1、 微专题 64 利用空间向量解立体几何问题 一、基础知识 （一）刻画直线与平面方向的向量 1、直线：用直线的方向向量刻画直线的方向问题，而方向向量可由直线上的两个点来确定 例如：2,4,6 ,3,0,2AB，则直线AB的方向向量为1, 4, 4AB 2、平面：用平面的法向量来刻画平面的倾斜程度，何为法向量？与平面垂直的直线称为平 面的法线，法线的方向向量就是平面的法向量，如何求出指定平面的法向量呢？ （1）所需条件：平面上的两条不平行的直线 （2）求法： （先设再求）设平面的法向量为, ,nx y z，若平面上所选两条直线的方向向 量分别为 111222 ,ax y zbxy z，则可列出方程
2、组： 111 222 0 0 xyz xy xyz xyz z 解出, ,x y z的比值即可 例如：1,2,0 ,2,1,3ab，求, a b所在平面的法向量 解：设, ,nx y z，则有 20 230 xy xyz ，解得： 2xy zy :2:1:1x y z 2,1,1n （二）空间向量可解决的立体几何问题（用, a b表示直线, a b的方向向量，用,m n表示平面 , 的法向量） 1、判定类 （1）线面平行：aba b （2）线面垂直：abab （3）面面平行：m n （4）面面垂直：mn 2、计算类： （1）两直线所成角：coscos, a b a b a b （2）线面角：c
3、os,sin a m a m a m （3）二面角：coscos, m n m n m n 或coscos, m n m n m n （视平面角与法向 量夹角关系而定） （4）点到平面距离：设A为平面外一点，P为平面上任意一点，则A到平面的距离 为 A AP n d n ，即AP在法向量n上投影的绝对值。 （三）点的存在性问题：在立体几何解答题中，最后一问往往涉及点的存在性问题，即是否 在某条线上存在一点，使之满足某个条件，本讲主要介绍使用空间向量解决该问题时的方法 与技巧 1、理念：先设再求先设再求先设出所求点的坐标, ,x y z，再想办法利用条件求出坐标 2、解题关键：减少变量数量减少变
4、量数量, ,x y z可表示空间中的任一点，但题目中所求点往往是确 定在某条线或者某个平面上的， 所以使用三个变量比较 “浪费” （变量多， 条件少， 无法求解） ， 要考虑减少变量的个数，最终所使用变量的个数可根据如下条件判断： （1）直线（一维）上的点：用一个变量就可以表示出所求点的坐标 （2）平面（二维）上的点：用两个变量可以表示所求点坐标 规律：维度维度= =所用变量个数所用变量个数 3、如何减少变量： （1）直线上的点（重点） ：平面向量共线定理若,a bR 使得ab 例：已知1,3,4 ,0,2,1AP，那么直线AP上的某点, ,M x y z坐标可用一个变量表示， 方法如下：1,
5、3,4 ,1, 1, 3AMxyzAP 三点中取两点构成两个向量 因为M在AP上，所以AMAPAMAP 共线定理的应用（关键） 11 33 4343 xx yy zz ，即1,3,43M仅用一个变量表示 （2）平面上的点：平面向量基本定理若, a b不共线，则平面上任意一个向量c，均存在 ,R ，使得：cab 例：已知1,3,4 ,0,2,1 ,2,4,0APQ，则平面APQ上的某点, ,M x y z坐标可用两个变 量 表 示 ， 方 法 如 下 ：1,3,4 ,1, 1, 3 ,2,2, 1AMxyzAPPQ ， 故 AMAPPQ，即 1212 3232 4343 xx yy zz 二、典
6、型例题 例 1： （2010 天津）在长方体 1111 ABCDABC D中，,E F分别是棱 1 ,BC CC上的点， 2CFABCE， 1 :1:2:4AB AD AA （1）求异面直线 1 ,EF AD所成角的余弦值 （2）证明：AF 平面 1 AED （3）求二面角 1 AEDF正弦值 解：由长方体 1111 ABCDABC D得： 1, ,AA AB AD两两垂直 以 1, ,AA AB AD为轴建立空间直角坐标系 （1） 1 3 1,0 ,1,2,1 ,0,0,4 ,0,2,0 2 EFAD 1 1 0,1 ,0,2, 4 2 EFAD 1 1 1 33 cos, 55 20 4
