1、第第2 2章章 轴对称图形轴对称图形2.5 2.5 等腰三角形的轴对称性等腰三角形的轴对称性 1 1学习目标学习目标2 2课时导入课时导入3 3感悟新知感悟新知4 4随堂检测随堂检测5 5课堂小结课堂小结u等腰三角形的性质等腰三角形的性质u等腰三角形的判定等腰三角形的判定u等边三角形的定义及性质等边三角形的定义及性质u等边三角形的判定等边三角形的判定u直角三角形斜边上的中线的性质直角三角形斜边上的中线的性质 看到下面三角形了吗，它有何特点呢？看到下面三角形了吗，它有何特点呢？我们今天来探讨一下等腰三角形的性质我们今天来探讨一下等腰三角形的性质.1.性质性质1 等腰三角形的两底角相等等腰三角形的
2、两底角相等(简称简称“等边对等角等边对等角”).几何语言：如图几何语言：如图2.5-1，在在ABC中，中，ABAC，BC.知识点知识点等腰三角形的性质等腰三角形的性质12.性质性质2 等腰三角形底边上的高线、中线及顶角等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合平分线重合(简称简称“三线合一三线合一”).如图如图2.5-1，在，在ABC中，中，(1)ABAC，ADBC，AD平分平分BAC，BDDC.(2)ABAC，BDDC，ADBC，AD平分平分BAC.(3)ABAC，AD平分平分BAC，BDDC，ADBC3.对称性对称性 等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线(
3、或底边上的高线、底边上的中线或底边上的高线、底边上的中线)所在的直线是所在的直线是它的对称轴它的对称轴特别提醒作用作用：是证明角相等的常用方法，是证明角相等的常用方法，应用它证角应用它证角相等时可省去三角形全等的证明，因而更简便相等时可省去三角形全等的证明，因而更简便.特别解读(1)这里的这里的“线线”是一条线段，是一条线段，给出一线的名称，给出一线的名称，可以得出其他两线的名称可以得出其他两线的名称.(2)作用：作用：是证明线段相等、角相等、线段垂直是证明线段相等、角相等、线段垂直等关系的重要方法等关系的重要方法.例 1 如图如图2.5-2，在在ABC中，中，ABAC，AD平分平分BAC.解
4、题秘方：解题秘方：紧扣等腰三角形的性质进行解答紧扣等腰三角形的性质进行解答.(1)求求ADB的度数；的度数；(2)若若BAC100，求，求B、C的度数；的度数；解：解：ABAC，AD平分平分BAC，ADBC，ADB90.(3)若若BC3 cm，求，求BD的长的长.特别提醒(1)在等腰三角形中，运用在等腰三角形中，运用“三线合一三线合一”时，已时，已知其中知其中“一线一线”，就可以得到另外，就可以得到另外“两线两线”.根据等根据等腰三角形的腰三角形的“三线合一三线合一”的性质可以得到等线段、的性质可以得到等线段、等角以及两条线段互相垂直等角以及两条线段互相垂直(2)“等边对等角等边对等角”的前提
5、是在同一个三角形中的前提是在同一个三角形中.1.判定定理判定定理 有两个角相等的三角形是等腰三角形有两个角相等的三角形是等腰三角形(简称简称“等角对等边等角对等边”)几何语言：在几何语言：在ABC中，中，BC，ABAC.知识点知识点等腰三角形的判定等腰三角形的判定22.等腰三角形的性质与判定的异同等腰三角形的性质与判定的异同相同点：使用的前提都是相同点：使用的前提都是“在同一个三角形中在同一个三角形中”；不同点：不同点：由三角形的两边相等，得到它们所对的角相等，由三角形的两边相等，得到它们所对的角相等，是等腰三角形的性质；由三角形的两角相等，是等腰三角形的性质；由三角形的两角相等，得到它是等腰
