1、 1 2016-2017 学年陕西省延安市黄陵 县 高三（下）期中数学试卷（理科） 一、选择题（本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分） 1下列命题中，真命题是（ ） A ? x0 R， 0 B ? x R， 2x x2 C a+b=0的充要条件是 = 1 D a 1， b 1是 ab 1的充分条件 2已知集合 A= 1， 2， B=x Z|0 x 2，则 A B等于（ ） A 0 B 2 C 0， 1， 2 D ? 3设函数 f（ x） = cos（ 2x+ ） +sin（ 2x+ ）（ | | ），且图象关于直线 x=0对称，则（ ） A y=f（ x）的最小正周期为 ，且在 上为增
2、函数 B y=f（ x）的最小正周期为 ，且在 上为减函数 C y=f（ x）的最小正周期为 ，且在 上为增函数 D y=f（ x）的最小正周期为 ，且在 上为减函数 4欧拉公式 eix=cosx+isinx（ i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占用非常重要的地位，被誉为 “ 数学中的天桥 ” ，根据欧拉公式可知， e 表示的复数在复平面中位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 5已知 为单位向量，且 与 垂直，则 的夹角为（ ） A 30 B 60 C 120 D 150 6已知函数
3、 f（ x） =loga（ x+4） 1（ a 0且 a 1） 的图象恒过定点 A，若直线（ m， n 0）也经过点 A，则 3m+n的最小值为（ ） A 16 B 8 C 12 D 14 7设随机变量 B（ 2， p）， B（ 3， p），若 P（ 1） = ，则 P（ 2）的值为（ ） 2 A B C D 8某企业有 4 个分厂，新培训了一批 6名技术人员，将这 6名技术人员分配到各分厂，要求每个分厂至少 1人，则不同的分配方案种数为（ ） A 1080 B 480 C 1560 D 300 9设 F1， F2 分别为椭圆 的左右两个焦点，点 P 为椭圆上任意一点，则使得成立的 P点的个数
4、为（ ） A 0 B 1 C 2 D 3 10一个化肥厂生产甲 、乙两种混合肥料，生产 1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐 4吨，硝酸盐 18吨；生产 1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐 1吨，硝酸盐 15 吨现库存磷酸盐 10 吨，硝酸盐 66 吨，在此基础上生产这两种混合肥料如果生产 1车皮甲种肥料产生的利润为 12 000元，生产 1车皮乙种肥料产生的利润为 7 000元，那么可产生的最大利润是（ ） A 29 000元 B 31 000元 C 38 000元 D 45 000元 11已知 ， 是非零向量，它们之间有如下一种运算： ? =| | |sin ， ，其中 ， 表示 ， 的夹角
5、给出下列命题： ? = ? ； （ ? ） =（ ） ? ； （ + ） ? = ? + ? ； ? ? =| | |； 若 =（ x1， y1）， =（ x2， y2），则 ? =|x1y2 x2y1| 其中真命题的个数是（ ） A 2 B 3 C 4 D 5 12如图所示，点 P从点 A处出发，按逆时针方向沿边长为 a的正三角形 ABC 运动一周， O为 ABC 的中心，设点 P 走过的路程为 x， OAP 的面积为 f（ x）（当 A、 O、 P 三点共线时，记面积为 0），则函数 f（ x）的图象大致为（ ） 3 A B C D 二、填空题（本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分）
6、 13执行如图所示的程序框图，若输入 p=5， q=6，则输出 a的值为 14在 ABC中， sinA= ， =6，则 ABC的面积为 15用 mina， b， c表示 a， b， c三个数中的最小值设 f（ x） =min2x， x+2， 10 x（ x0），则 f（ x）的最大值为 16将全体正整数 ai， j从左向右排成一个直角三角形数阵： 按照以上排列的规律，若定义 ，则 log2 = 4 三、解答题（本大题共 5小题，共 60分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤） 17 Sn为等差数列 an的前 n项和，且 a1=1， S7=28记 bn=lgan，其中 x表示不超过 x的最大整
7、数，如 0.9=0， lg99=1 （ ）求 b1， b11， b101； （ ）求数列 bn的前 1 000项和 18已知 m 0，向量 =（ m， 3m），向量 =（ m+1， 6），集合 A=x|（ x m2）（ x+m 2） =0 （ 1）判断 “ ” 是 “ | |= ” 的什么条件 （ 2）设命题 p：若 ，则 m= 19，命题 q：若集合 A 的子集个数 为 2，则 m=1，判断 p q， p q， q的真假，并说明理由 19设函数 f（ x0） =aexlnx+ ，曲线 y=f（ x）在点（ 1， f（ 1）处的切线为 y=e（ x 1）+2 （ ）求 a， b； （ ）证明：