7、EF AD EF AD EFAD 3 cos 5 （2）1,2,1AF ，设平面 1 AED的法向量为, ,nx y z 1 1 0,2, 4 ,1,0 2 ADDE 240 :1:2:1 1 0 2 yz x y z xy 1,2,1n AF n AF平面 1 AED B1 C1 B C D A D1 A1 E F （3）设平面EDF的法向量, ,mx y z 1 1,0 ,1,0,1 2 DEDF 1 0 :1:2:12 0 xy x y z xz 1,2, 1m 1,2,1n 42 cos, 63 m n m n m n 5 sin 3 例 2： 如图， 在四棱锥PABCD中， 底面AB
8、CD是矩形，PA 平面ABCD，4PAAD， 2AB ，若MN分别为棱,PD PC上的点，O为AC中点，且22ACOMON （1）求证：平面ABM 平面PCD （2）求直线CD与平面ACM所成角的正弦值 （3）求点N到平面ACM的距离 解：PA平面ABCD ,PAAB PAAD 矩形ABCD ABAD 故,PA AB AD两两垂直 以,PA AB AD为轴建立空间直角坐标系 0,0,4 ,2,0,0 ,2,4,0 ,0,4,0 ,1,2,0PBCDO 22ACOMON，且,OM ON分别为 ,AMCANC的中线 ,ANPC AMPD 设点, ,M x y z，因为,P M D三点共线 PMPD
9、 而, ,4 ,0,4, 4PMx y zPD 0,4 , 4PD 0 4 44 x y z 0,4 ,44M 而0AMPDAM PD 1 164 440 2 0,2,2M O A D B C P M N O A D B C P M N 同理，设点, ,N x y z，因为,P N C三点共线 PNPC 而, ,4 ,2,4, 4PNx y zPC 2 ,4 , 4PD 2 4 44 x y z 2 ,4 ,44N 而0ANPCAN PC 4 4 +164 440 9 8 16 20 , 9 99 N （1）设平面ABM的法向量为 1 , ,nx y z 2,0,0 ,0,2,2ABAM 1
10、20 0,1, 1 220 x n yz 设平面PCD的法向量为 2 , ,nx y z 2,4, 4 ,2,0,0PCDC 2 2440 0,1,1 20 xyz n x 12 0n n 12 nn 平面ABM 平面PCD （2）设平面ACM的法向量为, ,n x y z 2,4,0 ,0,2,2ACAM 240 2, 1,1 220 xy n yz 而2,0,0CD 设直线CD与平面ACM所成角为，则 46 sincos, 326 CD n CD n CDn （3） 81620 21 10 999 6 276 NACM AN n d n 平面 例 3：已知在四棱锥PABCD中，底面ABCD
11、是矩形，且2,1,ADABPA平面 ABCD，,E F分别是线段,AB BC的中点 （1）求证：PFFD （2）在线段PA上是否存在点G，使得EG平面 PFD，若存在，确定点G的位置；若不存在，请说明 理由 （3）若PB与平面ABCD所成的角为45，求二面角 APDF的余弦值 解：因为PA 平面ABCD，且四边形ABCD是矩形 以,PA AD AB为轴建立空间直角坐标系，设 PAh 1 0,0,1,0,0 ,0,2,0 ,1,2,0 ,1,1,0 ,0,0 2 PhBDCFE （1）1,1,1,1,0PFhFD 0PFFD PFFD （2）设0,0,Ga 1 , 0, 2 E Ga 设平面PF
12、D的法向量为, ,nx y z 1, 1,1, 1, 0PFhFD 0 0 2 xh xyzh yh xy z , 2nh h EG平面PFD EGn 1 20 2 EG nha 解得 1 4 ah 存在点G，为AP的四等分点（靠近A） （3）PA 底面ABCD PB在底面ABCD的投影为BA PBA为PB与平面ABCD所成的角，即45PBA PBA为等腰直角三角形 1APAB即1h 平面PFD的法向量为1,1,2n F E A D B C P 平面APD为yOz平面，所以平面APD的法向量为0,1,0m 设二面角APDF的平面角为，可知为锐角 16 coscos, 66 m n 例4：四棱锥
