1、 中考数学 （山东专用） 第四章 图形的认识 4.5 特殊的平行四边形 A组 20162020年山东中考题组 考点一 矩形 1.(2020菏泽,5,3分)如果顺次连接四边形的各边中点得到的四边形是矩形,那么原来四边形的对角线一定 满足的条件是( ) A.互相平分 B.相等 C.互相垂直 D.互相垂直平分 答案答案 C 由矩形的定义知,矩形的四个内角均为直角,即每组邻边互相垂直,故原四边形的对角线应互相 垂直. 2.(2019临沂,13,3分)如图,在平行四边形ABCD中,M、N是BD上两点,BM=DN,连接AM、MC、CN、NA,添加 一个条件,使四边形AMCN是矩形,这个条件是( ) A.O
2、M=AC B.MB=MO C.BDAC D.AMB=CND 1 2 答案答案 A 对于A,四边形ABCD是平行四边形, OA=OC,OB=OD, 对角线BD上的两点M、N满足BM=DN, OB-BM=OD-DN,即OM=ON, 四边形AMCN是平行四边形, OM=AC,MN=AC, 四边形AMCN是矩形. 1 2 3.(2018威海,11,3分)矩形ABCD与CEFG如图放置,点B,C,E共线,点C,D,G共线,连接AF,取AF的中点H,连接 GH,若BC=EF=2,CD=CE=1,则GH=( ) A.1 B. C. D. 2 3 2 2 5 2 答案答案 C 如图,过点H作HM垂直CG于点M
3、,设AF交CG于点O. 根据题意可知GOFDOA,所以=,所以OF=OA=AF,即AF=3OF,因为点H是AF的中 点,所以OH=AF-AF=AF,即AF=6OH,所以OH=OF.根据已知条件可知HOMFOG,可以推出 HM=GF=;同理,通过HOMAOD,可以推出DM=DG,即GM=DG=.在RtGHM中,GH= GF AD OG OD OF OA 1 2 1 2 1 3 1 2 1 3 1 6 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 =. 22 HMGM 2 2 4.(2020聊城,21,8分)如图,在ABCD中,E为BC的中点,连接AE并延长交DC的延长线于点F,连接BF,AC,
4、若 AD=AF,求证:四边形ABFC是矩形. 证明证明 四边形ABCD是平行四边形, ABCD,AB=CD,AD=BC, BAE=CFE,ABE=FCE, E为BC的中点, EB=EC, ABEFCE(AAS), AB=CF. ABCF, 四边形ABFC是平行四边形, AD=AF,BC=AF, 四边形ABFC是矩形. 思路分析思路分析 根据平行四边形的性质和平行线的性质,结合E为BC的中点,得到两角和其中一角的对边分别 相等,利用“AAS”判定ABEFCE,从而得到AB=CF,由此可得四边形ABFC是平行四边形,再根据对 角线相等的平行四边形是矩形,可得四边形ABFC是矩形. 5.(2017济
5、南,23,7分)如图,在矩形ABCD中,AD=AE,DFAE于点F,求证:AB=DF. 证明证明 四边形ABCD是矩形, B=90,ADBC, DAF=AEB. DFAE, AFD=90=B, 又AD=AE, ABEDFA. AB=DF. 思路分析思路分析 首先由矩形的性质和平行线的性质,得B=90,DAF=AEB,其次由垂直定义得AFD=90 =B,最后由“AAS”证明两个三角形全等,即可得到AB=DF. 一题多解一题多解 本题还可以连接DE,通过证明DEFDEC得到要求证的结论. 连接DE,如图, 四边形ABCD是矩形, AB=CD,C=90,ADBC, ADE=DEC. AD=AE,AE
6、D=ADE, DEF=DEC, DFAE,DFE=90=C, 又DE=DE, DEFDEC. DC=DF,AB=DF. 考点二 菱形 1.(2019烟台,10,3分)如图,面积为24的ABCD中,对角线BD平分ABC,过点D作DEBD交BC的延长线于 点E,DE=6,则sinDCE的值为( ) A. B. C. D. 24 25 4 5 3 4 12 25 答案答案 A 如图,连接AC交BD于点O,过点D作DFBE于点F. BD平分ABC,ABD=CBD. 四边形ABCD是平行四边形, BCAD, ADB=CBD. ABD=ADB.AB=AD.ABCD是菱形. AO垂直平分BD. DEBD,O
