1、2.1 2.1 有理数的加法与减法有理数的加法与减法第第2 2章章 有理数有理数的运算的运算感悟新知感悟新知知识点知识点有理数的加法有理数的加法知知1 1讲讲11.有理数加法法则有理数加法法则(1)同同号两数相加，取号两数相加，取相同的符号相同的符号，并把，并把绝对值相加绝对值相加.(2)绝对值绝对值不相等的异号两数相加，取不相等的异号两数相加，取绝对值较大的绝对值较大的加数加数的的符号符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值并用较大的绝对值减去较小的绝对值.互互为相为相反反数的两个数相加得数的两个数相加得0.(3)一一个数同个数同0 相加，仍得这个数相加，仍得这个数.感悟新知感悟新知知知1 1
2、讲讲2.有理数加法运算的各种情况如下表有理数加法运算的各种情况如下表和和用字母表示用字母表示符号符号绝对值绝对值同号两数同号两数相加相加取相同的取相同的符号符号相加相加若若a0，b0，则，则ab(|a|b|)若若a0，b0，b|b|，则则ab(|a|b|)若若a0，且，且|a|b|，则则ab(|a|b|)互为相互为相反数反数0若若a0，bb，那，那么么ab的值为的值为()A.7 B.7C.1 D.7 或或1D感悟新知感悟新知知知1 1练练解解：(19)(91)(1991)110.(2.4)(2.4)0.感悟新知感悟新知知知1 1练练列式计算：列式计算：(1)求比求比18大大30的的数；数；(2
3、)求求绝对值大于绝对值大于2.6而而小于小于5.3的的所有负数之和所有负数之和.例 2解题秘方解题秘方：根据题意列式计算，理解题意是解题的关键根据题意列式计算，理解题意是解题的关键.解：解：(1)(18)(30)(1830)48.(2)(3)(4)(5)(3 4 5)12.感悟新知感悟新知知知1 1练练感悟新知感悟新知知知1 1练练(2)从从水面开始，某水面开始，某潜水员潜水员先潜入水下先潜入水下61 m，然后，然后又又上升上升 30 m，这时潜水员这时潜水员在什么位置？在什么位置？解：解：由由题意，可将潜入水下题意，可将潜入水下61 m记作记作61 m，上升，上升30m记作记作30 m，则，
4、则6130(6130)31(m)所以这时潜水员在水下所以这时潜水员在水下31 m处处感悟新知感悟新知知知2 2讲讲知识点知识点有理数的加法运算律有理数的加法运算律21.有理数的加法运算律有理数的加法运算律运算律运算律文字语言文字语言符号语言符号语言加法交加法交换律换律两个数相加，交换加数两个数相加，交换加数的位置，和不变的位置，和不变abba加法结加法结合律合律三个数相加，先把前两三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后个数相加，或者先把后两个数相加，和不变两个数相加，和不变(ab)ca(bc)感悟新知感悟新知知知2 2讲讲2.有理数加法运算律的运用技巧有理数加法运算律的运用技巧灵活运用有理数
5、的加法运算律，能使运算过程简化，灵活运用有理数的加法运算律，能使运算过程简化，通通常常有以下规律：有以下规律：互为相反数的两数先相加互为相反数的两数先相加“相反数结合法相反数结合法”；符号相同的数先相加符号相同的数先相加“同号结合法同号结合法”；分母相同的数先相加分母相同的数先相加“同形结合法同形结合法”；感悟新知感悟新知知知2 2讲讲相加能得到整数的数先相加相加能得到整数的数先相加“凑整法凑整法”；带分数相加时，先拆成整数和真分数的和，再利用带分数相加时，先拆成整数和真分数的和，再利用加法加法的运算律进行相加的运算律进行相加“拆项结合法拆项结合法”.感悟新知感悟新知知知2 2讲讲特别提醒特别
6、提醒1.有理数的加法有理数的加法运算律运算律不但适用于两不但适用于两个数个数或三个数相加，或三个数相加，而且而且适用于三个以上有理数相加适用于三个以上有理数相加.2.利用有理数的利用有理数的加法交换律加法交换律时，要时，要适当加适当加括号，括号，如如6.62(3.4)2(6.6)(3.4).3.根据需要灵活根据需要灵活运用加法运用加法运算律，可以运算律，可以达到达到简化计算简化计算的的 目的目的.感悟新知感悟新知知知2 2练练解题秘方解题秘方：先找相反数，然后利用加法的交换律和先找相反数，然后利用加法的交换律和结合律将结合律将相反数结合计算相反数结合计算.例 3同分母相结合同分母相结合.感悟新
