1、 中考数学 4.3 等腰三角形与直角三角形 考点一 等腰三角形 1.(2020四川南充,6,4分)如图,在等腰ABC中,BD为ABC的平分线,A=36,AB=AC=a,BC=b,则CD= ( ) A. B. C.a-b D.b-a 2 ab- 2 a b 答案答案 C AB=AC,A=36,ABC=C=72, BD为ABC的平分线, ABD=DBC=ABC=36, BDC=72=C,ABD=A, BD=BC,BD=AD,AD=BC=b, CD=AC-AD=a-b.故选C. 1 2 2.(2018四川成都,11,4分)等腰三角形的一个底角为50,则它的顶角的度数为 . 答案答案 80 解析解析
2、等腰三角形的两底角相等,一个底角为50, 180-502=80,顶角为80. 3.(2019四川成都,12,4分)如图,在ABC中,AB=AC,点D,E都在边BC上,BAD=CAE,若BD=9,则CE的长 为 . 答案答案 9 解析解析 AB=AC,B=C. 又BAD=CAE,BADCAE(ASA), CE=BD=9. 4.(2020辽宁营口,17,3分)如图,ABC为等边三角形,边长为6,ADBC,垂足为点D,点E和点F分别是线段 AD和AB上的两个动点,连接CE,EF,则CE+EF的最小值为 . 答案答案 3 3 解析解析 过C作CFAB于点F,交AD于E,此时CE+EF的值最小,且CE+
3、EF的最小值为CF的长. ABC为等边三角形,边长为6, BF=AB=6=3, CF=3, CE+EF的最小值为3. 1 2 1 2 22 -BC BF 22 6 -33 3 解题关键解题关键 解决本题的关键是将CE+EF的最小值转化为点C到直线AB的距离,进而借助勾股定理求出 线段CF的长. 5.(2020黑龙江齐齐哈尔,15,3分)等腰三角形的两条边长分别为3和4,则这个等腰三角形的周长是 . 答案答案 10或11 解析解析 等腰三角形的两条边长分别为3和4,计算周长分两种情况讨论: 若3为腰长,则4为底边长,此时周长为3+3+4=10; 若4为腰长,则3为底边长,此时周长为4+4+3=1
4、1. 故其周长为10或11. 6.(2019黑龙江齐齐哈尔,16,3分)等腰ABC中,BDAC,垂足为点D,且BD=AC,则等腰ABC底角的度 数为 . 1 2 答案答案 15或45或75 解析解析 如图1,当BA=BC时, BDAC, AD=CD=AC. BD=AC, AD=BD=CD, A=C=(180-90)=45. 1 2 1 2 1 2 图1 如图2,当AB=AC且A为锐角时, BD=AC=AB, A=30, ABC=ACB=75. 1 2 1 2 图2 如图3,当AB=AC且BAC为钝角时, BD=AC=AB, BAD=30, ABC=ACB=30=15. 同理,当BC=AC时,可
5、求得CBA=CAB=75或15. 故答案为15或45或75. 1 2 1 2 1 2 图3 方法点拨方法点拨 等腰三角形中没有指明顶角、底角或者没有指明底边、腰的都需要分类讨论. 7.(2019吉林,24,8分)性质探究 如图1,在等腰三角形ABC中,ACB=120,则底边AB与腰AC的长度之比为 . 理解运用 (1)若顶角为120的等腰三角形的周长为8+4,则它的面积为 ; (2)如图2,在四边形EFGH中,EF=EG=EH. 求证:EFG+EHG=FGH; 在边FG,GH上分别取中点M,N,连接MN.若FGH=120,EF=10,直接写出线段MN的长. 3 类比拓展 顶角为2的等腰三角形的
6、底边与一腰的长度之比为 (用含的式子表示). 解析解析 性质探究 .(2分) 理解运用 (1)4.(3分) (2)证明:EF=EG=EH, EFG=EGF,EGH=EHG.(5分) EFG+EHG=EGF+EGH=FGH.(6分) 5.(7分) 提示:由可知EFG+EHG=FGH. FGH=120,EFG+EHG=120. FEH+EFG+EHG+FGH=360, FEH=120. 连接FH. 3 3 3 EF=EH, EFH是顶角为120的等腰三角形,由性质探究可知FH=EF. 又EF=10,FH=10. M,N分别为FG和GH的中点, MN为FHG的中位线, MN=FH=5. 类比拓展 2