6、三角形，是等腰三角形的判定得到它是等腰三角形，是等腰三角形的判定.即即等腰三角形的性质：两边相等等腰三角形的性质：两边相等这两边所对的角相等；这两边所对的角相等；等腰三角形的判定：两角相等等腰三角形的判定：两角相等这两角所对的边相等这两角所对的边相等.3.拓展拓展根据等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理可知，根据等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理可知，由等腰三角形的由等腰三角形的“三线合一三线合一”性质的逆命题可得出等腰性质的逆命题可得出等腰三角形的三个判定方法：三角形的三个判定方法：(1)三角形中一边上的中线和高线重合时，利用线段的垂直三角形中一边上的中线和高线重合时，利用线段的垂
7、直平分线定理可以判定该三角形为等腰三角形；平分线定理可以判定该三角形为等腰三角形；(2)三角形中一边上的中线和对角的平分线重合时，利用三角形中一边上的中线和对角的平分线重合时，利用三角形全等可以判定该三角形为等腰三角形；三角形全等可以判定该三角形为等腰三角形；(3)三角形中一边上的高线和对角的平分线重合时，直接三角形中一边上的高线和对角的平分线重合时，直接利用三角形全等可以判定该三角形为等腰三角形利用三角形全等可以判定该三角形为等腰三角形.特别提醒(1)“等角对等边等角对等边”不能叙述为不能叙述为“如果一个三角如果一个三角形有两个底角相等，形有两个底角相等，那么它的两条腰相等那么它的两条腰相等
8、”，因为因为在未判定出它是等腰三角形之前，在未判定出它是等腰三角形之前，不能用不能用“底角底角”“顶角顶角”“腰腰”“底边底边”这些名词这些名词.特别提醒(2)“等角对等边等角对等边”是我们以后证明两条线段相是我们以后证明两条线段相等的常用方法，在证明过程中，经常通过计算三角等的常用方法，在证明过程中，经常通过计算三角形各角的度数，或利用角之间的关系得到角相等，形各角的度数，或利用角之间的关系得到角相等，从而得到所对的边相等从而得到所对的边相等.期末期末朝阳区朝阳区 如图如图2.5-3，在在ABC中，中，AD平分平分BAC，BDAD于点于点D，过点，过点D作作DEAC交交AB于于点点E求证：求
9、证：E为为AB的中点的中点例 2解题秘方：解题秘方：利用利用“等角对等边等角对等边”判定等腰三角形，判定等腰三角形，只需证明三角形两个内角相等即可只需证明三角形两个内角相等即可.证明：证明：AD平分平分BAC，BADCAD DEAC，CADADEBADADE AEDE ADDB，ADB90EAD ABD90，ADEBDEADB90，ABDBDE BEDEAE.E为为AB的中点的中点方法点拨本题本题包括两个模型包括两个模型：(1)由由“角平分线角平分线+平行线平行线”推出推出“等腰三角形等腰三角形”，实际上由，实际上由“角平分线，平行线，角平分线，平行线，等腰三角形等腰三角形”三个结论中两个可以
10、推出另一个成立三个结论中两个可以推出另一个成立；(2)由由“直角三角形直角三角形+等腰三角形等腰三角形”推出推出“斜边中点斜边中点”，实际上由实际上由“直角三角形，等腰三角形，斜边中点直角三角形，等腰三角形，斜边中点”三个结论中两个可以推出另一个成立三个结论中两个可以推出另一个成立.1.定义定义 三边相等的三角形叫做等边三角形或正三角形三边相等的三角形叫做等边三角形或正三角形.2.性质性质(1)等边三角形的三条边都相等；等边三角形的三条边都相等；(2)等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于于60；知识点知识点等边三角形的定义及性质等边三角形的