13、PA B C D中，平面PAB 平面A B C D， ,90 ,3,ADBCABCPAPB1,2,3,BCABADO是AB中点 （1）求证：CD平面POC （2）求二面角CPDO的平面角的余弦值 （3） 在侧棱PC上是否存在点M， 使得BM平面POD， 若存在，求出 CM PC 的值；若不存在，请说明理由 解：过O在平面ABCD作AB的垂线交CD于Q ,PAPB O为AB中点 POAB 平面PAB 平面ABCD PO平面ABCD ,POOB POOQ OQAB 以,PO OB OQ为轴建立空间直角坐标系 22 2 2POPAOA 0,0,2 2 ,1,0,0 ,1,0,0 ,1,1,0 ,1,
14、3,0PBACD （1）2,2,0CD 设平面POC的法向量为, ,nx y z 0,0,2 2 ,1,1,0OPOC 0 2 20 00 OP n z xyOC n 1, 1, 0n CDn CD平面POC （2）设平面PCD的法向量为 1 , ,nx y z O A D B C P 1,1, 2 2 ,2,2,0PCCD 1 1 0 2 20 2200 PC n xyz xyCD n 1 2 ,2 , 1n 设平面PDO的法向量为 2 , ,nx y z 0,0,2 2 ,1,3,0OPOD 2 2 0 2 20 300 OP n z xyOD n 2 3, 1, 0n 12 12 12
15、4 cos, 5 n n n n nn 所以二面角CPDO的平面角的余弦值为 4 5 （3）设, ,M x y z CMCP 1,1,1, 1,2 2CMxyzCP 1 11,1,2 2 2 2 x yM z ,1,2 2BM 而平面PDO的法向量为 2 3,1,0n BM平面POD 2 0310BMn 1 4 1 4 CM PC 例 5：已知四棱锥PABCD中，PA 平面ABCD，底面ABCD是边长为a的菱形， 120BAD，PAb （1）求证：平面PBD 平面PAC （2）设AC与BD交于点O，M为OC中点，若二面角 OPMD的正切值是2 6，求:a b的值 建系思路一：由PA与底面垂直，
16、从而以PA作为z轴，以AB为x轴，由120的菱形性质可 得取CD中点T，连结AT则有ATAB，从而建立空间直角坐标 系 解：取CD中点T，连结AT，可得ATCD ABAT PA 平面ABCD T A B D C O A D B C P M 以,PA AB AT为轴建立空间直角坐标系 可得： 1313 ,0,0 ,0 ,0 ,0,0, 2222 B aCaaDaaPb （1）设平面PBD的法向量为, ,mx y z 33 ,0,0 22 PBabBDaa 0 3 33 0 22 xb axbz yb axay za , 3 ,mbb a 设平面PAC的法向量为, ,nx y z 13 0,0,0
17、 22 APbACaa 30 1 13 0 0 22 xz y axay z 3,1,0n 0m n 平面PBD 平面PAC （2） 1333 3 ,0 ,0 4488 OaaMaa 设平面OPM的法向量为 1 , ,nx y z 1313 ,0 4488 OPaa bOMaa 13 3 0 44 1 13 0 0 88 x axaybz y z axay 1 3,1,0n 设平面PMD的法向量为 2 , ,nx y z 1373 ,0 2288 PDaabMDaa 13 3 0 22 7 73 0 3 3 88 xb axaybz yb axay za 2 3 ,7 ,3 3nbba 设二面
18、角OPMD的平面角为，则tan2 6，可得 1 cos 5 12 22 41 coscos, 5 2 5227 b n n ba 22222 1052271005227bbabba 2 2 4816 279 a b 4:3 a b 建系思路二：由思路一可发现尽管建系思路简单，但是所涉及的点的坐标过于复杂，而导致 后面的计算繁杂。所以考虑结合图形特点，建立 坐标简单的坐标系，从而简化运算：利用菱形对 角线垂直的特点， 以O为坐标原点。 过O作PA的 平行线，即可垂直底面，从而所建立的坐标系使 得底面上的点均在轴上； 另一方面， 可考虑以OC 为单位长度，可得2a ，避免了坐标中出现过多 的字母
