1、第第1 1章章 全等三角形全等三角形1.3 1.3 探索三角形全等的条件探索三角形全等的条件u全等三角形的判定方法全等三角形的判定方法边角边边角边(SAS)u全等三角形的判定方法全等三角形的判定方法角边角角边角(ASA)u全等三角形的判定方法全等三角形的判定方法角角边角角边(AAS)u全等三角形的判定方法全等三角形的判定方法边边边边边边(SSS)u三角形的稳定性三角形的稳定性u用尺规作角平分线和垂线用尺规作角平分线和垂线u直角三角形全等的判定方法直角三角形全等的判定方法斜边、斜边、直角边直角边(HL)一张教学用的三角形硬纸板不小心被撕坏了，如图，一张教学用的三角形硬纸板不小心被撕坏了，如图，你
2、能制作一张与原来同样大小的新教具？能恢复三角形你能制作一张与原来同样大小的新教具？能恢复三角形的原貌吗？的原貌吗？知识点知识点全等三角形的判定方法全等三角形的判定方法边角边边角边(SAS)(SAS)1要点提醒1.相等的元素：两边及其夹角相等的元素：两边及其夹角.2.书写顺序：边书写顺序：边角角边边.3.两边和其中一边的对角分别相等的两个两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等三角形不一定全等.例 1 中考中考兰州兰州 如图如图1.3-2 是小军制作的燕子风筝，燕是小军制作的燕子风筝，燕子风筝的骨架图如图子风筝的骨架图如图1.3-2 所示，所示，ABAE，ACAD，BADEAC，C50
3、，求，求D的大小的大小解题秘方：解题秘方：紧扣隐含公共角证明紧扣隐含公共角证明 BACEAD，利用利用“SAS”证明证明BAC EAD，最后由全等三，最后由全等三角形的性质求解角形的性质求解方法点拨常见常见的隐含等角的情况：的隐含等角的情况：公共角相等；对公共角相等；对顶角相等；顶角相等；等角加等角加(或减或减)等角，其和等角，其和(或差或差)仍相仍相等；等；同角或等角的余同角或等角的余(或补或补)角相等；角相等；由角平分由角平分线的定义得出角相等；线的定义得出角相等；由垂直的定义得出角相等；由垂直的定义得出角相等；由平行线得到同位角或内错角相等由平行线得到同位角或内错角相等.知识点知识点全等
4、三角形的判定方法全等三角形的判定方法角边角角边角(ASA)(ASA)2要点提醒1.相等的元素：两角及其夹边相等的元素：两角及其夹边.2.书写顺序：角书写顺序：角边边角角.3.夹边即两个角的公共边夹边即两个角的公共边.如图如图1.3-4，点，点A、D、C、E在同一条直线上，在同一条直线上，ABEF，ABEF，BF，AE10，AC7，则则CD的长为的长为()A.5.5B.4 C.4.5D.3例 2解题秘方：解题秘方：解题的关键是由平行线得出角相等，解题的关键是由平行线得出角相等，构造两角及其夹边对应相等，利用全等三角形的构造两角及其夹边对应相等，利用全等三角形的判定与性质求出线段之间的数量关系判定
5、与性质求出线段之间的数量关系.答案：答案：B方法点拨运用运用“ASA”判定两个三角形全等，既要找边相判定两个三角形全等，既要找边相等，又要找角相等，除已知条件外，看缺什么条等，又要找角相等，除已知条件外，看缺什么条件，就去找什么条件件，就去找什么条件.另外，判定两个三角形全等另外，判定两个三角形全等后可以运用其性质，得出线段或角的相等关系后可以运用其性质，得出线段或角的相等关系.1.基本事实基本事实(ASA)的推论的推论 两角分别相等且其中一组等角两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等的对边相等的两个三角形全等(可以简写成可以简写成“角角边角角边”或或“AAS”).知识点知识点全
6、等三角形的判定方法全等三角形的判定方法角角边角角边(AAS)(AAS)33.特别解读特别解读(1)判定两个三角形全等的三个条件中，判定两个三角形全等的三个条件中，“边边”是必不可少的；是必不可少的；(2)由于由于“角角边角角边”和和“角边角角边角”是可以互相转化的，故能用是可以互相转化的，故能用“角角边角角边”证明的问题，一般也可以用证明的问题，一般也可以用“角边角角边角”证明；证明；(3)在运用在运用“ASA”和和“AAS”判定时，要注意判定时，要注意“夹边夹边”和和“对对边边”的区别的区别.要点提醒1.相等的元素：两角及其中一角的对边；相等的元素：两角及其中一角的对边；2.用判定三角形全等