7、sin .(8分) 3 3 1 2 3 提示:如图,作ADBC于点D, BAD=,BD=ABsin , BC=2ABsin , 底边BC与腰AB的长度之比为2sin . 评分说明评分说明 结果写成1,2sin 1不扣分. 3 考点二 直角三角形 1.(2020河北,16,2分)如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案.现有五种 正方形纸片,面积分别是1,2,3,4,5,选取其中三块(可重复选取)按图中的方式组成图案,使所围成的三角形 是面积最大的直角三角形,则选取的三块纸片的面积分别是( ) A.1,4,5 B.2,3,5 C.3,4,5 D.2,2,4 答案答案 B 围
8、成的三角形的三边长就是正方形纸片的边长,根据勾股定理可知选取的三块纸片的面积的 关系为两个面积较小的正方形纸片的面积和等于最大的正方形纸片的面积,所以选项C不符合题意.其 他三个选项,A选项中,直角三角形的面积为1;B选项中,直角三角形的面积为;D选项中,直角三角形的 面积为1,所以选取的三块纸片的面积分别是2,3,5时,所围成的三角形面积最大,故选B. 6 2 解题关键解题关键 熟练掌握勾股定理在直角三角形中的应用,以及直角三角形面积的计算是解本题的关键. 2.(2020贵州贵阳,16,8分)如图,在44的正方形网格中,每个小格的顶点叫做格点,以格点为顶点分别按下 列要求画三角形. (1)在
9、图中,画一个直角三角形,使它的三边长都是有理数; (2)在图中,画一个直角三角形,使它的一边长是有理数,另外两边长是无理数; (3)在图中,画一个直角三角形,使它的三边长都是无理数. 解析解析 (答案不唯一)(1)如图. (2)如图. (3)如图. 3.(2019内蒙古呼和浩特,18,6分)如图,在ABC中,内角A、B、C所对的边分别为a、b、c. (1)若a=6,b=8,c=12,请直接写出A与B的和与C的大小关系; (2)求证:ABC的内角和等于180; (3)若=,求证:ABC是直角三角形. - a a bc 1 () 2 abc c 解析解析 (1)CA+B. (2)证明:如图,过点B
10、作直线DEAC, A=ABD,C=CBE. 又ABD+ABC+CBE=180, A+ABC+C=180, ABC的内角和等于180. (3)证明:原式可变形为=, - a ac b2 acb c (a+c)2-b2=2ac, 即a2+2ac+c2-b2=2ac, a2+c2=b2, ABC是以B为直角的直角三角形. 4.(2019贵州贵阳,25,12分) (1)数学理解:如图,ABC是等腰直角三角形,过斜边AB的中点D作正方形DECF,分别交BC,AC于 点E,F,求AB,BE,AF之间的数量关系; (2)问题解决:如图,在任意直角ABC内,找一点D,过点D作正方形DECF,分别交BC,AC于
11、点E,F,若AB= BE+AF,求ADB的度数; (3)联系拓广:如图,在(2)的条件下,分别延长ED,FD,交AB于点M,N,求MN,AM,BN的数量关系. 解析解析 (1)四边形DECF为正方形且D为等腰直角ABC斜边AB的中点, AF=FC=CE=EB=DE=FD. 在RtAFD和RtBED中, AD=AF,BD=BE, AB=AD+BD=(AF+BE). (2)四边形DECF是正方形,DF=DE. 22 2 ABDABD,ADB=ADB, (3)由(2)得,AD,BD分别是CAB和CBA的平分线, MAD=FAD,NBD=EBD. 由题意得EMCA,FNCB, MDA=FAD,NDB=
12、EBD, MDA=MAD,NDB=NBD, AM=MD,ND=BN. 在RtMDN中,MN2=MD2+ND2, MN2=AM2+BN2. 将ADF以点D为旋转中心,逆时针旋转90得到ADE,如图, AD=AD,AF=AE,且ADA=90. AB=BE+AF,AB=BE+AE=AB. 在ABD和ABD中, , , , ADAD ABAB BDBD 难点突破难点突破 对于第(3)问,三条线段在同一直线上,利用“角平分线+平行”得出等腰ADM和等腰 BDN,把所求三条线段转化为直角三角形DMN的三边,问题迎刃而解. 考点一 等腰三角形 教师专用题组 1.(2018河北,8,3分)已知:如图,点P在线
