1、第第2 2章章 轴对称图形轴对称图形2.4 2.4 线段、角的轴对称性线段、角的轴对称性u线段垂直平分线的性质线段垂直平分线的性质u线段垂直平分线的判定线段垂直平分线的判定u线段的垂直平分线的画法线段的垂直平分线的画法u角平分线的性质角平分线的性质u角平分线的判定角平分线的判定下图是一个平分角的仪器，其中下图是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC.将点将点A放在角的顶点，放在角的顶点，AB和和AD 沿着角的两边放下，沿沿着角的两边放下，沿AC画一条画一条射线射线AE，AE就是这个角的平分线就是这个角的平分线,你能说明它的道理吗？你能说明它的道理吗？ABDCE1.线段是轴对称图形，线段的
2、垂直平分线是它的对称轴线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴.2.性质性质线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.知识点知识点线段垂直平分线的性质线段垂直平分线的性质13.几何语言几何语言如图如图2.4-1，点点A在线段在线段BC的垂直平分线上，的垂直平分线上，ABAC.4.易错提醒易错提醒线段有两条对称轴，线段的垂直平分线是它的对称轴，线段有两条对称轴，线段的垂直平分线是它的对称轴，线段自身所在的直线也是它的对称轴线段自身所在的直线也是它的对称轴.特别解读1.线段垂直平分线的性质中的线段垂直平分线的性质中的“距离距离”是是“该点与这条线段两个
3、端点的距离该点与这条线段两个端点的距离”.2.用线段垂直平分线的性质可直接证明线段相用线段垂直平分线的性质可直接证明线段相等，不必再用三角形全等来证明，因此它为证明等，不必再用三角形全等来证明，因此它为证明线段相等提供了新方法线段相等提供了新方法.例 1 如图如图2.4-2，在，在ABC中，中，AB边的垂直平分线边的垂直平分线DE，分，分别与别与AB边和边和AC边交于点边交于点D和点和点E，BC边的垂直平分边的垂直平分线线FG，分别与，分别与BC边和边和AC边交于点边交于点F和点和点G，又，又BEG的周长为的周长为16，且，且GE1，则则AC的长为的长为()A.16B.15C.14D.13解题
4、秘方：解题秘方：紧扣线段的垂直平分线的性质，可得紧扣线段的垂直平分线的性质，可得EBEA、GBGC，然后结合三角形的周长公式计算得到答案，然后结合三角形的周长公式计算得到答案解：解：DE是是AB边的垂直平分线，边的垂直平分线，EBEA FG是是BC边的垂直平分线，边的垂直平分线，GBGCBEG的周长为的周长为16，GBGEEB16 AEGEGC16，ACGEGE16 GE1，AC16214答案：答案：C方法点拨利用利用线段垂直平分线的性质进行线段间的转线段垂直平分线的性质进行线段间的转化是一种常用的解题方法本题中解题的关键是化是一种常用的解题方法本题中解题的关键是利用线段垂直平分线的性质，利用
5、线段垂直平分线的性质，将将BEG的周长转的周长转化为线段化为线段 AC2GE的长，最后代入求解的长，最后代入求解1.判定判定到线段两端到线段两端距离相等的点距离相等的点在线段的垂直平分线上在线段的垂直平分线上.2.几何语言几何语言如图如图2.4-3，ABAC，点点A在线段在线段BC的垂直平分线上的垂直平分线上.知识点知识点线段垂直平分线的判定线段垂直平分线的判定23.拓展拓展(1)线段的垂直平分线是到线段两端距离相等的点线段的垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合；的集合；(2)三角形三边的垂直平分线相交于一点，这一点三角形三边的垂直平分线相交于一点，这一点到三角形三个顶点的距离都相等到三角
6、形三个顶点的距离都相等.特别提醒证明证明一个点在一条线段的垂直平分线上一个点在一条线段的垂直平分线上，还可以利用线段垂直平分线的定义进行推理，还可以利用线段垂直平分线的定义进行推理，思路有两种：思路有两种：一是作垂直，证平分；二是取一是作垂直，证平分；二是取中点，证垂直中点，证垂直.如图如图2.4-4，AD为为BAC的平分线，交的平分线，交BC于点于点D，AEAF.请判断线段请判断线段AD所在的直线是否为线段所在的直线是否为线段EF 的垂的垂直平分线，若是，请给予证明；若不是，请说明理由直平分线，若是，请给予证明；若不是，请说明理由.例 2解题秘方：解题秘方：由线段垂直平分线的判定可知，证明由
7、线段垂直平分线的判定可知，证明AD所在的直线上的点所在的直线上的点A和点和点D到线段到线段EF的两个端的两个端点的距离相等即可点的距离相等即可.点点D在线段在线段EF的垂直平分线上的垂直平分线上.AEAF，点点A在线段在线段EF的垂直平分线上的垂直平分线上.线段线段AD所在的直线是线段所在的直线是线段EF的的垂直平分线垂直平分线.切忌只证明一个点切忌只证明一个点在直线上，就说过在直线上，就说过该点的直线是线段该点的直线是线段的垂直平分线的垂直平分线.教你一招判断判断线段垂直平分线的两种方法：线段垂直平分线的两种方法：一是定义法，二是判定定理一是定义法，二是判定定理.一般习惯用定义法一般习惯用定