11、定义及性质3(3)等边三角形是轴对称图形，它有等边三角形是轴对称图形，它有3 条对称轴，分别条对称轴，分别为三边的垂直平分线；为三边的垂直平分线；(4)各边上的高线、中线、对应的角平分线重合，且长各边上的高线、中线、对应的角平分线重合，且长度相等度相等.特别解读等边三角形等边三角形是特殊的等腰三角形，具备等腰是特殊的等腰三角形，具备等腰三角形的所有性质：三角形的所有性质：(1)任意两边都可以作为腰；任意两边都可以作为腰；(2)任意一个角都可以作为顶角；任意一个角都可以作为顶角；(3)任意一边上都有任意一边上都有“三线合一三线合一”.如图如图2.5-4，ABC是等边三角形，是等边三角形，D、E、
12、F分别是分别是边边AB、AC、BC上的点，且上的点，且DEAC、EFBC、FDAB，计算，计算DEF各个内角的度数各个内角的度数.例 3解题秘方：解题秘方：紧扣等边三角形的三紧扣等边三角形的三个内角都等于个内角都等于60，求角的度数，求角的度数.解：解：ABC是等边三角形，是等边三角形，ABC60.DEAC，EFBC，FDAB，AEDEFCFDB90，ADE90A906030，EDF180ADEFDB180309060.同理可得同理可得DEFEFD60.DEF各个内角的度数都是各个内角的度数都是60.解法提醒等边三角形等边三角形的三个内角都等于的三个内角都等于60，为三角形，为三角形的内角直接
13、提供了角的条件的内角直接提供了角的条件.若同时要运用三个内角，若同时要运用三个内角，只需以一个角为例计算，其余可同理得到只需以一个角为例计算，其余可同理得到.如图如图2.5-5，等边三角形，等边三角形ABC的边长为的边长为3，D是是AC的中的中点，点点，点E在在BC的延长线上的延长线上.若若DEDB，求，求CE的长的长.解题秘方：解题秘方：利用等边三角形利用等边三角形“三线合一三线合一”的性质将未知的性质将未知线段向已知线段转化线段向已知线段转化.例 4方法点拨等边三角形等边三角形的任何一边上都有的任何一边上都有“三线合一三线合一”的的性质，有时要运用的和已知的不一致，需要通过性质，有时要运用
14、的和已知的不一致，需要通过“三线合一三线合一”的性质将未知线段向已知线段转化的性质将未知线段向已知线段转化.1.判定定理判定定理1 三个角都相等的三角形是等边三角形三个角都相等的三角形是等边三角形.几何语言：如图几何语言：如图2.5-6，在，在ABC中，中，ABC，ABC是等边三角形是等边三角形.知识点知识点等边三角形的判定等边三角形的判定42.判定定理判定定理2 有有一个角是一个角是60的等腰三角形的等腰三角形是是等边三角形等边三角形.几何语言：如图几何语言：如图2.5-6，在，在ABC中，中，ABAC，A60(或或B60或或C60)，ABC是等边三角形是等边三角形.证明等边三角形的思维导图
15、：证明等边三角形的思维导图：三角形三角形思路思路1：三边相等：三边相等思路思路2：三角相等：三角相等等边三角形等边三角形三角形三角形等腰三角等腰三角形的判定形的判定等腰三角形等腰三角形有一个角等有一个角等于于60等边三角形等边三角形特别解读(1)在等腰三角形中，只要有一个角是在等腰三角形中，只要有一个角是60，无论，无论这个角是顶角还是底角，判定定理这个角是顶角还是底角，判定定理2都成立都成立.(2)等边三角形的判定方法：等边三角形的判定方法：若若已知三边关系，一般选用定义判定；已知三边关系，一般选用定义判定；若若已知三角关系，一般选用判定定理已知三角关系，一般选用判定定理1判定；判定；若若已
16、知三角形是等腰三角形，一般选用判定已知三角形是等腰三角形，一般选用判定定理定理2判定判定.如图如图2.5-7，在等边三角形在等边三角形ABC中，中，ABC和和ACB的平分线相交于点的平分线相交于点O，OB、OC的垂直平分线分别交的垂直平分线分别交BC于点于点E、F，连接，连接OE、OF.求证：求证：OEF是等边三角形是等边三角形.例 5解题秘方：解题秘方：利用等边三角形的判定定理利用等边三角形的判定定理1，通过求通过求OEFOFEEOF60，得到，得到OEF是等边三角形是等边三角形.证明：证明：ABC是等边三角形，是等边三角形，ABCACB60.CO、BO分别平分分别平分ACB、ABC，OBE