7、CDE. OC=DE=6=3. 菱形ABCD的面积为24,BD=8. BO=4. BC=DC=5. 由平行四边形面积公式可得SABCD=DF BC=24, DF=. 在RtDCF中,sinDCF=,即sinDCE=. 1 2 1 2 24 5 DF DC 24 25 24 25 2.(2018日照,1,3分)如图,在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AO=CO,BO=DO,添加下列条件,不能 判定四边形ABCD是菱形的是( ) A.AB=AD B.AC=BD C.ACBD D.ABO=CBO 答案答案 B AO=CO,BO=DO,四边形ABCD是平行四边形. 当AB=AD时,根据邻
8、边相等的平行四边形是菱形,能判定四边形ABCD是菱形; 当AC=BD时,根据对角线相等的平行四边形是矩形,不能判定四边形ABCD是菱形; 当ACBD时,根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形,能判定四边形ABCD是菱形; 当ABO=CBO时, 由ADBC知ADB=DBC,ABO=ADO, AB=AD,四边形ABCD是菱形.故选B. 方法规律方法规律 判定菱形的思路 (1)已知一组邻边相等证四边形是平行四边形; (2)已知对角线互相垂直证四边形是平行四边形; (3)已知平行四边形 (4)已知四边形证四条边相等. , ; 证一组邻边相等 证对角线互相垂直 3.(2017莱芜,9,3分)如图,菱形AB
9、CD的边长为6,ABC=120,M是BC边的一个三等分点,P是对角线AC上的 动点,当PB+PM的值最小时,PM的长是( ) A. B. C. D. 7 2 2 7 3 3 5 5 26 4 答案答案 A 连接BD、DM,DM交AC于点P,则此时PB+PM的值最小. 过点D作DFBC于点F,过点M作MEBD交AC于点E. ABC=120,BCD=60. 易知CM=2,DC=BC,BCD是等边三角形. BF=CF=BC=3. 1 2 MF=CF-CM=3-2=1,DF=CF=3. DM=2. MEBD,CEMCOB,=. 又OB=OD,=. MEBD,PEMPOD,=. PM=DM=2=.故选A
10、. 33 22 (3 3)17 ME OB CM BC 2 6 1 3 ME OD 1 3 PM PD ME OD 1 3 1 4 1 4 7 7 2 一题多解一题多解 作点M关于AC的对称点M,连接BM交AC于点P,此时PB+PM的值最小. 过点B作BECD于E.可求得CE=3,则EM=1.利用勾股定理可得BM=2.利用相似三角形的性质可得PM= ,则PM=. 7 7 2 7 2 解题关键解题关键 本题考查了菱形的性质,相似三角形的判定与性质,解直角三角形.解题的关键是确定“动点P 在什么位置时,PB+PM的值最小”. 4.(2020德州,16,4分)菱形的一条对角线长为8,边长是方程x2-
11、9x+20=0的一个根,则该菱形的周长为 . 答案答案 20 解析解析 设菱形ABCD,易知AB=BC=CD=AD, 整理方程得(x-4)(x-5)=0,解得x=4或x=5. 当边长为4时,4+4=8,不能构成三角形; 当边长为5时,满足题意, 菱形ABCD的周长=45=20. 思路分析思路分析 设菱形ABCD,解方程得出x=4或x=5,当边长为4时,4+4=8,不能构成三角形;当边长为5时,满 足题意,即可得出菱形ABCD的周长. 5.(2020滨州,23,12分)如图,过ABCD的对角线AC与BD的交点E作两条互相垂直的直线,分别交边AB、 BC、CD、DA于点P、M、Q、N. (1)求证
12、:PBEQDE; (2)顺次连接点P、M、Q、N,求证:四边形PMQN是菱形. 证明证明 (1)四边形ABCD是平行四边形, EB=ED,ABCD, EBP=EDQ, 在PBE和QDE中, , , , EBPEDQ EBED BEPDEQ PBEQDE(ASA). (2)PBEQDE, EP=EQ, 同理可证BMEDNE(ASA), EM=EN, 四边形PMQN是平行四边形, PQMN, 四边形PMQN是菱形. 6.(2019聊城,21,8分)在菱形ABCD中,点P是BC边上一点,连接AP,点E,F是AP上的两点,连接DE,BF,使得 AED=ABC,ABF=BPF. 求证:(1)ABFDAE