13、段AB外,且PA=PB.求证:点P在线段AB的垂直平分线上.在证明该 结论时,需添加辅助线,则作法不正确的是( ) A.作APB的平分线PC交AB于点C B.过点P作PCAB于点C且AC=BC C.取AB中点C,连接PC D.过点P作PCAB,垂足为C 答案答案 B 无论作APB的平分线PC交AB于点C,还是取AB中点C,连接PC或过点P作PCAB,垂足为C, 都可以通过等腰三角形三线合一得出结论,选项A,C,D的作法正确.故选B. 2.(2017内蒙古包头,6,3分)若等腰三角形的周长为10 cm,其中一边长为2 cm,则该等腰三角形的底边长为 ( ) A.2 cm B.4 cm C.6 c
14、m D.8 cm 答案答案 A 当腰长为2 cm时,底边长为6 cm,但是2+2=40),则BC=3x. 直线MN是BC的垂直平分线, AC BC AD BD 2 3 MNBC,BN=CN=x, MNAE, =, NE=x, BE=BN+EN=x,CE=CN-EN=x, 由勾股定理得AE2=AB2-BE2=AC2-CE2, 即52-=(2x)2-, 解得x=, AC=2x=. 3 2 EN BN AD BD 2 3 5 2 1 2 2 5 2 x 2 1 2 x 10 2 10 6.(2019江苏苏州,18,3分)如图,一块含有45角的直角三角板,外框的一条直角边长为8 cm,三角板的外框 线
15、和与其平行的内框线之间的距离均为 cm,则图中阴影部分的面积为 cm2(结果保留根号). 2 答案答案 (10+12) 2 解析解析 如图,过点A作AGEF,交MN于D,过点C作CHAE于点H. 由题意,知CH=,则AC=2. 由三角形AEF为等腰直角三角形可得EF=8,则AG=4, CD=4-(2+)=3-2,MN=6-4, S阴影=88-(3-2)(6-4)=(10+12)cm2. 2 22 2222 1 2 1 2 222 7.(2019河北,21,9分)已知:整式A=(n2-1)2+(2n)2,整式B0. 尝试 化简整式A. 发现 A=B2.求整式B. 联想 由上可知,B2=(n2-1
16、)2+(2n)2,当n1时,n2-1,2n,B为直角三角形的三边长,如图.填写下表中B的值: 直角三角形三边 n2-1 2n B 勾股数组 8 勾股数组 35 解析解析 尝试 A=n4-2n2+1+4n2(2分) =n4+2n2+1.(4分) 发现 A=n4+2n2+1=(n2+1)2, 且A=B2,B0,B=n2+1.(7分) 联想 勾股数组 17(8分) 勾股数组 37(9分) 提示:勾股数组 2n=8,n=4. 由发现可知,B=n2+1=16+1=17. 勾股数组 n2-1=35,B=n2+1=(n2-1)+2=35+2=37. A组 20182020年模拟基础题组 时间:45分钟 分值
17、:60分 一、选择题一、选择题(每小题3分,共12分) 1.(2020甘肃兰州一诊,5)如图所示,在ABC中,AB=AC,B=50,则A=( ) A.50 B.75 C.80 D.50或80 答案答案 C 在ABC中,AB=AC,C=B=50,A=180-B-C=80.故选C. 2.(2020陕西西安高新一中一模,6)如图,在RtABC中,C=90,B=30,AD是BAC的平分线,AC=6,则 点D到AB的距离为( ) A. B. C.2 D.3 3 3 333 答案答案 C 作DEAB于E, C=90,B=30, CAB=60, 又AD是BAC的平分线, CAD=30. AC=6,CD=AC
18、=2. AD是BAC的平分线,C=90,DEAB, DE=CD=2. 故选C. 3 3 3 3 3.(2019贵州毕节3月模拟,11)如图,在ABC中,BAC=90,ADBC,垂足为D,E是边BC的中点,AD=ED= 3,则BC的长为( ) A.3 B.3 C.6 D.6 232 答案答案 D AD=ED=3,ADBC, ADE为等腰直角三角形, 根据勾股定理得AE=3. 在RtABC中,BAC=90,E为BC的中点, AE=BC,BC=2AE=6,故选D. 22 332 1 2 2 4.(2018云南昭通昭阳模拟,2)若一直角三角形两边长分别为12和5,则第三边的长为( ) A.13 B.1
