1、 18.2.318.2.3正方形正方形 -最美四边形最美四边形 正方形正方形是矩形是矩形吗吗？正方形正方形是菱形是菱形吗？吗？平行四边形平行四边形矩矩形形菱菱形形正正方方形形正方形、菱形、矩形、平行四边形四者之间有正方形、菱形、矩形、平行四边形四者之间有什么关系？什么关系？边边对角线对角线对边平行对边平行四边相等四边相等对角线相等对角线相等 互相垂直平分互相垂直平分每条对角线平分一组对角每条对角线平分一组对角四个角都是直角四个角都是直角角角:正方形性质正方形性质讨论讨论1：正方形的边、角、对角线各具有那些性质正方形的边、角、对角线各具有那些性质?讨论讨论2：正方形是轴对称图形吗正方形是轴对称图
2、形吗?它有几条对称轴？它有几条对称轴？讨论讨论3：正方形是中心对称图形吗正方形是中心对称图形吗?A AB BC CD DO O正方形性质正方形性质边边角角对角线对角线对称性对称性图图形形语语言言 文文字字语语言言 符符号号语语言言ACDBACDBACDBO对边平行，对边平行，四条四条边都边都相等相等 四四 个个 角角 都是直角都是直角对角线互相垂直对角线互相垂直平分且相等，每平分且相等，每条对角线平分一条对角线平分一组对角组对角四边形四边形ABCD是正方形是正方形ABCD ADBC,AB=BC=CD=AD四边形四边形ABCD是正方形是正方形A=B=C=D=90四边形四边形ABCD是正方形是正方
3、形ACBD,AC=BD,OA=OB=OC=OD,1=2=3=4=5=6=7=8既是轴对称图形既是轴对称图形 又是中心对称图形又是中心对称图形123456781.正方形具有而矩形不一定具有的性质是（正方形具有而矩形不一定具有的性质是（）A、四个角相等、四个角相等.B、对角线互相垂直平分、对角线互相垂直平分.C、对角互补、对角互补.D、对角线相等、对角线相等.2.正方形具有而菱形不一定具有的性质（正方形具有而菱形不一定具有的性质（）A、四条边相等、四条边相等.B、对角线互相垂直平分、对角线互相垂直平分.C、对角线平分一组对角、对角线平分一组对角.D、对角线相等、对角线相等.BD【自检诊学自检诊学】
4、3.3.已知：正方形已知：正方形ABCDABCD对角线对角线ACAC、BDBD相交于点相交于点O O，且，且ABAB2cm2cm，则，则AC=AC=正方形的面正方形的面积积S=_.S=_.OBDAC4.4.已知：在正方形已知：在正方形ABCDABCD中，对角线中，对角线ACAC、BDBD相交于点相交于点O O，且，且ACAC6 cm6 cm，面积面积S=S=_.则边长则边长ABAB_,cm26cm6cm24cm236cm 求证求证:正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形的等腰直角三角形.这是一道文字证明题这是一道文字证明题,该怎么做
5、该怎么做?你会做吗你会做吗?第一步第一步:根据题意画出图形根据题意画出图形第二步第二步:写出已知、求证写出已知、求证第三步：进行证明第三步：进行证明ADCBO 已知已知:如图如图,四边形四边形ABCD是正方形是正方形,对对 角线角线AC、BD相交于点相交于点O.求证求证:ABO、BCO、CDO、DAO是全等的等腰直角三角形是全等的等腰直角三角形.证明证明:四边形四边形ABCD是正方形是正方形,AC=BD,ACBD,AO=BO=CO=DO.ABO、BCO、CDO、DAO都都是等腰直角三角形是等腰直角三角形,并且并且 ABO BCO CDO DAO分析分析:利用正方形的性质利用正方形的性质,对角线
6、互相垂直平分且相对角线互相垂直平分且相等等,每条对角线平分一组对角每条对角线平分一组对角.平分平分可以产生可以产生线段等量线段等量关系关系,垂直垂直可以产生可以产生直角直角,于是可以得到四个全等的等于是可以得到四个全等的等腰直角三角形腰直角三角形.ADCBO 正方形对角线把正方形分成多少个等腰直角三角形？正方形对角线把正方形分成多少个等腰直角三角形？拓展讨论拓展讨论:结论：结论：分成八个等腰直角三角形，分别是分成八个等腰直角三角形，分别是ABC、ADC、ABD、BCD；AOB、BOC、COD、DOA.如图，点如图，点E是正方形是正方形ABCD内的一点，且内的一点，且AE=EB=AB，求，求CD
7、E的度数的度数。证明：证明：四边形四边形ABCD是正方形，是正方形，AB=AD ，BAD=ADC=90 AE=EB=AB，ABE是是 等边等边 三角形，三角形，BAE=60 ，DAE=BAD-BAE=30 AE=AB，AB=AD，AE=AD 。ADE=AED=75，CDE=ADC-ADE=15 分析分析:利用正方形四条边都利用正方形四条边都相等相等，四个角都是，四个角都是直角直角的性质的性质,可以证得可以证得ABE是是等边三角形，等边三角形，ADE是是等腰三角形等腰三角形，求出相关角的度数，求出相关角的度数，从而算出从而算出CDE的度数的度数已知：如图，点已知：如图，点E是正方形是正方形ABC
8、D的边的边CD上一点，上一点，点点F是是CB的延长线上一点，且的延长线上一点，且DE=BF求证：求证：EAAF（1）正方形是怎样的平行四边形？）正方形是怎样的平行四边形？有一组邻边相等，且有有一组邻边相等，且有一个角是直角的一个角是直角的平行四边形；平行四边形；知识再现：知识再现：对边平行对边平行 边边 四边相等四边相等 四个角都是直角四个角都是直角 角角正方形正方形 对角线相等对角线相等 互相垂直互相垂直 互相平分互相平分 对角线对角线 平分一组对角平分一组对角 已知：如图，正方形已知：如图，正方形ABCD中，对角线的交点为中，对角线的交点为O，E是是OB上上的一点，的一点，DGAE于于G，
9、DG交交OA于于F求证：求证：OE=OF证明：证明：四边形四边形ABCD是正方形，是正方形，AOE=DOF=90，AO=DO （正正方形的两条对角线互相垂直平分且相方形的两条对角线互相垂直平分且相等等 ）又又 DGAE，EAO+AEO=FDO +AEO =90 EAO=FDO AEO DFO （ASA）OE=OF分 析：要 证 明分 析：要 证 明 O E=O FO E=O F，只 需 证 明只 需 证 明AEOAEODFODFO，利用正方形的，利用正方形的对角线互对角线互相垂直平分且相等相垂直平分且相等的性质，可以得到的性质，可以得到AOE=DOF=90AOE=DOF=90，AO=DOAO=DO，再由同角或，再由同角或等角的余角相等可以得到等角的余角相等可以得到EAO=FDOEAO=FDO，根据根据ASAASA可以得到这两个三角形全等，故可以得到这两个三角形全等，故结论可得结论可得