13、; (2)DE=BF+EF. 证明证明 (1)四边形ABCD是菱形, AB=AD,ADBC, BPA=DAE, ABC=AED,BAF=ADE, ABF=BPF,BPA=DAE, ABF=DAE,AB=DA,ABFDAE(ASA). (2)ABFDAE, AE=BF,DE=AF, AF=AE+EF=BF+EF,DE=BF+EF. 7.(2019滨州,24,13分)如图,矩形ABCD中,点E在边CD上,将BCE沿BE折叠,点C落在AD边上的点F处,过点 F作FGCD交BE于点G,连接CG. (1)求证:四边形CEFG是菱形; (2)若AB=6,AD=10,求四边形CEFG的面积. 解析解析 (1
14、)证明:由题意可得,BCEBFE, BEC=BEF,FE=CE, FGCE,FGE=CEB, FGE=FEG, FG=FE,FG=EC, 四边形CEFG是平行四边形, 又CE=FE, 四边形CEFG是菱形. (2)在矩形ABCD中,AB=6,AD=10,BC=BF, BAF=90,AD=BC=BF=10, AF=8,DF=2, 设EF=x,则CE=x,DE=6-x, FDE=90,22+(6-x)2=x2, 解得x=,CE=, 四边形CEFG的面积是CE DF=2=. 10 3 10 3 10 3 20 3 思路分析思路分析 (1)根据题意和翻折的性质,可以得到BCEBFE,再根据全等三角形的
15、性质和菱形的判定 方法即可证明结论成立; (2)根据题意和勾股定理,可以求得AF的长,进而求得EF和DF的长,从而可以得到四边形CEFG的面积. 考点三 正方形 1.(2020威海,11,3分)如图,在ABCD中,对角线BDAD,AB=10,AD=6,O为BD的中点,E为边AB上一点,直线 EO交CD于点F,连接DE,BF.下列结论不成立的是( ) A.四边形DEBF为平行四边形 B.若AE=3.6,则四边形DEBF为矩形 C.若AE=5,则四边形DEBF为菱形 D.若AE=4.8,则四边形DEBF为正方形 答案答案 D O为BD的中点,OB=OD, 四边形ABCD为平行四边形,DCAB, C
16、DO=EBO,DFO=OEB, FDOEBO,OE=OF, 四边形DEBF为平行四边形.故A中结论成立. 若AE=3.6,AD=6,=, 又=,=, DAE=BAD,DAEBAD, AED=ADB=90,DEB=90. AE AD 3.6 6 3 5 AD AB 6 10 3 5 AE AD AD AB 四边形DEBF是矩形,故B中结论成立. 若AE=5,AB=10,BE=5, 又ADB=90,DE=AB=5,DE=BE,四边形DEBF为菱形.故C中结论正确. 易知若AE=4.8,四边形DEBF不可能是正方形.故D中结论不成立. 1 2 2.(2017济南,13,3分)如图,正方形ABCD的对
17、角线AC、BD相交于点O,AD=3,E为OC上一点,OE=1.连接 BE,过点A作AFBE于点F,与BD交于点G,则BF的长为( ) A. B.2 C. D. 2 3 10 5 2 3 5 4 3 2 2 答案答案 A 四边形ABCD是正方形, OA=OB,AOB=BOC=90. AFBE,BFG=AOG=90, 又BGF=AGO,OAG=OBE, AOGBOE. OG=OE=1. AD=3, AC=AD=6,AO=3,AE=4,BG=2. 在RtAOG中,由勾股定理,得AG=. BFG=AOG,AGO=BGF, 2 2 10 AGOBGF,=, =,解得BF=. BF AO BG AG 3
18、BF2 10 3 10 5 易错警示易错警示 本题易错点:一是不能从复杂的图形中寻找到全等三角形和相似三角形,导致无法解答;二是对 正方形的性质运用不够好,求不出相关线段的长;三是因粗心大意,计算上出错. 方法规律方法规律 正方形具有平行四边形、矩形和菱形的一切性质;正方形四边相等,对边平行,邻边垂直;四个 角都是直角;对角线互相垂直平分且相等,且每一条对角线平分一组对角. 3.(2016淄博,8,4分)如图,正方形ABCD的边长为10,AG=CH=8,BG=DH=6,连接GH.则线段GH的长为( ) A. B.2 C. D.10-5 8 3 5 2 14 5 2 答案答案 B 如图,延长BG