19、解：过O作OTPA，PA 平面ABCD AT平面ABCD 因为ABCD为菱形，所以OCOD 以,OT OC OD为轴建立空间直角坐标系，以OC为单位长度 1,0,0 ,1,0,0 ,0,3,0 ,0, 3,0 ,1,0,ACBDPb （1）设平面PBD的法向量为, ,mx y z 1,3,0,2 3,0PBbBD 30 0 2 30 1 xb xybz y y z ,0,1mb 设平面PAC的法向量为, ,nx y z 因为平面PAC即为xOz平面 0,1,0n 0m n 平面PBD 平面PAC （2） 1 ,0,0 2 M 设平面OPM的法向量为 1 , ,nx y z 1 1,0,0,0
20、2 OPb OM 0 0 1 1 0 02 x xbz y x z 1 0,1,0n O A D B C P M 设平面PMD的法向量为 2 , ,nx y z 1 1, 3, 3,0 2 PDbMD 2 3 30 1 30 23 3 xb xybz yb xy z 2 2 3 , ,3 3nb b 设二面角OPMD的平面角为，则tan2 6，可得 1 cos 5 12 2 1 coscos, 5 1327 b n n b 2222 279 51327251327 124 bbbbb 3 ,2 2 baCD 4:3 a b 例 6： 如图， 在边长为 4 的菱形ABCD中，60 ,BADDEA
21、B于点E， 将ADE沿DE 折起到 1 ADE的位置，使得 1 ADDC （1）求证： 1 AE 平面BCDE （2）求二面角 1 EABC的余弦值 （3）判断在线段EB上是否存在一点P，使平面 1 ADP 平面 1 ABC，若存在，求出 EP PB 的 值，若不存在，请说明理由 解： （1） 1 ,CDED CDAD CD 平面 1 AED 1 CDAE 1 AEDE 1 AE 平面BCDE （2） 11 ,AEED AEBE D C E B A1 D A B C E DEBE 1 ,AE ED BE两两垂直 以 1 ,AE ED BE为坐标轴建立坐标系 计算可得：2,2 3AEDE 1 0
22、,0,2 ,2,0,0 ,0,2 3,04,2 3,0ABDC （2）平面 1 EAB的法向量为0,1,0m 设平面 1 ABC的法向量为, ,nx y z 1 2,2 3,0 ,4,2 3, 2BCAC 1 022 30 3 042 320 BC nxy xzy AC nxyz 3, 1, 3n 设二面角 1 EABC的平面角为 17 coscos, 717 m n m n mn （3）设,0,0P 设平面 1 ADP的法向量为 1 , ,nx y z 1 0,2 3, 2AD 1 ,0, 2AP 11 11 2 0 32 320 320 0 x AD n yz y xzAP n z 1 3
23、 2, 3 n 平面 1 ADP 平面 1 ABC 1 3 02 330 3 n n 解得：3 3,0,0P不在线段BE上，故不存在该点 小炼有话说： （1）对待翻折问题要注意在翻折的过程中，哪些量和位置关系是不变的，要将 平面图形的相关量与翻折后的几何体建立对应关系。 （2） 在处理点的存在性问题时， 求该点所在平面法向量的过程中会遇到所解方程含参的情况， 此时可先从含参方程入手，算出满足方程的一组值，再代入另一方程计算会比较简便。 例 7： 如图， 在四棱锥PABCD中， 底面ABCD是平行四边形，PA 平面ABCD， 点,M N 分别为,BC PA的中点，且1,2ABACAD （1）证明
24、：MN平面PCD； （2） 设直线AC与平面PBC所成角为， 当在0, 6 内变化时，求二面角PBCA的取值范围 解： 222 ABACAD ABAC PA 平面ABCD ,P AA B P AA C 以,PA AB AC为轴建立直角坐标系，设PAh 1 1 1,0,0 ,0,1,0 ,1,1,0 ,0,0,0,0,0 22 2 h BCDPhNM （1） 11 , 22 2 h MN ，设平面PCD的法向量为, ,nx y z 1,0,0 ,0,1,CDPCh 00 0 0 CD nx yzh PC n 0, 1nh 11 0 22 MN nhh MN平面PCD （2）设平面PBC的法向量为