8、义法进行判断，而利用判定定理判断更简单进行判断，而利用判定定理判断更简单.用判定定理用判定定理判定一条直线是线段的垂直平分线时，一定要证明判定一条直线是线段的垂直平分线时，一定要证明直线上有两个不同的点到线段两个端点的距离相等直线上有两个不同的点到线段两个端点的距离相等.知识点知识点线段的垂直平分线的画法线段的垂直平分线的画法3易错警示在铁路在铁路a的同侧有两个工厂的同侧有两个工厂A和和B，要在铁路边建一货，要在铁路边建一货场场C，使，使A、B两个工厂到货场两个工厂到货场C的距离相等，试在图的距离相等，试在图2.4-6 中作出点中作出点C.例 3解题秘方：解题秘方：连接连接AB，作出线段，作出
9、线段AB的垂直平分线即可的垂直平分线即可.解：连接解：连接AB，作线段，作线段AB的垂直平分线交直线的垂直平分线交直线a于点于点C.如图如图2.4-6,点点C即为所求即为所求.方法点拨尺尺规作图时要注意虚实线，即辅助性的线规作图时要注意虚实线，即辅助性的线用虚线，所要画的线用实线，同时要注意保留用虚线，所要画的线用实线，同时要注意保留作图痕迹作图痕迹.1.角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴.2.性质性质 角平分线上的点到角两边的距离相等角平分线上的点到角两边的距离相等.3.几何语言几何语言 如图如图2.4-7，OP平分平分AOB，PDO
10、A于点于点D，PEOB于点于点E，PDPE.知识点知识点角平分线的性质角平分线的性质44.线段垂直平分线的性质与角平分线的性质的比较线段垂直平分线的性质与角平分线的性质的比较相同点：两者都可以直接得到两条线段相等；相同点：两者都可以直接得到两条线段相等；不同点：不同点：前者指的是点到点的距离，后者指的是点前者指的是点到点的距离，后者指的是点到线的距离到线的距离.特别提醒1.角平分线的性质是由两个条件角平分线的性质是由两个条件(角平分线、角平分线、垂线垂线)得到一个结论得到一个结论(线段相等线段相等).2.利用角平分线的性质证明线段相等时，证利用角平分线的性质证明线段相等时，证明的线段是明的线段
11、是“垂直于角两边的线段垂直于角两边的线段”而不是而不是“垂垂直于角平分线的线段直于角平分线的线段”.如图如图2.4-8，在，在ABC中，中，AD为为ABC的平分线，的平分线，DEAB于点于点E，DFAC于点于点F.若若ABC的面积是的面积是12 cm2，AB6 cm，AC4 cm，则，则DF_cm例 42.4解题秘方：解题秘方：先紧扣角平分线的性质得出先紧扣角平分线的性质得出DEDF，然后，然后结合三角形的面积公式可得出点结合三角形的面积公式可得出点D到角的两边的距离到角的两边的距离方法点拨运用运用角平分线的性质解决问题时，条件中角平分线的性质解决问题时，条件中必须有角平分线的性质的模型必须有
12、角平分线的性质的模型(即角平分线两即角平分线两垂直垂直)，若缺少某个部分，则通过作辅助线补充，若缺少某个部分，则通过作辅助线补充完整，才能运用此性质解决问题完整，才能运用此性质解决问题.1.判定判定 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.2.几何语言几何语言 如图如图2.4-9，P为为AOB内一点，内一点，PDOA，PEOB，垂足分别为垂足分别为D、E，且，且PDPE，点点P在在AOB的平分线的平分线OC上上.知识点知识点角平分线的判定角平分线的判定53.角平分线的判定定理与性质定理的关系角平分线的判定定理与性质定理的关系(1)如图如图2.4-9
13、，都与距离有关，条件，都与距离有关，条件PDOA，PEOB都具备；都具备；(2)点在角的平分线上点在角的平分线上 (角的内部的角的内部的)点到角两边的点到角两边的距离相等距离相等.4.拓展拓展 三角形三个内角的平分线交于一点且这点到三边三角形三个内角的平分线交于一点且这点到三边的距离相等的距离相等.性质性质判定判定特别提醒1.使用该判定定理的前提是这个点必须在角的内部使用该判定定理的前提是这个点必须在角的内部.2.角平分线的判定是由两个条件角平分线的判定是由两个条件(垂线，线段相等垂线，线段相等)得到一个结论得到一个结论(角平分线角平分线).3.角平分线的判定定理是证明两角相等的重要依据，角平
14、分线的判定定理是证明两角相等的重要依据，它比利用三角形全等证两角相等更方便快捷它比利用三角形全等证两角相等更方便快捷.如图如图2.4-10，BECF，BFAC于点于点F，CEAB于于点点E，BF和和CE交于点交于点D，连接，连接AD.求证：求证：AD平分平分BAC.例 5解题秘方：解题秘方：利用角平分线的判定定理证明角平分利用角平分线的判定定理证明角平分线时，紧扣点在角的内部且点到角两边的距离相线时，紧扣点在角的内部且点到角两边的距离相等进行证明等进行证明.方法点拨证明证明角平分线的方法角平分线的方法:1.从数量上证明从数量上证明被要证的线分成的两个角相等被要证的线分成的两个角相等.2.从形上证明角从形上证明角的内部的点到角两边的距离相等，即的内部的点到角两边的距离相等，即只需从要证的线上的某一点向角的两边作垂线段，再证明只需从要证的线上的某一点向角的两边作垂线段，再证明垂线段相等即可这样把证垂线段相等即可这样把证“某线是角的平分线某线是角的平分线”的问题的问题转化为证转化为证“垂线段相等垂线段相等”的问题，体现了的问题，体现了转化思想转化思想.线段的垂线段的垂直平分线直平分线线段的轴线段的轴对称性对称性角平分线角平分线角的轴对称性角的轴对称性判定判定性质性质必做必做:请完成教材课后请完成教材课后练习练习补充补充:请完成请完成本课时本课时习题习题作业作业1 1作业作业2 2