19、3或 C.13或15 D.15 119 答案答案 B 当斜边长是12时,第三边的长是=;当两直角边长是12和5时,第三边的长是 =13.故选B. 22 12 -5 119 22 125 二、填空题二、填空题(每小题3分,共12分) 5.(2020内蒙古包头4月模拟,18)已知等腰三角形的底角是30,腰长为2,则它的周长是 . 3 答案答案 6+4 3 解析解析 作ADBC于D, AB=AC,BD=DC. 在RtABD中,B=30, AD=AB=, 在RtABD中,由勾股定理得,BD=3, BC=2BD=6, ABC的周长为6+2+2=6+4. 1 2 3 22 -AB AD 333 6.(20
20、20上海黄浦一模,13)如果等腰ABC中,AB=AC=3,cosB=,那么cosA= . 1 3 答案答案 7 9 解析解析 过点A作ADBC,垂足为D,过点C作CEAB,垂足为E, 在RtADB中,cosB=, BD=AB=1. AB=AC,ADBC,BD=DC, BC=2,AD=2. AB CE=BC AD, CE=, AE=,cosBAC=. BD AB 1 3 1 3 22 -AB BD 22 3 -12 1 2 1 2 BC AD AB 22 2 3 4 2 3 22 -AC CE 7 3 AE AC 7 3 3 7 9 7.(2019四川成都双流一模,12)如图,在ABC中,AB=
21、AC.以点C为圆心,以CB长为半径作圆弧,交AC的延 长线于点D,连接BD.若A=44,则CDB的度数是 . 答案答案 34 解析解析 AB=AC,A=44, ACB=ABC=(180-44)=68. CD=CB,CDB=CBD, ACB=CDB+CBD,CDB=34. 1 2 8.(2019天津河东一模,17)如图,ABC是等边三角形.P是ABC的平分线BD上一点,PEAB于点E,线段 BP的垂直平分线交BC于点F,垂足为点Q.若BF=2,则PE的长为 . 答案答案 3 解析解析 ABC是等边三角形,P是ABC的平分线BD上一点,FBQ=EBP=30, 在RtBFQ中,BQ=BF cosFB
22、Q=2=. 又QF垂直平分线段BP, BP=2BQ=2. 在RtBPE中,EBP=30, PE=BP=. 3 2 3 3 1 2 3 三、解答题三、解答题(共36分) 9.(2020北京平谷一模,19)如图,OG平分MON,点A是边OM上一点,过点A作ABOG于点B,C为线段OA 的中点,连接BC.求证:BCON. 证明证明 OG平分MON, MOG=NOG. ABOG于点B,ABO=90. C为线段OA的中点,BC=AO=CO, MOG=CBO,NOG=CBO, BCON. 1 2 10.(2020北京丰台一模,19)如图,在ABC中,CAB=CBA,ADBC于点D,BEAC于点E.求证:A
23、D=BE. 证明证明 CAB=CBA,CA=CB. ADBC于点D,BEAC于点E, ADC=BEC=90, 又ACD=BCE, ADCBEC(AAS). AD=BE. 11.(2019云南昆明盘龙一模,16)已知:如图,ABC,ADE均为等腰直角三角形,点D,E,C在同一条直线上, 连接BD. (1)求证:ADBAEC; (2)求BDC的度数. 解析解析 (1)证明:ABC,ADE均为等腰直角三角形, AD=AE,AB=AC,DAE=BAC=90, DAB+BAE=90,EAC+BAE=90, DAB=EAC. 在ADB和AEC中, ADBAEC(SAS). (2)由(1)中ADBAEC,得
24、ADB=AEC, ADE为等腰直角三角形,DAE=90, ADE=AED=45, AEC=180-AED=135, ADB=AEC=135, BDC=ADB-ADE=90. , , , ADAE DABEAC ABAC 12.(2019黑龙江哈尔滨平房一模,24)已知:ABC和ADE都是等边三角形,点D在BC边上,连接CE. (1)如图1,求证:BD=CE; (2)如图2,点M在AC边上,且AM=CD,连接EM交AB于点N,连接DM、DN,在不添加任何辅助线的情况下,请 直接写出图2中四条与线段BD相等的线段(线段CE除外). 解析解析 (1)证明:ABC和ADE都是等边三角形, AB=AC,
