1、 1 2016-2017 学年江西省赣中南五校联考高三（下）期中数学试卷 一、填空题（每空 5分，共 20 分） 1已知平面向量 的夹角为 120 ，且 ，若 ，则 n= 2某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 3在平面直角坐标系 xOy中，直线 l1： kx y+2=0与 直线 l2： x+ky 2=0相交于点 P，则当实数 k变化时，点 P到直线 x y 4=0的距离的最大值为 4如图的矩形，长为 5，宽为 2，在矩形内随机地撒 300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为 138颗，则我们可以估计出阴影部分的面积为 二、选择题（每题 5分，共 60 分 .） 5集合 A=x N|0
2、 x 4的真子集个数为（ ） A 3 B 4 C 7 D 8 6已知集合 A=x|x2+5x 0， B=x| 3 x 4，则 A B等于（ ） A（ 5， 0） B（ 3， 0） C（ 0， 4） D（ 5， 4） 7设函数 f（ x）是 R上的奇函数， f（ x+ ） = f（ x），当 0 x 时， f（ x） =cosx 1，则 2 x 2 时， f（ x）的图象与 x轴所围成图形的面积为（ ） A 4 8 B 2 4 C 2 D 3 6 8定义在 R上的函数 y=f（ x）为减函数，且函数 y=f（ x 1）的图象关于点（ 1， 0）对称，若 f（ x2 2x） +f（ 2b b2）
3、0，且 0 x 2，则 x b的取值范围是（ ） A 2， 0 B 2， 2 C 0， 2 D 0， 4 2 9如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ） A 12 B 18 C 24 D 30 10已知三棱柱 ABC A1B1C1 的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为 ， AB=2， AC=1， BAC=60 ，则此球的表面积是（ ） A 2 B 4 C 8 D 10 11在平面直角坐标系中，点 A（ 1， 2）， B（ 3， 1）到直线 l 的距离分别为 1 和 2，则符合条件的直线条数有（ ） A 3 B 2 C 4 D
4、 1 12直线 l与直线 y=1和 x y 7=0分别交于 P、 Q两点，线段 PQ的中点坐标为（ 1， 1），那么直线 l的斜率是（ ） A B C D 13已知函数 f（ x）是定义在 R上的奇函数，当 x 0时， f（ x） =ex（ x+1），给出下列命题： 当 x 0时， f（ x） = e x（ x 1）； 函数 f（ x）有 2个零点； f（ x） 0的解集为（ ， 1） （ 0， 1）， ? x1， x2 R，都有 |f（ x1） f（ x2） | 2其中正确命题的个数是（ ） A 4 B 3 C 2 D 1 14抛物线 C： y2=2px（ p 0）的焦点为 F， A是 C上
5、一点，若 A到 F的距离是 A到 y轴距离的两倍，且三角形 OAF 的面积为 1（ O为坐标原点），则 p的值为（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 15李冶，真定栾城（今属河北石家庄市）人，金元时期的数学家、诗人、晚年在封龙山隐居讲学，数学著作多部，其中益古演段主要研究平面图形问题：求圆的直径，正方形的边长等，其中一问：现有正方形方田一块，内部有一个圆形水池，其中水池的边缘与方田四3 边之间的面积为 13.75 亩，若方田的四边到水池的最近距离均为二十步，则圆池直径和方田的边长分别是（注： 240平方步为 1亩，圆周率按 3近似计算）（ ） A 10步、 50步 B 20步、 60步 C
6、30步、 70 步 D 40步、 80步 16已知函数 关于 x的方程 2f（ x） 2+（ 1 2m） f（ x） m=0，有 5不同的实数解，则 m的取值范围是（ ） A B（ 0， + ） C D 三、综合题（本大题共 5小题，共 70分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .） 17设 Sn为数列 an的前 n项和，且 Sn=2an n+1（ n N*）， bn=an+1 （ 1）求数列 bn的通项公式； （ 2）求数列 nbn的前 n项和 Tn 18中央电视台为了解该卫视朗读者节目的收视情况，抽查东西两部各 5 个城市，得到观看该节目的人数（单位：千人）如下茎叶图所示其中一个数
7、字被污损， （ 1）求东部各城市观看该节目观众平均人数超过西部各城市观看该节目观众平均人数的概率 （ 2）随着节目的播出，极大激发了观众对朗读以及经典的阅读学习积累的热情，从中获益匪浅，现从观看节目的观众中随机统计了 4位观众的周均阅 读学习经典知识的时间（单位：小时）与年龄（单位：岁），并制作了对照表（如表所示）： 年龄 x岁 20 30 40 50 周均学习成语知识时间 y（小时） 2.5 3 4 4.5 由表中数据，试求线性回归方程 y=bx+a，并预测年龄为 50 岁观众周均学习阅读经典知识的时间 19在三棱锥 S ABC 中，三条棱 SA、 SB、 SC两两互相垂直，且 SA=SB=