7、知感悟新知知知2 2练练3-1.计算：计算：(1)25.7(7.3)(13.7)7.3；(2)(3)(2)(1)012；(3)143(87)27(143).解解：原式：原式25.7(13.7)(7.3)7.312012.原式原式(3)(2)2(1)103.原式原式143(143)(87)270(60)60.感悟新知感悟新知知知2 2练练计算：计算：43(77)37(23).例 4解题秘方解题秘方：先把正数、负数分别结合，再计算先把正数、负数分别结合，再计算.解：解：原式原式(4337)(77)(23)80(100)20.感悟新知感悟新知知知2 2练练4-1.计算：计算：(1)18(17)7(8
8、)；(2)23(17)6(22).解解：原式：原式(187)(17)(8)25(25)0.原式原式(236)(17)(22)29(39)10.感悟新知感悟新知知知2 2练练解题秘方解题秘方：将同分母的分数结合在一起计算将同分母的分数结合在一起计算.例 5感悟新知感悟新知知知2 2练练感悟新知感悟新知知知2 2练练感悟新知感悟新知知知2 2练练例 6感悟新知感悟新知知知2 2练练解解：原式：原式(3.14)2.144.96(7.96)(1)(3)4.感悟新知感悟新知知知2 2练练例 7感悟新知感悟新知知知2 2练练解题秘方：解题秘方：从分析材料中的计算方法，先将带分数拆分为从分析材料中的计算方法
9、，先将带分数拆分为一个一个整数和一个真分数的和，然后重新组合整数和一个真分数的和，然后重新组合分组分组(整数整数一一组组，分数，分数一一组组)，最后分别计算求值最后分别计算求值.感悟新知感悟新知知知2 2练练感悟新知感悟新知知知2 2练练感悟新知感悟新知知知2 2练练感悟新知感悟新知知知2 2练练公路养护小组开车沿南北公路巡视维护，公路养护小组开车沿南北公路巡视维护，某某天早晨天早晨从从A地地出发，出发，晚上到达晚上到达B地地，规定向北为正方向，规定向北为正方向，当天当天的行驶记录的行驶记录如下如下(单位单位：km)：18，9，7，14，15，6，8.例 8感悟新知感悟新知知知2 2练练(1)
10、问问B地地在在A地地的哪个方向，的哪个方向，距离多少千米距离多少千米？解题秘方：解题秘方：直接把原数相加，和为正，则在直接把原数相加，和为正，则在A地的北边地的北边；和为负，则在和为负，则在A地地的南边的南边.解：解：(18)(9)(7)(1 4)(15)(6)(8)(18)(7)(15)(9)(14)(6)(8)(40)(37)3(km).故故B地地在在A地地的北边的北边3 km处处感悟新知感悟新知知知2 2练练(2)若若汽车每千米耗油汽车每千米耗油a L，求该天共耗油多少升求该天共耗油多少升.解题秘方：解题秘方：把原数的绝对值相加，再乘把原数的绝对值相加，再乘a.解：解：(|18|9|7|
11、14|15|6|8|)a(1897141568)a77a(L).故该天共耗油故该天共耗油77a L感悟新知感悟新知知知2 2练练8-1.某气象员为了某气象员为了掌握掌握某一周内天某一周内天气的气的变化情况变化情况，测量了这周从，测量了这周从星期一星期一到星期日的最低到星期日的最低气温气温.下表是这周内的下表是这周内的最低最低气温的变气温的变化化情况情况(正数表示比前一日最低正数表示比前一日最低气温气温上升上升,负数表示比负数表示比前一日前一日最低气温最低气温下降下降)：星期星期气温变化气温变化/一一2二二1三三2四四4五五2.5六六1日日0.5感悟新知感悟新知知知2 2练练试分析这周内最低试分
12、析这周内最低气温的气温的总体变化情况总体变化情况.解：解：2(1)(2)4(2.5)10.52(2)(1)14(2.5)0.5004(2)2()所以这周内最低气温总体上升了所以这周内最低气温总体上升了2.感悟新知感悟新知知知3 3讲讲知识点知识点有理数的减法有理数的减法31.有理数减法法则有理数减法法则减去一个数，等于加上这个数的相反数减去一个数，等于加上这个数的相反数.用字母表示：用字母表示：ab a(b)，其中其中a，b表示表示任意任意有有 理理数数.感悟新知感悟新知知知3 3讲讲特别特别提醒：有理数的减法是有理数的加法的逆运算，提醒：有理数的减法是有理数的加法的逆运算，进行进行减法运算时