25、AD=AE,BAC=DAE=60, BAC-DAC=DAE-DAC, 即BAD=CAE. 在BAD和CAE中, BADCAE(SAS), BD=CE. (2)与线段BD相等的线段(线段CE除外)有:ME、CM、BN、DN. 详解:BADCAE,ACE=B=60. ADC=60+EDC=60+BAD, EDC=BAD. BAD=CAE,EDC=EAM. , , , ABAC BADCAE ADAE 又MA=CD,AE=DE,MAECDE(SAS), EM=EC. MCE=60,MCE是等边三角形, CME=AMN=60. MAN=60,AMN是等边三角形,AN=AM. AB=AC,BN=CM.
26、BD=EC=CM,BD=BN.B=60, BND是等边三角形,BD=BN=ND. 与线段BD相等的线段(线段CE除外)有:ME、CM、BN、DN. B组 20182020年模拟提升题组 时间:45分钟 分值:50分 一、选择题一、选择题(每小题3分,共9分) 1.(2020陕西西安西北工大附中二模,6)如图,ABC中,AB=AC,C=70,BD是AC边上的高线,点E在AB上, 且BE=BD,则ADE的度数为( ) A.20 B.25 C.30 D.35 答案答案 B AB=AC,C=70, ABC=C=70. BDAC,DBC=20,ABD=50. BE=BD, EDB=DEB=65, ADE
27、=90-EDB=25.故选B. 180?-50? 2 2.(2018天津河东一模,11)如图,在底边BC为2,腰AB为2的等腰三角形ABC中,DE垂直平分AB,交AB于 点D,交BC于点E,则ACE的周长为( ) A.2+ B.2+2 C.4 D.3 3 333 答案答案 B DE垂直平分AB,BE=AE, AE+CE=BC=2, ACE的周长=AC+AE+CE=AC+BC=2+2, 故选B. 3 3 3.(2019内蒙古鄂托克旗一模,8)如图,以直角三角形的边a、b、c为边,向外作等边三角形,半圆,等腰直角 三角形和正方形,上述四种情况的面积关系满足S1+S2=S3的图形个数为( ) A.1
28、 B.2 C.3 D.4 答案答案 D 对于题图(1),S1=a2,S2=b2,S3=c2, a2+b2=c2,a2+b2=c2,S1+S2=S3. 对于题图(2),S1=a2,S2=b2,S3=c2, a2+b2=c2,a2+b2=c2,S1+S2=S3. 对于题图(3),S1=a2,S2=b2,S3=c2, a2+b2=c2,a2+b2=c2, S1+S2=S3. 对于题图(4),S1=a2,S2=b2,S3=c2, a2+b2=c2,S1+S2=S3. 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 8 8 8 8 8 8 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 综上,可得面积关
29、系满足S1+S2=S3的图形有4个.故选D. 二、填空题二、填空题(每小题3分,共12分) 4.(2020江西南昌一模,12)在RtABC中,AC=3,BC=4,点P是斜边AB上一点,若PAC是等腰三角形,则线 段AP的长可能为 . 答案答案 3,2.5或 18 5 解析解析 PAC是等腰三角形分以下三种情况: (1)PA=AC=3,如图; (2)如图,AP=PC时,P为AB的中点,AP=AB=2.5; (3)如图,PC=AC时,过C作CDAB于D,则AP=2AD=2AC cos A=23=. 综上所述,AP的长为3或2.5或. 1 2 1 2 22 34 3 5 18 5 18 5 5.(2