25、, ,mx y z 1,1,0 ,1,0,BCPBh 00 0 0 BC mxy xzh PB m , 1mh h N M D C B A P 0,1,0AC 2 sincos, 21 h AC m h 0, 6 1 sin0, 2 即 2 1 0 2 21 h h 2 2 12 0, 2142 h h h 平面BCA的法向量为 1 0,0,1n , ,1mh h 1 1 2 1 1 cos, 21 m n m n mnh 由 2 0, 2 h 可得 2 211,2h 1 2 c o s, 1 2 m n 设二面角PBCA的平面角为 则 2 cos,1 2 0, 4 例 8：在如图所示的多面体
26、中，EA 平面,ABC DB 平面ABC，ACBC，且 22ACBCBDAE，M是AB中点 （1）求证：CMEM （2）求平面EMC与平面BCD所成的锐二面角的余弦值 （3） 在棱DC上是否存在一点N， 使得直线MN与平面EMC 所成的角为60？若存在，指出点N的位置，若不存在，请说 明理由 解：过A在平面ABC上作BC的平行线AN ACBC ANAC EA平面ABC ,AEAN AEAC ,AE AC AN两两垂直 如图建系： 2,2,0 ,0,2,0 ,2,2,2 ,1,1,0 ,0,0,1BCDME （1）1, 1,0 ,1,1, 1CMEM 0CM EM CMEM CMEM （2）设平
27、面EMC的法向量为 1 , ,nx y z M A C B E D M A C B E D N 1, 1,0 ,1,1, 1CMEM 1 0 1,1,2 0 xy n xyz 设平面BCD的法向量为 2 , ,nx y z 0,0,2 ,2,0,0BDCB 1 20 0,1,0 20 z n x 设平面EMC与平面BCD所成的锐二面角的余弦值为 则 12 12 12 16 coscos, 66 nn n n nn （3）设, ,N x y z N在CD上 CNCD 2,0,2CD ,2,CNx yz 2 ,0,2CD 22 202 22 xx yy zz 2 ,2,2N 21,1,2MN 1
28、1 22 1 63 sincos, 2 62112 MN n MN n MNn 2 63 2 6842 解得： 1 2 1 2 CNCD 存在点N，当N为CD中点时，直线MN与平面EMC所成的角为60 例 9：如图，在四棱锥PABCD-中，PA底面ABCD，ADAB，/ABDC， 2ADDCAP=，1AB =，点E为棱PC的中点 （1）证明：BEDC （2）求直线BE与平面PBD所成角的正弦值 （3）若F为棱PC上一点，满足BFAC，求二面角 FABP的余弦值 解：PA底面ABCD ,PAAD PAAB ,PA AD AB两两垂直，如图建系： 0,0,2 ,1,0,0 ,0,2,0 ,2,2,
29、0 ,1,1,1PBDCE （1）0,1,1 ,2,0,0BEDC 0BE DCBEDC BEDC （2）设平面PBD的法向量为, ,nx y z 1,0, 2 ,1,2,0PBBD 20 2,1,1 20 xz n xy 设直线BE与平面PBD所成角为 23 sincos, 326 BE n BE n BEn （3）设, ,F x y z , ,2 ,2,2, 2PFx y zPC ,P F C三点共线 2 ,2 , 2PFPC 2 2 22 x y z 2 ,2 ,22F 21,2 ,22BF 2,2,0AC BFAC 2 212 20BF AC解得： 1 4 1 1 3 , 2 2 2
30、F 设平面FAB的法向量为, ,mx y z z y x P E DC B A 1 1 3 1,0,0 , 2 2 2 ABAF 0 0,3, 1 113 0 222 x m xyz 平面ABP的法向量为0,1,0n 33 cos,10 1010 m n m n mn 二面角FABP的余弦值为 3 10 10 例 10：如图，在三棱柱 111 ABCABC，H是正方形 11 AAB B的中心， 1 2 2AA ， 1 C H 平面 11 AAB B，且 1 5C H （1）求异面直线AC与 11 AB所成角的余弦值 （2）求二面角 111 AACB的正弦值 （3） 设N为棱 11 BC的中点，
31、 点M在平面 11 AAB B 内，且MN 平面 11 ABC，求线段BM的长 解：连结 11 ,AB AB，因为H是正方形 11 AAB B的中心 11 ,AB AB交于H，且 11 HAHB 1 C H 平面 11 AAB B 如图建系： 111 2,0,0 ,0,2,0 ,0, 2,0 ,2,0,0 ,0,0, 5ABABC 设, ,C x y z 11 2, 2,0CCAA 2 2 50 x y z 2, 2, 5C （1） 11 2,0, 5 ,2,2,0ACAB 11 42 cos, 33 2 2 AC AB （2）设平面 11 AAC的法向量为, ,nx y z 111 2, 2