13、，常将减法转化为加法再计算，转化减法运算时，常将减法转化为加法再计算，转化过程过程中，中，应注意应注意“两变一不变两变一不变”.“两变两变”是指运算是指运算符号符号“”号变成号变成“”号，减数变成它的相反数；号，减数变成它的相反数；“一不变一不变”是指被减数是指被减数不变不变.感悟新知感悟新知知知3 3讲讲特别解读特别解读有理数的减法，有理数的减法，需要需要先将减法转化为先将减法转化为加法加法，再按有理，再按有理数的数的加法加法法则和运算律计算法则和运算律计算.有理数的减法有理数的减法在转化在转化为加法之前，为加法之前，被减数被减数与减数的位与减数的位置置不能不能改变改变.感悟新知感悟新知知知
14、3 3讲讲2.两数相减差的符号两数相减差的符号(1)较大数较小数正数较大数较小数正数，即若，即若ab，则，则ab 0.(2)较小数较大数负数较小数较大数负数，即若，即若ab，则，则ab 0.(3)相等相等的两个数的差为的两个数的差为0，即若，即若ab，则，则ab 0.感悟新知感悟新知知知3 3练练例 9解题秘方解题秘方：将减法转化为加法，然后利用加法法将减法转化为加法，然后利用加法法则计算则计算.感悟新知感悟新知知知3 3练练被减数大于减被减数大于减数，差为正数数，差为正数;被减数小于减被减数小于减数，差为负数数，差为负数.交换被减数与减数交换被减数与减数的的位置位置，差互为相反数，差互为相反
15、数.0减去一个数等于减去一个数等于这个数这个数的的相反数相反数.感悟新知感悟新知知知3 3练练9-1.中考中考临沂临沂 计算计算(7)(5)的结果是的结果是()A.12 B.12C.2 D.2C感悟新知感悟新知知知3 3练练解解：(18)(12)18(12)30.(47)(84)(47)8437.感悟新知感悟新知知知3 3练练感悟新知感悟新知知知3 3练练下列说法中正确的下列说法中正确的有有()减去一个负数等于加上这个负数的相反数减去一个负数等于加上这个负数的相反数；正正数减负数，数减负数，差为正数差为正数；0 减去一个数，减去一个数，仍得这个仍得这个数数；两数相减，两数相减，差小于被减数差小
16、于被减数；两数相减，两数相减，差差不一定小于被减数不一定小于被减数；互为相反数的两数相减差一互为相反数的两数相减差一定为定为0.A.2个个 B.3 个个 C.4个个 D.5个个例10感悟新知感悟新知知知3 3练练解题秘方解题秘方：根据有理数减法法则逐一分析即可根据有理数减法法则逐一分析即可.解：解：根据有理数减法法则可知，减去一个负数等于根据有理数减法法则可知，减去一个负数等于加上这加上这个个负数的相反数，故正确；负数的相反数，故正确；正数减负数等于正数加正数，因此差为正数，故正确；正数减负数等于正数加正数，因此差为正数，故正确；0 减去一个数，得这个数的相反数，故不正确；减去一个数，得这个数
17、的相反数，故不正确；感悟新知感悟新知知知3 3练练两数相减，差不一定小于被减数，只有减数是正数两数相减，差不一定小于被减数，只有减数是正数时差时差才才小于被减数，故不正确，正确；小于被减数，故不正确，正确；互为相反数的两数相加和一定为互为相反数的两数相加和一定为0，但是它们的差，但是它们的差不一定不一定为为0，故不正确，故不正确.所以正确的说法是所以正确的说法是.答案：答案：B感悟新知感悟新知知知3 3练练10-1.如果如果ab0，且，且ab|a|B.a为为负数负数,且且|b|a|D.b为为正数正数,且且|b|0，b0，则，则ab0B.若若a0，b0C.若若a0，则，则ab0D.若若a0，b0
18、，且且|a|b|，则，则ab0D感悟新知感悟新知知知4 4讲讲知识点知识点有理数的加减混合运算有理数的加减混合运算41.有理数加减混合运算的方法有理数加减混合运算的方法(1)运用运用减法法则，将有理数加减混合运算中的减法减法法则，将有理数加减混合运算中的减法转化转化为加法，转化为加法后的式子是为加法，转化为加法后的式子是几个正数或几个正数或负数的负数的和和的形式的形式.(2)运用运用加法交换律加法交换律、加法结合律加法结合律进行计算，使运算简便进行计算，使运算简便.感悟新知感悟新知知知4 4讲讲2.省略和式中的加号和括号省略和式中的加号和括号将有理数的加减混合运算将有理数的加减混合运算统一成加
19、法运算统一成加法运算时，在和式时，在和式里里可以可以把加号及加数的括号省略不写，以简化书写形式把加号及加数的括号省略不写，以简化书写形式.如如(20)(3)(2)(5)可以可以写写成成20325.这个式子有两种读法：这个式子有两种读法：(1)按按加法的结果来读：负加法的结果来读：负20、负负3、正、正2、负、负5的的和；和；(2)按按运算来读：负运算来读：负20减减3加加2减减5.感悟新知感悟新知知知4 4讲讲3.有理数有理数加减混合运算的一般步骤加减混合运算的一般步骤(1)将将有理数加减混合运算统一成加法运算；有理数加减混合运算统一成加法运算；(2)省略省略括号及括号前面的加号；括号及括号前