19、交CH于点E, AG=CH=8,BG=DH=6,AB=CD=10, ABGCDH(SSS). AG2+BG2=82+62=102=AB2, ABG是直角三角形,且AGB=90. 同理,DHC是直角三角形,且DHC=90. 1=5,2=6,AGB=CHD=90, 1+2=90,5+6=90, 又2+3=90,4+5=90, 1=3=5,2=4=6, AB=BC,ABGBCE(ASA). BE=AG=8,CE=BG=6,BEC=AGB=90. GE=BE-BG=8-6=2.同理可得HE=2. 在RtGHE中,GH=2. 22 GEHE 22 222 一题多解一题多解 过点G作EFAB,过点H作HF
20、AB交EF于F. AG2+BG2=82+62=102=AB2, ABG是直角三角形,且AGB=90. 同理,DHC是直角三角形,且DHC=90. EG=4.8,GF=10-24.8=0.4. 又易求得BE=3.6,HF=10-23.6=2.8. HG=2.故选B. 6 8 10 66 10 22 2.80.42 4.(2020枣庄,17,4分)如图,E,F是正方形ABCD的对角线AC上的两点,AC=8,AE=CF=2,则四边形BEDF的周长 是 . 答案答案 8 5 解析解析 连接BD交AC于点O, 由正方形的性质知,BDAC,OD=OB=OA=OC, AE=CF=2, OA-AE=OC-CF
21、,即OE=OF, 四边形BEDF为平行四边形,又BDEF, 四边形BEDF为菱形, DE=DF=BE=BF, AC=BD=8,OE=OF=2, 在RtOED中,DE=2, 四边形BEDF的周长=4DE=42=8. 8-4 2 22 ODOE 22 425 55 5.(2019济南,18,4分)如图,在矩形纸片ABCD中,将AB沿BM翻折,使点A落在BC上的点N处,BM为折痕,连接 MN;再将CD沿CE翻折,使点D恰好落在MN上的点F处,CE为折痕,连接EF并延长交BM于点P,若AD=8,AB=5, 则线段PE的长等于 . 答案答案 20 3 解析解析 过点P作PGFN,PHBN,垂足分别为G、
22、H, 由折叠得四边形ABNM是正方形,AB=BN=NM=MA=5,CD=CF=5,D=CFE=90,ED=EF, NC=MD=8-5=3, 在RtFNC中,FN=4, MF=5-4=1. 在RtMEF中,设EF=x,则ME=3-x,由勾股定理得, 12+(3-x)2=x2, 解得x=. CFN+PFG=90,PFG+FPG=90, CFN=FPG,又FNC=PGF=90, 22 5 -3 5 3 FNCPGF, FGPGPF=NCFNFC=345. 设FG=3m,则PG=4m,PF=5m, GN=PH=BH=4-3m,HN=5-(4-3m)=1+3m=PG=4m, 解得m=1, PF=5m=5
23、, PE=PF+FE=5+=. 5 3 20 3 思路分析思路分析 由折叠易知四边形ABNM是正方形,CD=CF=5,D=CFE=90,ED=EF,计算可得三角形FNC 的三边长分别为3,4,5,在RtMEF中,由勾股定理可求三边长,通过作辅助线,可证FNCPGF,三边长 之比为345,设未知数,通过PG=HN,列方程求出未知数,进而求出PF的长,然后求PE的长. 6.(2019临沂,25,11分)如图,在正方形ABCD中,E是DC边上一点(与D、C不重合),连接AE,将ADE沿AE所 在的直线折叠得到AFE,延长EF交BC于G,连接AG,作GHAG,与AE的延长线交于点H,连接CH.显然AE