7、的方法证明三角形全等用判定三角形全等的方法证明三角形全等时，要注意图形中隐含的等角时，要注意图形中隐含的等角.虽然已知条件无虽然已知条件无涉及，但证明中要特别注意挖掘这些重要条件涉及，但证明中要特别注意挖掘这些重要条件.已知：如图已知：如图1.3-6，ABAC，ADAE.求证：求证：BOD COE.例 3解题秘方：解题秘方：找出两个三角形中两组找出两个三角形中两组等角及其中一组等角的对边相等，等角及其中一组等角的对边相等，利用利用“AAS”判定两个三角形全等判定两个三角形全等.公共角可直接公共角可直接写出写出，对顶角也对顶角也可直接可直接写出写出.教你一招证明证明三角形全等时找条件的方法：三角
8、形全等时找条件的方法：证明三角形全等时，有些条件是已知的，有些证明三角形全等时，有些条件是已知的，有些条件是隐含在题设或图形中的，比如对顶角相等、条件是隐含在题设或图形中的，比如对顶角相等、公共角、公共边等，还有些条件是通过证明其他三公共角、公共边等，还有些条件是通过证明其他三角形全等，利用全等三角形的性质得到的角形全等，利用全等三角形的性质得到的.知识点知识点全等三角形的判定方法全等三角形的判定方法边边边边边边(SSS)(SSS)4要点提醒1.相等的元素：三角形的三条边；相等的元素：三角形的三条边；2.在列举两个三角形全等的条件时，应把三个在列举两个三角形全等的条件时，应把三个条件按顺序排列
9、并用大括号将其括起来；条件按顺序排列并用大括号将其括起来；3.书写过程中三角形边的两个端点及三角形的书写过程中三角形边的两个端点及三角形的顶点前后顺序要对应顶点前后顺序要对应.已知：已知：如图如图1.3-8，ACBD，ADBC，AD、BC相相交于点交于点O，过点，过点O作作OEAB，垂足为，垂足为E例 4求证：求证：(1)ABC BAD.解题秘方：解题秘方：紧扣紧扣“SSS”找出两个三角形中三边对应相等的找出两个三角形中三边对应相等的条件来证明条件来证明ABC BAD；(2)AEBE解题秘方：解题秘方：紧扣全等三角形的性质，以及垂直的性质得出紧扣全等三角形的性质，以及垂直的性质得出两角相等，利
10、用两角相等，利用“AAS”证明两个三角形全等可得出结论证明两个三角形全等可得出结论方法点拨除了除了题目中已知的边相等以外，还有些相等的题目中已知的边相等以外，还有些相等的边隐含在题设或图形中边隐含在题设或图形中.常见的有常见的有：1.公共边相等；公共边相等；2.等边加等边加(或减或减)等边，其和等边，其和(或差或差)仍相等；仍相等；3.由中点得出线段相等由中点得出线段相等.1.三角形三角形的稳定性的稳定性 如果一个三角形三边的长度确定，那如果一个三角形三边的长度确定，那么这个三角形的形状和大小就完全确定，这个性质叫做么这个三角形的形状和大小就完全确定，这个性质叫做三角形的稳定性三角形的稳定性.
11、三角形的稳定性在生活和生产中有着三角形的稳定性在生活和生产中有着广泛的应用广泛的应用.2.四边四边及四边以上的图形不具有稳定性，为保证其稳定，及四边以上的图形不具有稳定性，为保证其稳定，常在多边形中构造三角形常在多边形中构造三角形.知识点知识点三角形的稳定性三角形的稳定性5探究题探究题 要使四边形木架要使四边形木架(用四根木条钉成用四根木条钉成)不易变形，不易变形，至少要再钉上几根木条？五边形木架呢？六边形木至少要再钉上几根木条？五边形木架呢？六边形木架呢？架呢？n边形木架呢？边形木架呢？例 5解题秘方：解题秘方：若要使多边形稳定若要使多边形稳定,需将它变换成若干个三角需将它变换成若干个三角形
12、形.先画出图形，结合图形分割三角形得出：四边形：先画出图形，结合图形分割三角形得出：四边形：1 根，根，五边形：五边形：2 根，六边形：根，六边形：3 根，由类比推理可知，根，由类比推理可知，n边形：边形：(n3)根，如图根，如图1.3-9 所示所示.解：四边形木架至少要再钉上解：四边形木架至少要再钉上1根木条，五边形木根木条，五边形木架至少要再钉上架至少要再钉上2根木条，六边形木架至少要再钉根木条，六边形木架至少要再钉上上3根木条，根木条，n边形木架至少要再钉上边形木架至少要再钉上(n3)根木条根木条.方法点拨本题本题运用了运用了数形结合思想数形结合思想，使问题更直观、易，使问题更直观、易懂
13、，还运用了懂，还运用了从特殊到一般的思想从特殊到一般的思想，由四边形、五，由四边形、五边形、六边形类比推出边形、六边形类比推出n边形边形.此题为一道规律探究此题为一道规律探究题，通过观察图形，分析、归纳出其中的规律题，通过观察图形，分析、归纳出其中的规律.1.角平分线的作法角平分线的作法 用直尺和圆规作用直尺和圆规作AOB的平分线的平分线.作法：作法：(1)以点以点O为圆心，任意长为半径作弧，分别交射线为圆心，任意长为半径作弧，分别交射线OA、OB于点于点C、D.知识点知识点用尺规作角平分线和垂线用尺规作角平分线和垂线6(3)作射线作射线OM.OM就是就是AOB的平分线的平分线.(如图如图1.