20、面的加号；(3)按照按照有理数的加法运算律和加法法则进行运算有理数的加法运算律和加法法则进行运算.感悟新知感悟新知知知4 4讲讲方法点拨方法点拨1.有理数加减混合有理数加减混合运算运算的关键两步：的关键两步：第第1步步统一为加法统一为加法；第；第2步运用加法步运用加法运算运算律律.2.改写算式时，运算改写算式时，运算符号符号中的加号可以中的加号可以省略省略，但必须保留，但必须保留性质符号性质符号.感悟新知感悟新知知知4 4练练例11感悟新知感悟新知知知4 4练练解题秘方解题秘方：本题首先运用减法法则把加减混合本题首先运用减法法则把加减混合运算运算转化成转化成加法运算，然后再写成省略加号和加法运
21、算，然后再写成省略加号和括号的形式括号的形式.感悟新知感悟新知解：解：(1)6(3)(2)(6)(7)6(3)(2)(6)(7)6 3267.读法一：负读法一：负6、正、正3、负、负2、负、负6、正、正7的的和；和；读法二：负读法二：负6 加加3 减减2 减减6 加加7.知知4 4练练感悟新知感悟新知知知4 4练练感悟新知感悟新知知知4 4练练11-1.下列式子可读下列式子可读作作“负负1、负、负3、正、正6、负、负8的的和和”的的是是()A.1(3)(6)(8)B.1368C.1(3)(6)8D.1(3)6(8)B感悟新知感悟新知知知4 4练练11-2.把把(5)(3)(2)(7)写写成成省
22、略省略加号和括号的加号和括号的形式是形式是()A.5327B.5327C.5327D.5327C感悟新知感悟新知知知4 4练练例12解题秘方解题秘方：结合题目的特征，结合题目的特征，巧用运算律巧用运算律进行计算进行计算.感悟新知感悟新知解：解：(1)2.7(8.5)(3.4)(1.2)2.78.53.41.2(2.71.2)(8.53.4)3.911.98.知知4 4练练同号结合法同号结合法感悟新知感悟新知知知4 4练练凑整法凑整法相反数结合法相反数结合法感悟新知感悟新知知知4 4练练解解：原式：原式25.37.313.77.37.37.325.313.711.6.感悟新知感悟新知知知4 4练
23、练感悟新知感悟新知知知4 4练练12-2.列式计算，列式计算，有理数有理数10，5，6 的的绝对值绝对值的和比的和比它们和的它们和的绝对值绝对值大多少？大多少？解：解：(|10|5|6|)|(10)(5)(6)|21120，有理数有理数10，5，6的绝对值的和比它们和的绝对的绝对值的和比它们和的绝对值大值大20.感悟新知感悟新知知知5 5讲讲知识点知识点数轴上两点之间的数轴上两点之间的距离距离(拓展点拓展点)5数轴上，点数轴上，点A，B分别分别表示数表示数a，b，则，则A，B两两点点之间之间的距离为线段的距离为线段AB的的长度，长度，AB|ab|.如图如图2.1-1.感悟新知感悟新知知知5 5
24、讲讲特别提醒特别提醒两点之间的距离两点之间的距离是连接是连接两点之间线段两点之间线段的长度的长度，是个正数是个正数.所以所以(1)当当ab时，时，ABab；(2)当当ab时，时，ABba.感悟新知感悟新知知知5 5练练如图如图2.1-2，A，B两两点间的点间的距离是距离是多少多少？B，C两两点点间的距离是多少？间的距离是多少？例13感悟新知感悟新知知知5 5练练解题秘方解题秘方：数轴上两点间的距离就是这两点表数轴上两点间的距离就是这两点表示的数示的数的差的差的绝对值的绝对值.感悟新知感悟新知知知5 5练练感悟新知感悟新知知知5 5练练13-1.中考中考南京南京 数轴数轴上点上点A，B表示的数表示的数分别是分别是5，3，它们之间它们之间的距离可以的距离可以表示为表示为()A.35 B.35C.|35|D.|35|D感悟新知感悟新知知知5 5练练13-2.已知已知A，B是数轴是数轴上的两点，上的两点，A点表示的点表示的数数是是5，A，B两点之间两点之间的距离是的距离是6，则，则B点点表示的数表示的数为为_.1或或11课堂小结课堂小结有理数的加法与减法有理数的加法与减法有理数有理数的加法的加法法则法则运算律运算律交换律交换律结合律结合律有理数有理数的减法的减法法则法则加加减减混混合合运运算算
