入，得，解得：，联立两条直线解析式得，解得：，故答案为：3，；（2）解：令，则，设，解得：或，点为轴正半轴上一点，点的坐标为；（3）解：存在，点F的坐标为或，如图，过点E作，垂足
14、为M，轴，当时，则，当时，则，综上，点F的坐标为或7解题过程：（1）解：把代入得：，设直线的函数解析式为：，把，代入得：，解得：，直线的解析式为：（2）解：设直线l的解析式为，此时点，的坐标分别为：，则，解得：或，当时，；当时，；综上分析可知，点M的坐标为或；设直线和轴交于点，则点，过点作直线，交轴于点，则此时，设直线m的解析式为，把点代入得：，解得：，直线的表达式为，则点，在点下方取点使，则点，设过点T，平行于的直线t的解析式为，联立，解得：，点，在点上方取点使，则点，设过点R，平行于的直线r的解析式为，联立，解得：，则点，综上，点坐标为：，8解题过程：（1）解：联立，解得：，一次函数的图象
15、上的“纵三倍点”为，故符合题意；联立，即，解得：故不合题意；联立，解得：，二次函数的图象上只有一个“纵三倍点”，故正确；综上分析可知，正确的是故答案为：（2）解：解得：依题意经过，则联立抛物线（均为常数）与直线只有一个交点，联立得解得：抛物线解析式为；（3）解：联立即依题意，当时，的最小值为1，当时，的最小值恰好等于，9 解题过程：（1）解：作轴于，轴于点E，如图：，四边形是矩形，四边形是正方形，；与x轴，轴分别交于点、令得，令得，；， ，（2）解：是线段的中点，而， ，则；（3）延长，相交于，如图：由旋转知，点是的中点，直线经过，设解析式为，解得，直线的解析式为，直线交直线于点，联立得，解得
16、，10解题过程：（1）解：整理得不论k取何值时，上式都成立当，即时，无论k为何值，函数图象必过定点；（2）当时，一次函数为，当时，；当时，；点A坐标为；点B坐标为；点Q在直线：上，设点Q坐标为；如图，当点Q位于AB右侧时，根据题意得解得点Q坐标为；如图，当点Q位于AB左侧时，此时，过点Q作轴，交于点，则点的纵坐标为，由，得，解得，Q恰好位于x轴上，此时Q坐标为；综上所述：若，Q点的坐标为或；（3）由（2）可得直线AB：，联立得，解得点C在x轴的负半轴，设则，解得点C的坐标为动点M的坐标为点M在直线上点C关于直线对称的点F的坐标为，连接，则，则为的最小值；作轴，垂足为G，在中，的最小值为11解题
17、过程：（1）直线：经过，解得：于是直线的解析式是：直线和交于点，联立方程组求解得：，因此点B的坐标为（2）分两种情况讨论：第一种情况，点P位于点Q的右侧，如下图点P的横坐标为m，点P在直线上，点P的纵坐标当2四边形构成平行四边形，点Q的纵坐标也为点Q在直线上，即点Q的横坐标为（平行四边形的对边相等），因的长度也等于点P的横坐标减去点Q的横坐标，求得第二种情况，点P位于点Q的左侧，如下图前面步骤与第一种情况完全相仿，不同的是的长度为点Q的横坐标减去点P的横坐标：，求得：综合两种情况可知：m的值为或（3）由已知条件知，点M、N均在x轴上，点C、P分别在与上分两种情况讨论：第一种情况，顶点C落在直线
18、上，如下图点P的坐标为，点M的横坐标为m，点C的纵坐标为，点C的直线上，解得：即：点C的横坐标为于是点N的横坐标也为，解得：第二种情况， 顶点N落在直线上，如下图因点N在x轴上， 与直线的交点为即点N的横坐标为2所以又，解得：综合上面两种情况知，m的值为或0【点睛】本题考查了一次函数的性质与几何图形的综合，解题的关键是善于综合运用相关知识点12 解题过程：（1），满足，点，点在轴上，又在直线上，令，则，同理，令，则，；故答案为：，；（2）直线AC与y轴交于点D，点，连接OC，即（3）点是线段BC上一点，点E是线段BC上一点且，故答案为：；（4）存在， 设点，如下图，点P在直线AC上方时，则有，
19、解得；点P在直线AC下方时，则有，解得；符合条件的点P存在，其坐标为或13解题过程：（1）解：在中，令，则，将代入，得，解得：，直线的解析式为：；（2）解：联立，解得，由图象可得：当时，；（3）解：如图，当点在点左侧时，对应菱形，菱形，在菱形中，则，在菱形中，则，如图，当点在点右侧时，对应菱形，此时，则，综上所述，以为边，点为顶点作四边形是菱形时，的坐标为或或14解题过程：（1）解：由题意可得：，解得：，；（2）如图，点在直线上，C在直线上，设，当时，则，当为对角线时，解得：，；当为对角线时，如图，同理可得：，解得：，则；当为对角线时，如图，同理可得：，解得：，；综上：C的坐标为：或或（3）直
20、线：经过一定点，与轴相交于点，当时，定点坐标为：，如图，而，当时，而，当时，记与的交点为H，设，过作轴于M，直线把的面积分成两部分，或，或，或，或，把代入可得：，解得：；把代入可得：，解得：；综上：定点坐标为：，m为或15解题过程：（1）解：由直线与直线交于点，联立，解得，点的坐标为；（2）轴，点、的横坐标相等，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，；若点是线段的中点，点是的中点，即，解得，；若点时线段的中点，点时线段的中点，即，解得；综上所述，或；（3）存在最小值，在上取点，使得，连接，由直线与直线，得，点的坐标为，轴，是线段的垂直平分线，轴，轴，轴，得当最小，即点、三点共线时，取最小值，的最小值为第 33 页 共 44 页
