1、 中考数学 （河北专用） 8.2 猜想与证明 一、与尺规作图有关的证明一、与尺规作图有关的证明 (2016江苏盐城,23,10分)如图,已知ABC中,ABC=90. (1)尺规作图:按下列要求完成作图(保留作图痕迹,请标明字母). 作线段AC的垂直平分线l,交AC于点O; 连接BO并延长,在BO的延长线上截取OD,使得OD=OB; 连接DA、DC. (2)判断四边形ABCD的形状,并说明理由. 解析解析 (1)如图所示. (2)四边形ABCD是矩形. 理由:RtABC中,ABC=90,BO是AC边上的中线, BO=AC,AO=CO, 又BO=DO,AO=CO=BO=DO, 四边形ABCD是矩形
2、. 1 2 二、与图形平移、轴对称有关的证明二、与图形平移、轴对称有关的证明 如图,两个全等的ABC和DEF重叠在一起,固定ABC,将DEF进行如下变换: (1)如图1,DEF沿直线CB向右平移(即点F在线段CB上移动),连接AF、AD、BD,请直接写出SABC与 S四边形AFBD的关系; (2)如图2,当点F平移到线段BC的中点时,若四边形AFBD为正方形,那么ABC应满足什么条件?请给出 证明; (3)在(2)的条件下,将DEF沿DF折叠,点E落在FA的延长线上的点G处,连接CG,请你在图3的位置画出 图形,并求出sinCGF的值. 图3 解析解析 (1)SABC=S四边形AFBD. (2
3、)ABC为等腰直角三角形,即AB=AC,BAC=90. 证明如下: F为BC的中点,CF=BF. CF=AD,AD=BF. 又ADBF,四边形AFBD为平行四边形. AB=AC,F为BC的中点,AFBC, 平行四边形AFBD为矩形. BAC=90,F为BC的中点, AF=BC=BF,四边形AFBD为正方形. (3)正确画出图形如图所示. 1 2 由(2)知,ABC为等腰直角三角形,AFBC. 设CF=k,k0,则GF=EF=CB=2k. 由勾股定理,得CG=k. sinCGF=. 5 CF CG5 k k 5 5 三、与图形旋转有关的证明三、与图形旋转有关的证明 (2018山东临沂,25,11
4、分)将矩形ABCD绕点A顺时针旋转(0CD,AD=AB+CD. (1)利用尺规作ADC的平分线DE,交BC于点E,连接AE(保留作图痕迹,不写作法); (2)在(1)的条件下, 证明:AEDE; 若CD=2,AB=4,点M,N分别是AE,AB上的动点,求BM+MN的最小值. 教师专用题组 解析解析 (1)如图所示. (2)证明:如图,延长DE、AB相交于点F. ABC=C=90,ABC+C=180.ABCD.CDE=F.DE平分ADC,ADE=CDE. ADE=F.AD=AF=AB+BF.又AD=AB+CD,AB+BF=AB+CD.BF=CD. 在CED和BEF中, CEDBEF.DE=EF.