8、 f（ x） 1 20某营养师要求为某个儿童预订午餐和晚餐已知一个单位的午餐含 12 个单位的碳水化合物， 6个单位的蛋白质和 6个单位的维生素 C；一个单位的晚餐含 8个单位的碳水化合物，6 个单位的蛋白质和 10 个单位的维生素 C另外，该儿童这两餐需要的营状中至少 含 64个单位的碳水化合物和 42个单位的蛋白质和 54个单位的维生素 C如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是 2.5元和 4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？ 5 21已知函数 f（ x） =xlnx x2 x+a（ a R）在其定义域内有两个不同的极值点 （ ）求 a的
9、取值范围； （ ）记两个极值点分别为 x1， x2，且 x1 x2已知 0，若不等式 e1+ x1?x2 恒成立，求 的范围 （本小题满分 10） 选修 4-5：不等式选讲 22设函数 f（ x） =|x+ |+|x a|（ a 0） （ ）证明： f（ x） 2； （ ）若 f（ 3） 5，求 a的取值范围 选修 4-4：坐标系与参数方程（共 1小题，满分 0分） 23已知曲线 C： + =1，直线 l： （ t为参数） （ ）写出曲线 C的参数方程，直线 l的普通方程 （ ）过曲线 C上任意一点 P作与 l夹角为 30 的直线，交 l于点 A，求 |PA|的最大值与最小值 6 2016-2
10、017 学年陕西省延安市黄陵中学高新部高三（下）期中数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分） 1下列命题中，真命题是（ ） A ? x0 R， 0 B ? x R， 2x x2 C a+b=0的充要条件是 = 1 D a 1， b 1是 ab 1的充分条件 【考点】 2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断； 2H：全称命题； 2I：特称命题； 2K：命题的真假判断与应用 【分析】 利用指数函数的单调性判断 A的正误； 通过特例判断，全称命题判断 B的正误； 通过充要条件判断 C、 D的正误； 【解答】 解：因为 y=ex 0， x R恒
11、成立，所以 A不正确； 因为 x= 5时 2 5 （ 5） 2，所以 ? x R， 2x x2不成立 a=b=0时 a+b=0，但是 没有意义，所以 C不正确； a 1， b 1是 ab 1的充分条件，显然正确 故选 D 2已知集合 A= 1， 2， B=x Z|0 x 2，则 A B等于（ ） A 0 B 2 C 0， 1， 2 D ? 【考点】 1E：交集及其运算 【分析】 集合 A和集合 B的公共元素构成集合 A B，由此利用集合 A= 1， 2， B=x Z|0 x 2=0， 1， 2，能求出 A B 【解答】 解： 集合 A= 1， 2， B=x Z|0 x 2=0， 1， 2， A
12、 B=2 故选 B 7 3设函数 f（ x） = cos（ 2x+ ） +sin（ 2x+ ）（ | | ），且图象关于直线 x=0对称，则（ ） A y=f（ x）的最小正周期为 ，且在 上为增函数 B y=f（ x）的最小正周期为 ，且在 上为减函数 C y=f（ x）的最小正周期为 ，且在 上为增函数 D y=f（ x）的最小正周期为 ，且在 上为减函数 【考点】 GQ：两角和与差的正弦函数 【分析】 将函数解析式提取 2，利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的余弦函数，找出 的值，代入周期公式，求出函数的最小正周期，再由函数图象关于直线 x=0 对称，将 x=0
13、代入函数解析式中的角度中，并令结果等于 k （ k Z），再由 的范围，求出 的度数，代入确定出函数解 析式，利用余弦函数的单调递减区间确定出函数的得到递减区间为 k ， k + （ k Z），可得出（ 0， ） ?k ， k + （ k Z），即可得到函数在（ 0， ）上为减函数，进而得到正确的选项 【解答】 解： f（ x） = cos（ 2x+ ） +sin（ 2x+ ） =2 cos（ 2x+ ） + sin（ 2x+ ） =2cos（ 2x+ ）， =2 ， T= = ， 又函数图象关于直线 x=0对称， =k （ k Z），即 =k + （ k Z）， 又 | | ， = ， f（
14、 x） =2cos2x， 令 2k 2x 2k + （ k Z），解得： k x k + （ k Z）， 8 函数的递减区间为 k ， k + （ k Z）， 又（ 0， ） ?k ， k + （ k Z）， 函数在（ 0， ）上为减函数， 则 y=f（ x）的最小正周期为 ，且在（ 0， ）上为减函数 故选 B 4欧拉公式 eix=cosx+isinx（ i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占用非常重要的地位，被誉为 “ 数学中的天桥 ” ，根据欧拉公式可知， e 表示的复数在复平面中位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【考点】 A4：复数的代数表示法及其几何意义 【分析】 e =cos +isin ，化简即可得出 【解答】 解： e =cos +isin = i，此复数在复平面中对应的点位于位于第二象限， 故选： B 5已知 为单位向量，且 与 垂直，则 的夹角为（ ） A 30 B 60 C 120 D 150 【考点】 9S：数量积表示两个向量的夹角 【分析】 根据平面向量的数量积与夹角公式，即可求出对应的结果 【解答】 解：设 与 的夹角为 ， 由 为单位向量，且 与 垂直， 则 ?（ +2 ） = +2 ? =12+2 1 1×
