1、 中考数学 （河北专用） 5.5 特殊的平行四边形 考点一 菱形的性质与判定 1.(2020宁夏,5,3分)如图,菱形ABCD的边长为13,对角线AC=24,点E、F分别是边CD、BC的中点,连接EF 并延长与AB的延长线相交于点G,则EG=( ) A.13 B.10 C.12 D.5 答案答案 B 连接BD交AC于点O.在菱形ABCD中,ACBD,且OC=OA=12,在RtDOC中,OD= =5,BD=10.又E、F分别是CD、BC的中点,EF=BD=5.易得EFCGFB,EF=FG, EG=10. 22 -DC OC 22 13 -12 1 2 2.(2019河北,5,3分)如图,菱形AB
2、CD中,D=150,则1=( ) A.30 B.25 C.20 D.15 答案答案 D 四边形ABCD是菱形,D+BAD=180,AC平分BAD, D=150,BAD=30,1=15,故选D. 3.(2018湖北孝感,7,3分)如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,AC=10,BD=24,则菱形ABCD的周长 为( ) A.52 B.48 C.40 D.20 答案答案 A 在菱形ABCD中,BD=24,AC=10,OB=12,OA=5,ACBD, 在RtABO中,AB=13,菱形ABCD的周长为4AB=52,故选A. 22 OAOB 4.(2017河北,9,3分)求证:菱形的两条对角
3、线互相垂直. 已知:如图,四边形ABCD是菱形,对角线AC,BD交于点O. 求证:ACBD. 以下是排乱的证明过程: 又BO=DO, AOBD,即ACBD. 四边形ABCD是菱形, AB=AD. 证明步骤正确的顺序是( ) A. B. C. D. 答案答案 B 证明:四边形ABCD是菱形,AB=AD, 又BO=DO,AOBD,即ACBD. 所以证明步骤正确的顺序是,故选B. 5.(2020广东,15,4分)如图,在菱形ABCD中,A=30,取大于AB的长为半径,分别以点A,B为圆心作弧相 交于两点,过此两点的直线交AD边于点E(作图痕迹如图所示),连接BE,BD.则EBD的度数为 . 1 2
4、答案答案 45 解析解析 根据作图可知虚线为线段AB的垂直平分线, AE=BE,EBA=A=30. 四边形ABCD是菱形,ADBC,ABD=CBD. A=30,ABC=180-30=150, ABD=ABC=75, EBD=75-30=45. 1 2 6.(2019北京,14,2分)把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形,将这四个直角三角形分别拼 成如图2,图3所示的正方形,则图1中菱形的面积为 . 答案答案 12 解析解析 设题图1中一个小直角三角形的两条直角边长分别为a,b,则由题图2,题图3可列方程组 解得所以题图1中菱形的面积为46=12. 5, -1. ab a b 3, 2
5、. a b 1 2 解题关键解题关键 解决本题的关键是要分析题目中已知的“5”和“1”是由怎样的线段构成的. 7.(2020云南,22,9分)如图,四边形ABCD是菱形,点H为对角线AC的中点,点E在AB的延长线上,CEAB,垂 足为E,点F在AD的延长线上,CFAD,垂足为F. (1)若BAD=60,求证:四边形CEHF是菱形; (2)若CE=4,ACE的面积为16,求菱形ABCD的面积. 解析解析 (1)证明:在菱形ABCD中,BAD=60, BAC=30.(1分) CEAB,垂足为E,H为对角线AC的中点, CE=AC=CH,ECH=90-EAC=60. CEH是等边三角形, CE=CH
6、=EH. 同理可证CF=CH=FH.(3分) CE=EH=FH=CF, 四边形CEHF是菱形.(4分) (2)CE=4,SACE=16,CEAB,垂足为E, AE CE=16,解得AE=8.(6分) 四边形ABCD是菱形, AB=BC. 1 2 1 2 设AB=BC=x,则BE=8-x. 由BC2=CE2+BE2,即x2=42+(8-x)2, 解得x=5,即AB=5.(8分) SABC=AB CE=54=10, S菱形ABCD=2SABC=20.(9分) 1 2 1 2 思路分析思路分析 (1)根据菱形的性质和含30角的直角三角形的性质,判定CEH为等边三角形,得CE=CH= EH,进而得出四
7、边形CEHF的四条边都相等;(2)由SACE=CE AE求得边AE的长,在RtBCE中利用勾股 定理得BC的长,进而可求得菱形ABCD的面积. 1 2 8.(2019新疆,19,10分)如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,E是CD中点,连接OE.过点C作CF BD交OE的延长线于点F,连接DF. 求证:(1)ODEFCE; (2)四边形OCFD是矩形. 证明证明 (1)CFBD,DOE=CFE,(1分) E是CD的中点,DE=CE,(2分) 又DEO=CEF, ODEFCE.(4分) (2)ODEFCE,OD=FC,(5分) CFBD,四边形OCFD是平行四边形,(7分) 四边