24、 是DAF的平分线,EA是DEF的平分线.仔细观察,请逐一找出图中其他的角平分线(仅限于小于180的 角平分线),并说明理由. 解析解析 过点H作HNBM于N, 则HNC=90, 四边形ABCD为正方形, AD=AB=BC,D=DAB=B=DCB=DCM=90. 将ADE沿AE所在的直线折叠得到AFE, ADEAFE, D=AFE=AFG=90,AD=AF,DAE=FAE, AF=AB, 又AG=AG, RtABGRtAFG(HL), BAG=FAG,AGB=AGF, AG是BAF的平分线,GA是BGF的平分线. 由知,DAE=FAE,BAG=FAG, 又BAD=90, GAF+EAF=90=
25、45, 即GAH=45, GHAG, GHA=90-GAH=45, AGH为等腰直角三角形,AG=GH, AGB+BAG=90,AGB+HGN=90, 1 2 BAG=NGH, 又B=HNG=90,AG=GH, ABGGNH(AAS), BG=NH,AB=GN, BC=GN, BC-CG=GN-CG, BG=CN, CN=HN, DCM=90, NCH=NHC=90=45, 1 2 DCH=DCM-NCH=45, DCH=NCH, CH是DCN的平分线. AGB+HGN=90,AGF+EGH=90, 且由知,AGB=AGF, HGN=EGH, GH是EGM的平分线. 综上所述,AG是BAF的平
26、分线,GA是BGF的平分线,CH是DCN的平分线,GH是EGM的平分线. 思路分析思路分析 过点H作HNBM于N,利用正方形的性质及轴对称的性质,证明ABGAFG,可推出AG是 BAF的平分线,GA是BGF的平分线;证明ABGGNH,推出HN=CN,得到DCH=NCH,推出CH是 DCN的平分线;再证HGN=EGH,可知GH是EGM的平分线. B组 20162020年全国中考题组 考点一 矩形 1.(2019重庆A卷,5,4分)下列命题正确的是( ) A.有一个角是直角的平行四边形是矩形 B.四条边相等的四边形是矩形 C.有一组邻边相等的平行四边形是矩形 D.对角线相等的四边形是矩形 答案答案
27、 A 有一个角是直角的平行四边形是矩形, A选项正确; 四条边相等的四边形是菱形,B选项错误; 有一组邻边相等的平行四边形是菱形, C选项错误; 对角线相等的平行四边形是矩形, D选项错误.故选A. 2.(2019广西桂林,11,3分)将矩形ABCD按如图所示的方式折叠,BE,EG,FG为折痕,若顶点A,C,D都落在点O 处,且点B,O,G在同一条直线上,同时点E,O,F在另一条直线上,则的值为( ) A. B. C. D. AD AB 6 5 2 3 2 3 答案答案 B 在矩形ABCD中,A=D=90,AB=CD. 由折叠的性质可得点E、G分别为AD、DC的中点,AEB=BEO,OEG=G
28、ED,AB=OB,DG=OG, AE=DE=AD,DG=CG=CD=AB,BEG=90. 在RtABE中,BE2=AB2+AE2=AB2+. 在RtEDG中,EG2=ED2+DG2=+. 在RtBEG中,BE2+EG2=BG2, 即AB2+=, 整理得=2,即=. 1 2 1 2 1 2 2 2 AD 2 2 AD 2 2 AB 2 2 AD 2 2 AD 2 2 AB 2 2 AB AB 2 2 AD AB AD AB 2 3.(2017安徽,10,4分)如图,在矩形ABCD中,AB=5,AD=3.动点P满足SPAB=S矩形ABCD.则点P到A,B两点距离之和 PA+PB的最小值为( ) A
29、. B. C.5 D. 1 3 2934241 1 3 22 4541 答案 D 如图,过P点作MN,使MNAB,作A点关于MN的对称点A1,连接PA1,A1B,则PA1=PA,设点P到AB的 距离为h,由AB=5,AD=3,SPAB=S矩形ABCD可得h=2,则AA1=4,因为PA+PB=PA1+PBA1B,所以当P为A1B与MN的 交点时,PA+PB最小,其最小值为=,故选D. 疑难突破疑难突破 本题的突破口是根据SPAB=S矩形ABCD推出P点是在平行于AB的线段上运动,从而想到利用轴对 称的性质将问题转化. 1 3 4.(2020云南,6,3分)已知四边形ABCD是矩形,点E是矩形AB