30、020江西南昌二模,12)已知矩形AOBC的边AO、OB分别在y轴、x轴非负半轴上,点C的坐标为(8,6),点 E是x轴上任意一点,连接EC,交AB所在直线于点F,当ACF为等腰三角形时,EF的长为 . 答案答案 5或或 2 10 5 7 4 解析解析 ACF为等腰三角形有三种情况: (1)如图,当AF=CF时,点E与点O重合, 由题意得OB=8,BC=6, (2)如图,当AF=AC=8时, 由已知得AB=10, 在RtOBC中,由勾股定理得OC=10, 四边形AOBC为矩形, EF=5. 四边形AOBC为矩形, ACOB, AFCBFE, =, BE=BF=10-8=2, =4. 在RtBC
31、E中,由勾股定理得CE=2, EF=CE=. AF BF AC BE CF EF AF BF CF EF 22 2610 1 5 2 10 5 (3)如图,当CF=AC=8时,过点C作CDAF于点D, AD=DF. 由(2)知AB=10,CD=, 在RtACD中,由勾股定理得AD=, BD=AB-AD=10-=,DF=AD=,AF=, BF=DF-BD=, ACOE,AFCBFE, =,=,BE=. CF=AC,EF=BE, EF=. 8 6 10 24 5 2 2 24 8 - 5 32 5 32 5 18 5 32 5 64 5 14 5 BF AF BE AC 14 5 64 5 8 B
32、E7 4 7 4 综上所述,EF的长为5或或. 2 10 5 7 4 一题多解一题多解 思路:本题可以求出直线AB的解析式为y=-x+6,设F,用两点之间的距离公式表示 出AF、CF、AC的长,然后分三种情况求出点F的坐标,即可求出EF的长. 3 4 3 ,-6 4 tt 6.(2019黑龙江哈尔滨模拟,19)在ABC中,AB=AC=5,BAC=90,点D在BC边上,DEBC,分别交射线 BA、射线CA于点E、F,若DE=2EF,则线段BD的长为 . 2 答案答案 4或 20 3 解析解析 如图1,AB=AC,BAC=90,B=45. DEBC,BDE=90, BED=AEF=F=45, BD
33、=DE,AE=AF.设BD=DE=2x,则BE=2x. DE=2EF,EF=x, AE=EF=x. AB=AE+BE,x+2x=5,x=2,BD=4. 2 2 2 2 2 2 2 22 如图2,在ABC中,AB=AC=5,BAC=90, BC=10,C=45. DEBC,CDF=90, CFD=AFE=E=45, 2 CD=DF,AE=AF. 设CD=x,则CF=x. DE=2EF,EF=DF=x, AF=EF=x. AC=AF+CF,x+x=5, x=,CD=,BD=. 综上所述,线段BD的长为4或. 2 2 2 2 2 2 2 22 10 3 10 3 20 3 20 3 7.(2019内
34、蒙古呼和浩特4月模拟,16)我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股形) 分割成一个正方形和两对全等的直角三角形,得到一个恒等式.后人借助这种分割方法所得的图形证明 了勾股定理.如图所示的矩形由两个这样的图形拼成,若a=3,b=4,则该矩形的面积为 . 答案答案 24 解析解析 如图,设小正方形的边长为x, a=3,b=4, AB=3+4=7. 在RtABC中,AC2+BC2=AB2, 即(3+x)2+(x+4)2=72, 整理得x2+7x-12=0, x2+7x=12, 该矩形的面积=(3+x)(x+4)=x2+7x+12=12+12=24. 三、解答题三、解答题(共29分)
35、 8.(2020北京丰台一模,27)已知AOB=120,点P为射线OA上一动点(不与点O重合),点C为AOB内部一 点,连接CP,将线段CP绕点C顺时针旋转60得到线段CQ,且点Q恰好落在射线OB上,不与点O重合. (1)依据题意补全图1; (2)用等式表示CPO与CQO的数量关系,并证明; (3)连接OC,写出一个OC的值,使得对于任意点P,总有OP+OQ=4,并证明. 解析解析 (1)如图. (2)CQO+CPO=180. 理由如下:四边形内角和为360,且AOB=120,PCQ=60, CQO+CPO=360-AOB-PCQ=180. (3)OC=4时,对于任意点P,总有OP+OQ=4.