8、形ABCD是菱形,DOC=90,(9分) 平行四边形OCFD是矩形.(10分) 解题关键解题关键 本题考查了菱形的性质,全等三角形的判定与性质,矩形的判定,平行四边形的判定,熟练掌握 菱形的性质,证明三角形全等是解题的关键. 考点二 矩形的性质与判定 1.(2019江苏无锡,7,3分)下列结论中,矩形具有而菱形不一定具有的性质是( ) A.内角和为360 B.对角线互相平分 C.对角线相等 D.对角线互相垂直 答案答案 C 矩形和菱形的内角和都为360,矩形的对角线互相平分且相等,菱形的对角线垂直且平分,所 以矩形具有而菱形不具有的性质为对角线相等,故选C. 2.(2019广东广州,9,3分)
9、如图,矩形ABCD中,对角线AC的垂直平分线EF分别交BC,AD于点E,F,若BE=3,AF =5,则AC的长为( ) A.4 B.4 C.10 D.8 53 答案答案 A 如图,设AC与EF交于点O,连接AE,四边形ABCD是矩形,ADBC,FAO=ECO. EF垂直平分线段AC,OA=OC, 在FAO和ECO中, FAOECO(ASA),CE=AF=5. EF垂直平分线段AC,EA=EC=5,BC=BE+EC=3+5=8.四边形ABCD是矩形,B=90. 在RtABE中,AB=4. 在RtABC中,AC=4.故选A. , , , FAOECO OAOC AOFCOE 22 -AE BE 2
10、2 5 -3 22 ABBC 22 485 思路分析思路分析 设AC与EF交于点O,连接AE,由垂直平分线的性质易得EA=EC,OA=OC,可证明FAO ECO,从而得到EC=AF=5,BC=BE+EC=8.在RtABE中,利用勾股定理可求出AB的长度,在RtABC 中,利用勾股定理求出AC的长度. 3.(2020云南,6,3分)已知四边形ABCD是矩形,点E是矩形ABCD的边上的点,且EA=EC.若AB=6,AC=2, 则DE的长是 . 10 答案答案 或 8 3 2 34 3 解析解析 四边形ABCD是矩形,DC=AB=6,ADC=90, 在RtADC中,AD=2. 当点E在DC边上时,如
11、图1,设EA=EC=x, 则DE=6-x,在RtADE中,AD2+DE2=AE2, 22+(6-x)2=x2,x=,DE=. 图1 当点E在AB边上时,如图2,易求得AE=, 22 -AC DC40-36 10 3 8 3 10 3 在RtADE中,DE=. DE的长为或. 图2 22 AEAD 2 34 3 8 3 2 34 3 解后反思解后反思 本题主要考查矩形的性质,勾股定理以及分类讨论的思想,因为点E的位置不确定,需根据EA =EC,讨论点E在边AB和边DC上的情况,分别求DE的长. 4.(2019甘肃兰州,16,4分)如图,矩形ABCD,BAC=60,以点A为圆心,以任意长为半径作弧
12、分别交AB,AC 于M,N两点,再分别以点M,N为圆心,以大于MN的长为半径作弧交于点P,作射线AP交BC于点E,若BE=1, 则矩形ABCD的面积等于 . 1 2 答案答案 3 3 解析解析 由题意可知AP是BAC的平分线,BAE=BAC=30,在RtABE中,tan 30=,而BE= 1,AB=,在RtABC中,tan 60=,BC=3,S矩形ABCD=AB BC=3=3. 1 2 BE AB 3 3 3 BC AB 333 思路分析思路分析 根据题意可判断出AP是BAC的平分线,在RtABE和RtABC中根据正切的定义依次求 出AB和BC,最后求出矩形面积. 5.(2018北京,13,2
13、分)如图,在矩形ABCD中,E是边AB的中点,连接DE交对角线AC于点F,若AB=4,AD=3,则 CF的长为 . 答案答案 10 3 解析解析 四边形ABCD是矩形,ABCD,CD=AB=4,BC=AD=3,DCA=CAB,又DFC=AFE, CDFAEF,=.E是边AB的中点,AB=4,AE=2.BC=3,AB=4,ABC=90,AC=5. =,CF=. CF AF CD AE 5- CF CF 4 2 10 3 6.(2019云南,20,8分)如图,四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,AO=OC,BO=OD,且AOB= 2OAD. (1)求证:四边形ABCD是矩形; (2)若A