30、CD的边上的点,且EA=EC.若AB=6,AC=2,则 DE的长是 . 10 答案答案 或 8 3 2 34 3 解析解析 四边形ABCD是矩形,DC=AB=6,ADC=90, 在RtADC中,AD=2. 当点E在DC边上时,如图1,设EA=EC=x, 则DE=6-x,在RtADE中,AD2+DE2=AE2, 22+(6-x)2=x2,x=,DE=. 图1 22 -AC DC40-36 10 3 8 3 当点E在AB边上时,如图2,易求得AE=, 在RtADE中,DE=. DE的长为或. 图2 10 3 22 AEAD 2 34 3 8 3 2 34 3 解后反思解后反思 本题主要考查矩形的性
31、质,勾股定理以及分类讨论的思想,因为点E的位置不确定,需根据EA= EC,讨论点E在边AB和边DC上的情况,分别求DE的长. 5.(2018江苏连云港,22,10分)如图,矩形ABCD中,E是AD的中点,延长CE、BA交于点F,连接AC、DF. (1)求证:四边形ACDF是平行四边形; (2)当CF平分BCD时,写出BC与CD的数量关系,并说明理由. 解析解析 (1)证明:因为四边形ABCD是矩形, 所以ABCD, 所以FAE=CDE. 因为E是AD的中点,所以AE=DE. 又因为FEA=CED,所以FAECDE, 所以CD=FA. 又因为CDFA, 所以四边形ACDF是平行四边形. (2)B
32、C=2CD. 因为CF平分BCD,所以DCE=45. 因为CDE=90,所以CDE是等腰直角三角形, 所以CD=DE. 因为E是AD的中点,所以AD=2CD. 因为AD=BC,所以BC=2CD. 思路分析思路分析 (1)由题意知AFDC,AE=ED,根据平行四边形的判定条件,通过证明FAECDE得到CD= FA,即可证明四边形ACDF是平行四边形;(2)因为CF平分BCD,所以DCE=45,可得CDE是等腰直角 三角形,从而BC=AD=2ED=2CD. 考点二 菱形 1.(2019广西玉林,7,3分)菱形不具备的性质是( ) A.轴对称图形 B.中心对称图形 C.对角线互相垂直 D.对角线一定
33、相等 答案答案 D 菱形的性质主要有四边相等;对边平行且相等;对角相等;对角线互相平分且垂直,且平分每一组 对角;既是轴对称图形又是中心对称图形.因此A、B、C选项均是菱形具有的性质,而D选项不是菱形的性 质,故选D. 2.(2019贵州贵阳,4,3分)如图,菱形ABCD的周长是4 cm,ABC=60,那么这个菱形的对角线AC的长是( ) A.1 cm B.2 cm C.3 cm D.4 cm 答案答案 A 由已知及菱形四条边都相等可知AB=BC=1 cm,因为ABC=60,所以三角形ABC为等边三角形, 所以AC=AB=1 cm,故选A. 3.(2020宁夏,5,3分)如图,菱形ABCD的边
34、长为13,对角线AC=24,点E、F分别是边CD、BC的中点,连接EF并 延长与AB的延长线相交于点G,则EG=( ) A.13 B.10 C.12 D.5 答案答案 B 连接BD交AC于点O.在菱形ABCD中,ACBD,且OC=OA=12,在RtDOC中,OD= =5,BD=10.又E、F分别是CD、BC的中点,EF=BD=5.易得EFCGFB,EF=FG, EG=10. 22 -DC OC 22 13 -12 1 2 4.(2019广西梧州,18,3分)如图,在菱形ABCD中,AB=2,BAD=60,将菱形ABCD绕点A按逆时针方向旋转,对 应得到菱形AEFG,点E在AC上,EF与CD交于
35、点P,则DP的长是 . 答案答案 -1 3 解析解析 在菱形ABCD中,AB=BC=CD=2,ABCD,BAD=60, BAC=BAD=30=ACD. 由旋转知在菱形AEFG中,EAG=60,EFAG,AE=AB=2, CEF=EAG=60, EPC=180-CEF-ACD=180-60-30=90. 连接BD,交AC于点O,则ACBD且AC=2AO. 1 2 AO=AB cos 30=, AC=2,EC=2-2, 在RtECP中,PC=EC cos 30=(2-2)=3-, DP=DC-PC=2-(3-)=-1. 3 33 3 3 2 3 33 5.(2019北京,14,2分)把图1中的菱形