17、OCF30.OB、OC的垂直平分线分别交的垂直平分线分别交BC于点于点E、F，OEBE，OFCF，BOEOBE30，COFOCF30.OEFBOEOBE60，OFECOFOCF60.EOF180OEFOFE60，OEF是等边三角形是等边三角形.教你一招(1)从角的角度证明三角形是等边三角形的两条思路：从角的角度证明三角形是等边三角形的两条思路：一是证明三角形的三个内角相等；一是证明三角形的三个内角相等；二是求出三角形的三个内角的度数都是二是求出三角形的三个内角的度数都是60.(2)在已知的等边三角形内部判定某个三角形是等边在已知的等边三角形内部判定某个三角形是等边三角形时，原等边三角形的三个内
18、角为三角形时，原等边三角形的三个内角为60，为求新等边，为求新等边三角形的内角度数提供了条件三角形的内角度数提供了条件.如图如图2.5-8，C为线段为线段AB上一点，上一点，ACM和和CBN都都是等边三角形，是等边三角形，AN、MC相交于点相交于点E，BM、CN相交相交于点于点F.求证：求证：例 6(1)ANMB；解题秘方：解题秘方：要证要证ANMB，只需证，只需证ACN MCB；(2)CEF是等边三角形是等边三角形.解题秘方：解题秘方：根据已知条件，根据已知条件，易求易求 ECF60，故证明故证明ECF为等腰三角形即可为等腰三角形即可.知识点知识点直角三角形斜边上的中线的性质直角三角形斜边上
19、的中线的性质5(1)在直角三角形中，有斜边上的中点，通常考虑运用在直角三角形中，有斜边上的中点，通常考虑运用这一性质解题这一性质解题.(2)根据性质可知直角三角形斜边上的中线将直角三角根据性质可知直角三角形斜边上的中线将直角三角形分成两个等腰三角形形分成两个等腰三角形.特别提醒此此性质在填空和选择题中可以直接应用，在性质在填空和选择题中可以直接应用，在解答题中需要取斜边上的中线，构造等腰三角形解答题中需要取斜边上的中线，构造等腰三角形证明线段的倍分关系和计算角的度数证明线段的倍分关系和计算角的度数.特别警示应用应用含含30角的直角三角形的性质是求线段角的直角三角形的性质是求线段长度和证明线段倍
20、分关系的重要方法长度和证明线段倍分关系的重要方法.中考中考淮安淮安 如图如图2.5-11，在，在ABC中，中，ABAC，BAC的平分线交的平分线交BC于点于点D，E为为AC的中点，若的中点，若 AB10，则，则DE的长是的长是()A.8B.6C.5D.4例 7解题秘方：解题秘方：先利用等腰三角形的先利用等腰三角形的“三线合一三线合一”性质得出性质得出AD BC，再由直角三角形斜边中线的性质可求出，再由直角三角形斜边中线的性质可求出DE的长的长答案：答案：C方法点拨可以可以运用运用“直角三角形斜边上的中线等于直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半斜边的一半”解决的问题往往具有两个明显特征：解决的问题往往具有两个明显特征：一是有直角一是有直角(直角三角形或待证明的直角直角三角形或待证明的直角)，二是，二是有中点有中点(斜边上的中线斜边上的中线).等腰等腰三角形三角形两边相等两边相等性质性质等边对等角等边对等角三线合一三线合一判定判定等角对等边等角对等边三线中的二线合一三线中的二线合一互逆互逆等边等边三角形三角形判定判定性质性质必做必做:请完成教材课后请完成教材课后练习练习补充补充:请完成请完成典中点典中点点拨训练点拨训练本课时本课时习题习题作业作业1 1作业作业2 2知识是力量知识是力量，梦想梦想是翅膀。是翅膀。