14、3-10)连接连接CM、DM，依据作图可，依据作图可知知OCM ODM(SSS)，所以所以AOMBOM,所以所以OM平分平分 AOB.2.垂线的作法垂线的作法过直线过直线上一点上一点作垂线作垂线续表续表过直线过直线外一点外一点作垂线作垂线特别解读1.因为所作的垂线是一条直线，所以不能说因为所作的垂线是一条直线，所以不能说成成“作射线作射线CP”或者或者“连接连接CP”.2.根据图，连接根据图，连接CM、CN，可知可知CMP CNP(SSS)，所以，所以CPMCPN.又又CPMCPN180，所以，所以 CPMCPN90，所以直线所以直线CP 即为所求作的垂线即为所求作的垂线.如图如图1.3-11
15、，已知，已知ABC，按下列要求，按下列要求作图：作图：(尺规作图，保留痕迹不写作法尺规作图，保留痕迹不写作法)例 6(1)作作ABC的角平分线的角平分线BE，交，交AC于点于点E；解题秘方：解题秘方：利用作角平分线的方法作图即可；利用作角平分线的方法作图即可；解：如图解：如图1.3-11 所示：所示：线段线段BE即为所求；即为所求；(2)作作BC边上的高边上的高AD，垂足为，垂足为D解题秘方：解题秘方：利用过直线外一点，作垂线的方法作图即可利用过直线外一点，作垂线的方法作图即可.解：如图解：如图1.3-11 所示：所示：线段线段AD即为所求即为所求方法点拨尺尺规作图要虚实分明，一般辅助性的线用
16、虚规作图要虚实分明，一般辅助性的线用虚线，线，要求画出的线用实线，要保留作图痕迹，这要求画出的线用实线，要保留作图痕迹，这样才可以体现出作图的全过程样才可以体现出作图的全过程.注意本题中求作注意本题中求作的三角形的角平分线和高是线段的三角形的角平分线和高是线段.1.定理定理 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等形全等(可以简写成可以简写成“斜边、直角边斜边、直角边”或或“HL”).知识点知识点直角三角形全等的判定方法直角三角形全等的判定方法斜边、直角边斜边、直角边(HL)(HL)73.注意点注意点 书写时必须强调直角三角形书写时必须强调直角三角形.
17、4.易错警示易错警示 “HL”是判定两个直角三角形全等的特殊方是判定两个直角三角形全等的特殊方法，但不是唯一方法，前面学习的判定三角形全等的方法，但不是唯一方法，前面学习的判定三角形全等的方法在直角三角形中仍然适用法在直角三角形中仍然适用.特别提醒1.应用应用“HL”判定两个直角三角形全等，在书写判定两个直角三角形全等，在书写时一定要加上时一定要加上“Rt”.2.判定两个直角三角形全等的特殊方法判定两个直角三角形全等的特殊方法“HL”，只适用于直角三角形全等的判定，只适用于直角三角形全等的判定，对于一般三角形对于一般三角形不适用不适用.已知：如图已知：如图1.3-13，ACBC，ADBD，垂足
18、分别，垂足分别是点是点C、D，ADBC，CEAB，DFAB，垂足分，垂足分别是点别是点E、F.求证：求证：CEDF.例 7解题秘方：解题秘方：利用利用“HL”证明两个直角三角形全等，证明两个直角三角形全等，为证明两条线段相等创造条件为证明两条线段相等创造条件.技巧点拨两两个直角三角形中，由于有直角相等的条件，个直角三角形中，由于有直角相等的条件，所以判定两个直角三角形全等只需要再找所以判定两个直角三角形全等只需要再找2对对应对对应元素分别相等元素分别相等(其中至少有一对边其中至少有一对边).探索三角形全等的条件探索三角形全等的条件一般三角一般三角形全等的形全等的判定方法判定方法SASASA和和AASSSSHL直角三角直角三角形全等的形全等的判定方法判定方法必做必做:请完成教材课后请完成教材课后练习练习补充补充:请完成请完成本课时本课时习题习题作业作业1 1作业作业2 2