5、又AD=AF,AEDE. 如图,作DHAB于H,作点N关于AE的对称点N,连接MN,BM,则MN=MN.BM+MN=BM+MN.由可 得AD=AF,DE=EF, AE平分DAB. 点N在AD上.当点B,M,N共线且BNAD时,BM+MN有最小值,即BM+MN有最小值.在RtADH中, AD=AB+CD=6,AH=AB-BH=2,由勾股定理可得,DH=4. DHA=BNA=90,DAH=BAN, DAHBAN. =. , , , DECFEB CDEF CDBF 22 -AD AH322 BN DH AB AD =.BN=, BM+MN的最小值为. 4 2 BN4 6 8 2 3 8 2 3 二
6、、与图形平移、轴对称有关的证明二、与图形平移、轴对称有关的证明 在正方形ABCD中,BD是一条对角线.点P在射线CD上(与点C,D不重合),连接AP,平移ADP,使点D移 动到点C,得到BCQ,过点Q作QHBD于点H,连接AH,PH. (1)若点P在线段CD上,如图1, 依题意补全图1; 判断AH与PH的数量关系与位置关系并加以证明; (2)若点P在线段CD的延长线上,且AHQ=152,正方形ABCD的边长为1,请写出求DP长的思路.(可以不 写出计算结果) 图1 备用图 解析解析 (1)补全图形,如图1所示. 图1 AH与PH的数量关系:AH=PH,位置关系:AHPH. 证明:如图1. 由平
7、移可知,PQ=DC. 四边形ABCD是正方形, AD=DC,ADB=BDQ=45.AD=PQ. QHBD,HQD=HDQ=45. HD=HQ,ADB=DQH. ADHPQH. AH=PH,AHD=PHQ. AHD+DHP=PHQ+DHP. 即AHP=DHQ=90.AHPH. (2)求解思路如下: a.由AHQ=152画出图形,如图2所示; b.与同理,可证AHDPHQ,可得AH=PH; c.由AHP=AHD-PHD=PHQ-PHD=90,可得AHP是等腰直角三角形; d.由AHQ=152,BHQ=90,可求BHA,DAH,PAD的度数; e.在RtADP中,由PAD的度数和AD的长,可求DP的
8、长. 图2 三、与图形旋转有关的证明三、与图形旋转有关的证明 (2019衡水模拟,25)如图1,ABC是边长为4 cm的等边三角形,边AB在射线OM上,且OA=6 cm,点D从点O 出发,沿OM的方向以1 cm/s的速度运动,运动时间 为t s,当点D不与点A重合时,将ACD绕点C按逆时针 方向旋转60得到BCE,连接DE. (1)求证:CDE是等边三角形; (2)如图2,当6t10时,BDE的周长是否存在最小值?若存在,求出BDE的最小周长;若不存在,请说明 理由; (3)如图3,当点D在射线OM上运动时,是否存在以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形?若存在,求出 此时t的值;若不存在,请
9、说明理由. 解析解析 (1)证明:将ACD绕点C按逆时针方向旋转60得到BCE, DCE=60,DC=EC,CDE是等边三角形. (2)存在.当6t10时,由旋转的性质得,BE=AD, CBDE=BE+DB+DE=AB+DE, 由(1)知,CDE是等边三角形,DE=CD,CBDE=CD+AB, 由垂线段最短可知,当CDAB时,BDE的周长最小,此时,CD=2 cm, BDE的最小周长=CD+AB=(2+4)cm. (3)存在.当点D与点B重合时,D,B,E不能构成三角形,不符合题意. 当0t6时,由旋转可知,ABE=60,BDE60,只能BED=90, 由(1)可知,CDE是等边三角形,DEC
10、=60, CEB=30, CEB=CDA,CDA=30, CAB=60,ACD=ADC=30,DA=CA=4 cm, OD=OA-DA=6-4=2 cm,t=21=2 s. 3 3 当6t90知,此时不符合题意. 当t10时,由旋转的性质可知,DBE=60, 又由(1)知CDE=60,BDE=CDE+BDC=60+BDC, 而BDC0,BDE60,只能BDE=90,从而BDC=30,BDC=BCD=30, BD=BC=4 cm,OD=14 cm,t=141=14 s. 综上所述,当t=2 s或14 s时,以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形. 思路分析思路分析 (1)由旋转的性质得到DCE=
11、60,DC=EC,即可得到CDE是等边三角形. (2)存在.当6t10时,由旋转的性质得到BE=AD,于是得到CBDE=BE+DB+DE=AB+DE,根据等边三角形的 性质得到DE=CD,可得CBDE=CD+AB,由垂线段最短得到当CDAB时,BDE的周长最小,得到结论. (3)存在.当点D与点B重合时,D,B,E不能构成三角形,不符合题意;当0t6时,由旋转的性质得到 ABE=60,BDE60,只能BED=90,根据等边三角形的性质得到DEC=60,求得CEB=30,求得 OD=OA-DA=6-4=2 cm,于是得到t=21=2 s;当6t10时,由旋转的性质得 到DBE=60,只能BDE=90,进而求得OD=14 cm,于是得到t=141=14 s.