36、 证明:在射线OA上取点D,使得DP=OQ,连接CD. 则OP+OQ=OP+DP=OD. 如图,1+2=180,2+3=180, 1=3. CP=CQ, 在CQO和CPD中, CQOCPD(SAS). 4=6,OC=CD. 4+5=60,5+6=60,即OCD=60. COD是等边三角形. OC=OD=OP+OQ=4. , 13, , CQCP OQDP 9.(2020北京密云一模,27)已知MCN=45,点B在射线CM上,点A是射线CN上的一个动点(不与点C重合). 点B关于CN的对称点为点D,连接AB、AD和CD,点F在直线BC上,且满足AF=AB.小明在探究图形运动的 过程中发现:AFA
37、D始终成立. (1)如图1,当0BAC90时. 求证:AFAD; 用等式表示线段CF、CD与CA之间的数量关系,并证明; (2)当90BAC135时,直接用等式表示线段CF、CD与CA之间的数量关系是 . 图1 图2(备用图) 解析解析 (1)证明:点B关于CN的对称点为点D, ABCADC, ABC=ADC,ACB=ACD=45, BCD=90. AF=AB,ABC=AFB,AFB=ADC. AFB+AFC=180,ADC+AFC=180, FAD=360-(AFC+D+FCD)=90, AFAD. 过A作APAC交CM于P, APC是等腰直角三角形,PAC=90,AP=AC. PAF+FA
38、C=DAC+FAC=90, PAF=DAC, 又AFB=ADC, APFACD,PF=CD. 在等腰直角三角形APC中,PF+CF=PC=AC, CD+CF=AC. 2 2 (2)CD-CF=AC. 详解:当90BAC135时,如图,过A作APAC交CM于P, 2 APC是等腰直角三角形,PAC=90,AP=AC. PAF-FAC=DAC-FAC=90, PAF=DAC, 又易知AFB=ADC,APFACD, PF=CD. 在等腰直角三角形APC中,PF-CF=PC=AC, CD-CF=AC. 2 2 10.(2019山西大同二模,22)综合与实践 问题情境:如图1,在数学活动课上,老师让同学
39、们画了等腰RtABC和等腰RtADE,并连接CE,BD. 操作发现:(1)当等腰RtADE绕点A旋转时,如图2,勤奋小组发现了: 线段CE与线段BD之间的数量关系是 ; 直线CE与直线BD之间的位置关系是 ; 类比思考:(2)智慧小组在此基础上进行了深入思考,如图3,若ABC与ADE都为直角三角形,BAC= DAE=90,且AC=2AB,AE=2AD,请你写出CE与BD的数量关系和位置关系,并加以证明; 拓展应用:(3)创新小组在(2)的基础上,又作了进一步拓展研究,当点E在直线AB上方时,若DEAB,且AB= ,AD=1,其他条件不变,试求出线段CE的长.(直接写出结论) 5 解析解析 (1
40、)CE=BD.CEBD. 详解:如图,延长BD交AC于点O,交EC于点H. EAD=CAB=90,即EAC+CAD=BAD+CAD=90, EAC=DAB. 又AE=AD,AC=AB, EACDAB(SAS), CE=BD,ECA=ABD. ABD+AOB=90,AOB=COH, ECA+COH=90, CHO=90, CEBD. (2)CE=2BD,CEBD. 证明:如图,延长BD交AC于点O,交EC于点H. BAC=DAE=90,即BAD+DAC=EAC+DAC=90, BAD=CAE. AC=2AB,AE=2AD,=, ABDACE,=,ABD=ACE, CE=2BD. ABD+AOB=90,AOB=COH, ECA+COH=90,CHO=90,CEBD. (3)CE=4. 详解:如图,当DEAB时,设DE交AC于H,易证ACDE. AB AC AD AE 1 2 BD EC AD AE 1 2 AE=2AD,AD=1,AE=2.EAD=90,AHDE, DE=,AH=,EH=. AC=2AB,AB=,AC=2,CH=AC-AH=. 在RtECH中,EC=4. 5 2 5 5 4 5 5 55 8 5 5 22 EHCH 22 4 58 5 55