8、SC=a， M是边 BC的4 中点 （ 1）求异面直线 SM与 AC所成的角的大小； （ 2）设 SA 与平面 ABC所成的 角为 ，二面角 S BC A的大小为 ，分别求 cos ， cos的值 20在平面直角坐标，直线 l： y= x 3经过椭圆 E： （ a b 0）的一个焦点，且点（ 0， b）到直线 l 的距离为 2 （ 1）求椭圆 E的方程； （ 2） A、 B、 C是椭圆上的三个动点 A与 B关于原点对称，且 |AC|=|CB|问 ABC的面积是否存在最小值？若存在，求此时点 C的坐标； 若不存在，说明理由 21已知函数 f（ x） =lnx ， a R （ 1）若 x=2是函数
9、 f（ x）的极值点，求曲线 y=f（ x）在点（ 1， f（ 1）处的切线方程； （ 2）若函数 f（ x）在（ 0， + ）上为单调增函数，求 a的取值范围 四、解答题（共 1小题，满分 10分） 22已知复数 z1=m+（ 4 m2） i（ m R）， z2=2cos +（ +3sin ） i（ R），若 z1=z2，求 的取值范围 五、解答题（共 1小题，满分 0分） 23设函数 f（ x） =|2x a|， （ ）若 a=4，求 f（ x） x的解集； （ ）若 f（ x+1） |2 a|对 ? x （ 0， + ）恒成立，求实数 a的取值范围 5 2016-2017 学年江西省赣中
10、南五校联考高三（下）期中数学试卷 参考答案与试题解析 一、填空题（每空 5分，共 20 分） 1已知平面向量 的夹角为 120 ，且 ，若 ，则 n= 1 【考点】 9R： 平面向量数量积的运算 【分析】 根据平面向量数量积的定义，利用两向量垂直，数量积为 0列出方程求解即可 【解答】 解：平面向量 的夹角为 120 ， 且 ， ? =2 4 cos120= 4； 又 ， （ n + ） ? =0， n + =0， 即 22?n 4=0， 解得 n=1 故答案为： 1 2某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 【考点】 L!：由三视图求面积、体积 【分析】 几何体的直观图是四面体，求出
11、每个面的面积，即可得出结论 【解答】 解：几何体的直观图是四面体，每个面的面积分别为 6 +2 2+ + = ， 故答案为 3在平面直角坐标系 xOy中，直线 l1： kx y+2=0与直线 l2： x+ky 2=0相交于点 P，则当实数 k变化时，点 P到直线 x y 4=0的距离的最大值为 3 【考点】 IT：点到直线的距离公式 【分析】 直线 l1： kx y+2=0与直线 l2： x+ky 2=0的斜率乘积 =k = 1，（ k=0 时，两条直线也相互垂直），并且两条直线 分别经过定点： M（ 0， 2）， N（ 2， 0）可得点 M 到直线 x y 4=0的距离 d 为最大值 【解答
12、】 解： 直线 l1： kx y+2=0与直线 l2： x+ky 2=0的斜率乘积 =k = 1，（ k=0时，两条直线也相互垂直），并且两条直线分别经过定点： M（ 0， 2）， N（ 2， 0） 两条直线的交点在以 MN为直径的圆上并且 kMN= 1，可得 MN与直线 x y 4=0垂直 点 M到直线 x y 4=0的距离 d= =3 为最大值 故答案为： 3 4如图的矩形，长为 5，宽为 2，在矩形内随机地撒 300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为 138颗，则我们可以估计出阴影部分的面积为 【考点】 CF：几何概型 【分析】 先由黄豆试验估计，黄豆落在阴影部分的概率，再转化为几何概型
13、的面积类型求解 【 解答】 解：根据题意：黄豆落在阴影部分的概率是 矩形的面积为 10，设阴影部分的面积为 s 7 则有 s= 故答案为： 二、选择题（每题 5分，共 60 分 .） 5集合 A=x N|0 x 4的真子集个数为（ ） A 3 B 4 C 7 D 8 【考点】 16：子集与真子集 【分析】 先求出集 合的元素的个数，再代入 2n 1求出即可 【解答】 解： 集合 A=x N|0 x 4=1， 2， 3， 真子集的个数是： 23 1=7个， 故选： C 6已知集合 A=x|x2+5x 0， B=x| 3 x 4，则 A B等于（ ） A（ 5， 0） B（ 3， 0） C（ 0，
14、 4） D（ 5， 4） 【考点】 1E：交集及其运算 【分析】 求出关于 A的解集，从而求出 A与 B的交集 【解答】 解： A=x|x2+5x 0=x|x 5或 x 0， B=x| 3 x 4， A B=x|0 x 4， 故选： C 7设函数 f（ x）是 R上的奇函数， f（ x+ ） = f（ x），当 0 x 时， f（ x） =cosx 1，则 2 x 2 时， f（ x）的图象与 x轴所围成图形的面积为（ ） A 4 8 B 2 4 C 2 D 3 6 【考点】 6G：定积分在求面积中的应用 【分析】 根据函数的奇偶性得到函数的周期是 2 ，分别求出函数的解析式，利用积分的应用即可得到结论 【解答】 解：由 f（ x+ ） = f（ x）得 f（ x+2 ） =f（ x）， 8 即函数的周期是 2 ， 若 x 0，则 0 x ， 即 f（ x） =cos（ x） 1=cosx 1， f（ x）是 R上的奇函数， f（ x） =cosx 1= f（ x）， 即 f（ x） =1 cosx， x 0， 函数的周期是 2 ， 当 x 2 时， x 2 0， 即 f（ x） =f（ x 2 ） =1 cos（ x 2 ） =1 cosx， 当 x 时， x 0， 即 f（ x） = f（ x ）
