1、 1 高三数学教师一对一辅导讲义 知知 识识 梳梳 理理 一一. . 数列数列思维导图思维导图 学员姓名 年 级 高三 上课时间 辅导科目 数学 学科教师 课 题 数列综合复习 2 热热 身身 训训 练练 1已知数列 123 19aaa、 、 、 、成等差数列， 123 19bbb、 、 、 、成等比数列，则 2 2 a b _ 2已知数列 n a满足 1 1 2,0 2 1 21,1 2 nn n nn aa a aa ，若 1 3 5 a ，则 2019 a_ 3设 n a是等差数列，若 a4a5a621，则 S9_. 4已知数列 n a的前n项和为 n S，且满足 2 4(1) (1)(
2、2) nn nSna，则数列 n a的 通项公式为_ 类型 1 等差数列公差d的范围与数列最大值 例例 1 1定义 1 12 22n n n aaa H n 为数列 n a的均值，已知数列 n b的均值 1 2n n H ， 记数列 n bkn的前n项和是 n S,若 5n SS对于任意的正整数n恒成立，则实数k的取值 范围是 变式训练：变式训练： （1）已知等差数列的首项为 31，若从第 16 项开始小于 1，则此数列的公差 d 取 值范围是_. 3 （2） 已知在等差数列 n a中， 首项为 23， 公差是整数， 从第七项开始为负项， 则公差为_ _. 类型 2 数列求和 例例 2已知正项
3、等比数列 n a的公比1q ，且满足 2 6a ， 132435 2900a aa aa a， 设数列 n a的前n项和为 n S，若不等式1 nn aS 对一切 * nN恒成立，则实数的最 大值为_ 变式训练：变式训练： （2019 届无锡期中 10） 九章算术中研究盈不足问题时，有一道题是“今有桓厚 五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢？” 题意即为“有厚墙五尺，两只老鼠从墙的两边分别打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每 天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半，问几天后两鼠相遇？”一古城墙某处厚 33 尺，大小老鼠按上述方式打洞，相遇时是第_天.
4、 类型 3 数列中的函数特性 例例 3 3 函数 f(x) (3a)x3，x7， ax-6，x7. 若数列an满足 anf(n) (nN*)， 且an是递增数列， 则实数 a 的取值范围是_ 4 例例 4 4. .已知函数 sintanf xxx， 项数为31的等差数列 n a满足(,) 2 2 n a ， 且公差 0d ，若 1231 .0f af af a，则当k _时，0 k f a 变式训练：变式训练：1.九章算术中有如下问题：今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长 1尺蒲 生日自半，莞生日自倍问几何日而长等？意思是：今有蒲第一天长高 3 尺，莞第一天长高 1 尺，以后蒲每天长高前一天的一
5、半，莞每天长高前一天的 2倍若蒲、莞长度相等，则所 需时间为_（结果精确到 0.1参考数据：lg20.3010，lg3=0.4771 ） 2.2.已知奇函数( )f x是定义在R上的增函数，数列 n x是一个公差为 2 的等差数列，满足 891011 ()()()()0f xf xf xf x，则 2018 x的值等于. 数列的综合训练数列的综合训练 例例 5.已知数列的前n项和 n S满足：) 1(2 nn aS，数列 n b满足：对任意 Nn有 22) 1( 1 2211 n nn nbababa （1）求数列 n a与数列 n b的通项公式； （2）记 n n n a b c ，数列 n
6、 c的前n项和为 n T，证明：当6n时，12 n Tn 5 例例 6 （2019 届苏州期中 19）已知数列 n a的首项为 1，定义：若对任意的 * nN，数列 n a 满足 1 3 nn aa ，则称数列 n a为“M 数列” （1）已知等差数列 n a为“M 数列”，其前n项和Sn满足 2 S22 n nn * nN，求数列 n a 的公差d的取值范围； （2） 已知公比为正整数的等比数列 n a为“M 数列”， 记数列 n b满足 3 4 nn ba， 且数列 n b 不为“M 数列，求数列 n a的通项公式 变式训练：变式训练：设数列 n a的前n项和0 n S，1 1 a，3 2
7、 a，且当2n时， nnnnn Saaaa)( 11 （1）求证:数列 n S是等比数列，并求数列 n a的通项公式； （2）令 ) 3)(3( 9 1 nn n n aa a b，记数列 n b的前n项和为 n T，求 n T； （3）利用第二问结果，设是整数，问是否存在正整数n，使等式 8 7 5 3 1 n n a T 成立？ 若存在，求出n和相应的值；若不存在，说明理由 6 微专题构造新数列构造新数列 例例1.1. 已知 Sn是等差数列an的前 n 项和，若 1 a2014，S2 014 2 014 S2 008 2 0086，则 S2 017_. 例例 2 数列 n a中， 1 2a
8、 ， 且 1 1 2 (2 ) nn nn n aan aa ， 则数列 2 1 1 n a 前 2019 项和= _ 例例 3若数列an的前 n 项和为 Sn，且满足 an2SnSn10(n2)，a11 2.数列an 的通项公式为_ 课后综合训练课后综合训练 1.某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司 2015 年全年投入研发资金 130 万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长 12%，则该公司全年投入的研发资 金开始超过 200 万元的年份是_.(参考数据：lg1.120.05，lg1.30.11，lg2 0.30) 2.已知函数 2 ( )logf xx，正项等比
9、数列 n b的公比为 2，若 12 1420 ()4f b bb，则 111220 ()()() 2 f bf bf b . 7 3.已知数列 n a满足 12 1 1, 2 aa，且 1111 ()2(2) nnnnn a aaaan ，则 2018 a. 4.若正项等比数列 n a满足 765 2aaa，且存在,m n使得 1 2 2 mn a aa，则 14 mn 的 最小值是. 5 （2019 届苏州期初 19） 已知数列 n a的奇数项是首项为1的等差数列， 偶数项是首项为2 的等比数列，数列 n a前n项和为 n S，且满足 34 Sa， 523 aaa (1)求数列 n a的通项
10、公式； (2)若 12mmm a aa ，求正整数m的值； (3)是否存在正整数m，使得 2 21 m m S S 恰好为数列 n a中的一项？若存在，求出所有满足 条件的m值，若不存在，说明理由. 参考答案参考答案 8 热身训练：热身训练：1 1- -4 4 5 3 2 5 63 3 (1) n an 例例 1 1. . 73 , 12 5 变式训练： （变式训练： （1 1） 15 , 2 7 ； （； （2 2）- -4 4 例例 2 2. . 4 3 变式训练：变式训练：6 6 例例 3 3. .（2,2,3 3）例例 4 4. .1616 变式训练：变式训练：1 1. .2.62.6
11、 2.2.40174017 数列的综合训练：数列的综合训练：例例 5 5. .（1 1）2 ,; n nn abn（2 2）证明（略）证明（略）. . 例例 6 6. .（1 1）3,4（2 2） 1 5n n a . . 变式训练： （变式训练： （1 1） 1 1(1) 3 4(2) n n n a n ； （； （2 2） 1 71 841 n n T ； （； （3 3）2,4.n 微专题：例微专题：例 1 1- -例例 3 3： 40344034 2019 1010 1 (1) 2 1 (2) 2 (1) n n a n n n 课后综合训练：课后综合训练：1 1- -4 4 2019820198 1 2018 11 6 5 5. .(1)(1) 1 2 () 2 3() n n nn a n 为奇数 为偶数 ； （； （2 2）2 2； （； （3 3）1 1 或或 2 2