36、沿对角线分成四个全等的直角三角形,将这四个直角三角形分别拼成 如图2,图3所示的正方形,则图1中菱形的面积为 . 答案答案 12 解析解析 设题图1中一个小直角三角形的两条直角边长分别为a,b,则由题图2,题图3可列方程组解 得所以题图1中菱形的面积为46=12. 5, -1, ab a b 3, 2. a b 1 2 解题关键解题关键 解决本题的关键是要分析题目中已知的“5”和“1”是由怎样的线段构成的. 6.(2020广西北部湾经济区,18,3分)如图,在边长为2的菱形ABCD中,C=60,点E,F分别是AB,AD上的动 点,且AE=DF,DE与BF交于点P.当点E从点A运动到点B时,则点
37、P的运动路径长为 . 3 答案答案 4 3 解析解析 连接BD, 由菱形的性质及C=60, 可知BCD、ABD均为等边三角形, 故BD=AD,且BDF=A=60, 又AE=DF,故在E、F运动过程中,BDFDAE,即DBF=ADE, 因此DBF+BDP始终等于60,即BPD始终等于120, 又C=60,因此B、C、D、P四点共圆, 故点P的运动路径为以等边三角形BCD的中心O为圆心,OB为半径的圆的一部分,即,延长BO交CD于G, 易证DG=CD=,ODG=BDC=30, 故OB=OD=2,且BOD=120, l=.即点P的运动路径长为. BD 1 2 3 1 2 3 3 2 BD 120 2
38、 180 4 3 4 3 7.(2018新疆乌鲁木齐,18,10分)如图,在四边形ABCD中,BAC=90,E是BC的中点,ADBC,AEDC,EF CD于点F. (1)求证:四边形AECD是菱形; (2)若AB=6,BC=10,求EF的长. 解析解析 (1)证明:ADBC,AEDC, 四边形AECD是平行四边形. BAC=90,E是BC的中点,AE=BC=CE, 四边形AECD是菱形. (2)过点A作AHBC于点H, 1 2 BAC=90,AB=6,BC=10,AC=8, SABC=BC AH=AB AC,AH=. 点E是BC的中点,BC=10,四边形AECD是菱形, CD=CE=5. SA
39、ECD=CE AH=CD EF,EF=AH=. 1 2 1 2 24 5 24 5 思路分析思路分析 (1)先证四边形AECD是平行四边形,再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可证四 边形AECD是菱形;(2)过点A作AHBC于点H,由三角形的面积公式求出AH,再由平行四边形的面积公式求 出EF. 8.(2020北京,21,6分)如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E是AD的中点,点F,G在AB上,EFAB,OG EF. (1)求证:四边形OEFG是矩形; (2)若AD=10,EF=4,求OE和BG的长. 解析解析 (1)证明:菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,DO=
40、BO, E是AD的中点,EOAB, EFOG, 四边形OEFG是平行四边形, EFAB, EFB=90, 四边形OEFG是矩形.(3分) (2)四边形ABCD是菱形, ACBD,AB=AD=10. 在RtAOD中,E为AD的中点, AE=AD=5,OE=AD=5. EF=4, 在RtAFE中,AF=3. 四边形OEFG是矩形, FG=EO=5, BG=AB-AF-FG=2.(6分) 1 2 1 2 22 -AE EF 22 5 -4 思路分析思路分析 本题第(1)问首先需要借助中位线定理推出OEAB,然后利用有一个角是90的平行四边形是 矩形来判定;第(2)问需要利用勾股定理及矩形和菱形的性质
41、求解. 解题关键解题关键 解决本题的关键是发现题目中有多个中点(点E是AD的中点,点O是BD的中点),同时利用与中 点有关的性质(直角三角形斜边的中线等于斜边的一半,中位线定理)来解决. 考点三 正方形 1.(2018天津,11,3分)如图,在正方形ABCD中,E,F分别为AD,BC的中点,P为对角线BD上的一个动点,则下列 线段的长等于AP+EP最小值的是( ) A.AB B.DE C.BD D.AF 答案答案 D 在正方形ABCD中,连接CE、PC. 点A与点C关于直线BD对称, AP=CP, AP+EP的最小值为EC. E,F分别为AD,BC的中点, DE=BF=AD. 1 2 AB=C