32、,0 ,2,0, 5AAAC 220 25025 xyxy xzxz 5,5,2n 设平面 111 AC B的法向量为, ,mx y z 1111 2,0, 5 ,0, 2, 5ACBC 25025 25025 xzxz yzyz 5, 5,2m 42 cos, 147 m n m n mn 设二面角 111 AACB的平面角为，则 2 cos 7 2 3 5 sin1cos 7 （3） 5 0,1, 2 N ，因为M在底面 11 AAB B上，所以设, ,0M x y 5 ,1, 2 NMx y 平面 111 ABC的法向量为 5, 5,2m MN 平面 11 ABC MNm 5 1 2 2
33、55 xy ，可解得： 5 4 1 4 x y 51 ,0 44 M 22 5110 2 444 BM 三、历年好题精选 1、如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD是直角梯形，侧棱SA底面ABCD，AB垂 直于AD和BC，2,1,SAABBCADM是棱SB的中点. （1）求证：AM平面SCD （2）求平面SCD与平面SAB所成的二面角的余弦值 （3）设点N是直线CD上的动点，MN与平面SAB所成的角为，求sin的最大值 2、 （2015，北京）如图，在四棱锥AEFCB中，AEF为等边三角形，平面AEF 平面 EFCB，EF,4,2 ,60 ,BC BCEFaEBCFCBO为 EF的中点 （1
34、）求证：AOBE （2）求二面角FAEB的余弦值 （3）若BE 平面AOC，求a的值 3、 （2015，山东）如图，在三棱台DEFABC中，2,ABDE G H 分别为,AC BC的中点. （1）求证：/ /BD平面FGH； （2） 若CF 平面ABC,45 ,ABBC CFDEBAC 求平面FGH与平面ACFD所成角（锐角）的大小. 4、 （2014，北京）如图，正方形AMDE的边长为 2，,B C分别为,AM MD的中点，在五棱 锥PABCDE中，F为棱PE的中点，平面ABF与棱,PD PC分别交于点,G H （1）求证：ABFG （2）若PA 底面ABCDE，且PAAE，求直线BC与平面
35、ABF 所成角的大小，并求线段PH的长 5、 （2014，江西）如图，四棱锥PABCD中，ABCD为矩形，平 面PAD 平面ABCD （1）求证：ABPD （2）若90 ,2,2BPCPBPC，问AB为何值时， 四棱锥PABCD的体积最大？并求此时平面BPC与平面 DPC夹角的余弦值 O F E C B A T F D E A G B H C 习题答案：习题答案： 1、解析： （1）以点A为坐标原点，如图建系： 则0,0,0 ,0,2,0 ,2,2,0 ,1,0,0 ,0,0,2 ,0,1,1ABCDSM 0,0,1 ,1,0, 2 ,1, 2,0AMSDCD 设平面SCD的法向量为, ,nx
36、 y z 020 20 0 SD nxz xy CD n ，可得：2, 1,1n 0AM n AMn AM平面SCD （2）可知平面SAB的法向量为 1 1,0,0n ， 设平面SCD与平面SAB所成的二面角为，可得0, 2 1 1 26 cos 316 n n nn 所成的二面角余弦值为 6 3 （3）设,22,0N xx ，则,23, 1MNxx，平面SAB的法向量为 1 1,0,0n 222 11 sin 51210 11137 1012510 55 x xx xxx 当 13 5x 即 5 3 x 时，sin取得最大值，即max 35 sin 7 2、解析： （1） AEF为等边三角形
37、且O为EF的中点 AOEF 平面AEF 平面EFCB AO平面EFCB AOBE （2）取BC中点D，连结OD，分别以,OE OD OA为轴如图 建系 可得： 0,0, 3,0,0 ,2,2 33 ,0AaE aBa 设平面AEB的法向量为 1 , ,nx y z 由 ,0,3,2,2 33 ,0AEaaEBaa可得： 1 1 30 0 22 330 0 axaz AE n a xa y EB n ，可得： 1 3, 1,1n 平面AEF的法向量 2 0,1,0n 12 12 12 5 cos, 5 nn n n nn 由二面角FAEB为钝二面角可知 5 cos 5 O F E C B A （
38、3） 2,2 33 ,0Ca，设平面AOC的法向量为, ,mx y z 0,0, 3,2,2 33 ,0OAa OCa 30 0 22 330 0 az OA m xa y OC m 解得 2 33 ,2,0ma BE 平面AOC BE m，因为 2, 32 3,0BEaa 222 3332 3aaa，解得：2a （舍） ， 4 3 a 3、解析： （1）证明：连结,DG DC，设,DC GF交于点T 在三棱台DEFABC中，由2ABDE可得2ACDF G为AC中点 DFAC，即DFAG且DFAG 四边形DGCF是平行四边形 T为DC中点且DGFC 在BDC中，可得TH为中位线 THDB 又B
39、D平面FGH，TH 平面FGH，故/ /BD平面FGH； （2）由CF 平面ABC,可得DG 平面ABC而,45 ,ABBCBAC 则GBAC,于是,GB GA GC两两垂直， 以点 G 为坐标原点，,GA GB GC所在的直线 分别为, ,x y z轴建立空间直角坐标系， 设2AB ,则1,2 2,2DECFACAG, 22 (0,2,0),(2,0,0),(2,0,1),(,0) 22 BCFH， 则平面ACFD的一个法向量为 1 (0,1,0)n ， 设平面FGH的法向量为 2222 (,)nx y z，则 2 2 0 0 nGH nGF ,即 22 22 22 0 22 20 xy x
40、z ， 取 2 1x ，则 22 1,2yz， 2 (1,1, 2)n ， 12 11 cos, 21 1 2 n n ，故平面FGH与平面ACFD所成角（锐角）的大小为60. z x y F D E A G B H C 4、解析： （1）证明：在正方形AMDE中，可知ABDE AB平面PDE AB平面PDE AB 平面ABF，且平面ABF平面PDEFG ABFG （2） 因为PA 底面ABCDE， 所以,PAAB PAAE 如图建立空间直角坐标系，则 1 ,0 ,0,2 ,1 ,0,0 ,0 ,2,0 ,1 ,1BCPF 1,1,0BC 设平面ABF的法向量为, ,nx y z 1, 0,
41、0 ,0, 1, 1ABAF 00 0 0 AB nx yz AF n 解得0,1, 1n 1 cos, 2 BC n BC n BCn 设直线BC与平面ABF所成角为，则 1 sincos, 2 BC n 6 设点, ,H x y z，由H在棱PC上可得：PHPC 2,1, 2 , ,2PCPHx y z 2 2 , ,22 22 x yH z 由n为平面ABF的法向量可得：0n AH 0 21220 解得 2 3 4 2 2 , 3 3 3 H 222 422 22 333 PH 5、解析： （1）证明：因为ABCD为矩形，所以ABAD 又平面PAD 平面ABCD，且平面PAD平面ABCD
42、AD AB平面PAD ABPD （2）过P作AD的垂线，垂足为O，过O作BC的垂线 垂足为G，连结PG PO平面ABCD，BC 平面,POG BCPG 在Rt BPC中， 2 32 66 , 333 PGGCBG 设ABm，则 222 4 3 OPPGOGm 2224 141 68686 3333 P ABCD m Vmmmmm 2 2 128 6 333 m ，当 2 26 33 mm时， PABCD V 最大 此时 6 3 AB 如图建系，可得： 666 2 62 66 ,0 ,0 ,0,0 ,0,0, 333333 BCDP 6 2 666 ,0, 6,0 ,0,0 3333 PCBCCD 设平面BPC的一个法向量为 1 , ,nx y z 则 1 1 62 66 00 333 0 60 PC nxyz BC n y 解得 1 1,0,1n 设平面DPC的一个法向量为 2 , ,nx y z 则 2 2 62 66 0 0 333 06 0 3 xyz PC n CD n x 解得 2 1 0,1 2 n 设平面BPC与平面DPC夹角为，可得 12 12 12 10 coscos, 5 n n n n nn