42、D,ABF=ADC=90, ABFCDE. AF=CE. 故选D. 思路分析思路分析 点A关于直线BD的对称点为点C,连接CE,AP+EP的最小值就是线段CE的长;通过证明CDE ABF,得CE=AF,即可得到PA+PE的最小值等于线段AF的长. 2.(2019新疆,9,5分)如图,正方形ABCD的边长为2,点E是BC的中点,AE与BD交于点P,F是CD上一点,连接AF 分别交BD,DE于点M,N,且AFDE,连接PN,则以下结论中: SABM=4SFDM;PN=;tanEAF=; PMNDPE.正确的是( ) A. B. C. D. 2 65 15 3 4 答案答案 A 正方形ABCD的边长
43、为2,点E是BC的中点, AB=BC=CD=AD=2,ABC=C=ADF=90,CE=BE=1. AFDE,易证ADFDCE, DF=CE=1, ABDF,ABMFDM, =4, SABM=4SFDM ,故正确. 由勾股定理可知AF=DE=AE=, AD DF= AF DN, ABM FDM S S 2 AB DF 22 125 1 2 1 2 DN=, EN=,AN=, tanEAF=,故正确. 过点P作PHAN于点H. BEAD,=2,PA=, sinEAF=, PH=PA sinEAF=, 2 5 5 3 5 5 22 -AD DN 4 5 5 EN AN 3 4 PA PE AD BE
44、 2 5 3 EN AE 3 5 2 5 5 PHEN,=, AH=,HN=, PN=,故正确. PNDN,DPNPDE, PMN与DPE不相似,故错误. 故选A. AH AN PA AE 2 3 2 3 4 5 5 8 5 15 4 5 15 22 PHNH 2 65 15 思路分析思路分析 利用ABMFDM及相似三角形的性质即可解决问题;作PHAN于H,根据平行线分 线段成比例定理,求AP,AH的长,进一步得PH,HN的长,由勾股定理即可求出PN的长;分别求出EN,AN的长 即可判断;证明DPNPDE即可判断. 3.(2019陕西,14,3分)如图,在正方形ABCD中,AB=8,AC与BD
45、交于点O,N是AO的中点,点M在BC边上,且BM=6, P为对角线BD上一点,则PM-PN的最大值为 . 答案答案 2 解析解析 作点N关于直线BD的对称点G,连接MG并延长交BD于点P,此时PM-PN有最大值,最大值为线段GM 的长. 点N为OA的中点,点G为OC的中点,过点O作OHBC,由正方形的性质可知OH=HC=BC=4. BM=6,CM=2,点M为CH的中点,GM为COH的中位线,GM=OH=2. 1 2 1 2 4.(2019江苏无锡,18,2分)如图,在ABC中,AB=AC=5,BC=4,D为边AB上一动点(B点除外),以CD为一边 作正方形CDEF,连接BE,则BDE面积的最大
46、值为 . 5 答案答案 8 解析解析 过点C作CGBA交BA的延长线于点G,过点E作EHBG于点H,过点A作AMBC于点M. AB=AC=5,BC=4, BM=CM=2, 易证AMBCGB, =,即=, 5 5 BM GB AB CB 2 5 GB 5 4 5 GB=8. 设BD=x(00),则AD=2x, 将矩形ABCD对折,得到折痕MN, CN=DM=AD=x, CM=x, PMC=90,MNPC, CM2=CN CP, 2 2 1 2 2 22 DMCD3 CP=x,PN=CP-CN=x, PM=x,=, PC=MP,故错误. PC=x,PB=2x-x=x, =,PB=AB,故正确. CD=CE,EG=AB,AB=CD,CE=EG, CEM=G=90, 2 3 2 x x 3 2 2 2 22 MNPN 6 2 PC PM 3 2 6 2 x x 3 3 3 2 2 3 2 2 2 AB PB 2 2 x x 2 2 FEPG,CF=PF, PMC=90,CF=PF=MF, 点F是CMP外接圆的圆心,故正确. 故选B. 3.(2019陕西,8,3分)如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=6.若点E、F分别在AB、CD上,且