14、OBODC=43,求ADO的度数. 解析解析 (1)证明:AO=OC,BO=OD, 四边形ABCD是平行四边形.(1分) 又AOB=2OAD,AOB是AOD的外角, AOB=OAD+ADO. OAD=ADO.(2分) AO=OD.(3分) 又AC=AO+OC=2AO,BD=BO+OD=2OD, AC=BD. 四边形ABCD是矩形.(4分) (2)设AOB=4x,ODC=3x,则OCD=ODC=3x.(5分) 在ODC中,DOC+OCD+CDO=180. 4x+3x+3x=180,解得x=18.(6分) ODC=318=54.(7分) ADO=90-ODC=90-54=36.(8分) 名师点拨名
15、师点拨 (1)对角线相等的平行四边形为矩形.(2)三角形的内角和为180.(3)三角形的一个外角等于与 它不相邻的两个内角之和. 7.(2020云南昆明,23,12分)如图1,在矩形ABCD中,AB=5,BC=8,点E,F分别为AB,CD的中点. (1)求证:四边形AEFD是矩形; (2)如图2,点P是边AD上一点,BP交EF于点O,点A关于BP的对称点为点M,当点M落在线段EF上时,则有 OB=OM.请说明理由; (3)如图3,若点P是射线AD上一个动点,点A关于BP的对称点为点M,连接AM,DM,当AMD是等腰三角形 时,求AP的长. 图1 图2 图3 解析解析 (1)证明:四边形ABCD
16、是矩形, ABCD,AB=CD,A=90,(1分) 点E,F分别是AB,CD的中点, AE=AB,DF=CD, AE=DF,(2分) AEDF, 四边形AEFD是平行四边形,(3分) A=90, 四边形AEFD是矩形.(4分) 1 2 1 2 (2)证法一:连接OA,AM. 点A关于BP的对称点为M, BP垂直平分AM,(5分) OA=OM,(6分) 四边形AEFD是矩形, EFAB, 点E是AB的中点, EF垂直平分AB, OA=OB,OB=OM.(8分) 证法二:连接OA,AM, 点A关于BP的对称点为M, BP垂直平分AM,(5分) OA=OM,(6分) 四边形AEFD是矩形, EOAP
17、, =1, BO=OP, 在RtABP中,AO=BO=BP,(7分) BO OP BE EA 1 2 OB=OM.(8分) (其他证法参照此标准给分) (3)分四种情况: 当MA=MD,且点P在边AD上时, 过点M作直线MHAD于点H,交BC于点G,连接PM,BM, AD=BC=8, AH=AD=4, BAH=ABG=AHG=90, 四边形ABGH是矩形, BG=AH=4,HG=AB=5, BP垂直平分AM, BM=BA=5,AP=PM, 在RtBGM中,BGM=90,由勾股定理得 MG=3, HM=2, 设AP=PM=a,则PH=4-a, 在RtPHM中,PHM=90,由勾股定理得 PH2+
18、HM2=PM2,即(4-a)2+22=a2,解得a=, 1 2 22 -BMBG 22 5 -4 5 2 AP=.(9分) 5 2 当MA=MD,且点P在射线AD上,P在D右侧时, 过点M作MHAD于点H,交BC于点G,连接PM,BM, AD=BC=8, AH=AD=4, BAH=ABG=AHG=90, 四边形ABGH是矩形, BG=AH=4,HG=AB=5, BP垂直平分AM, BM=BA=5, 在RtBGM中,BGM=90,BM=5, 由勾股定理可得MG=3, HM=8, 设AP=PM=a,则PH=a-4, 1 2 22 -BMBG 22 5 -4 在RtPHM中,PHM=90,由勾股定理
19、可得 PH2+HM2=PM2,即(a-4)2+82=a2,解得a=10, AP=10.(10分) 当DA=DM时,连接BM, BA=BM, BD为AM的垂直平分线, 即点D为AM的垂直平分线与射线AD的交点, 点A关于BP的对称点为点M, 点P为AM的垂直平分线与射线AD的交点, 点D与点P重合, AP=AD=8.(11分) 当AM=AD=8时,设BP交AM于点Q,连接PM,BM. BP垂直平分AM, BA=BM=5,AQ=AM=AD=4, 在RtABQ中,AQB=90,由勾股定理得 BQ=3, ABQ=PBA,BQA=BAP=90, ABQPBA, =,即=, AP=. 综上所述,AP的长为
20、或10或8或.(12分) (其他解法参照此标准给分) 1 2 1 2 22 -AB AQ 22 5 -4 BQ BA QA AP 3 5 4 AP 20 3 5 2 20 3 思路分析思路分析 (3)分四种情况:当MA=MD,且点P在边AD上时,过点M作直线MHAD于点H,交BC于点G, 连接PM,BM,在RtBGM中,由勾股定理可得MG=3,所以HM=2,因为AP=PM,所以在RtPHM中,由勾股 定理得AP的长;当MA=MD,且点P在射线AD上,P在D右侧时,同可得AP的长;当DA=DM时,因为BA =BM,所以BD为AM的垂直平分线,因为BP为AM的垂直平分线,所以点P和点D重合,即可得
21、AP的长;当 AM=AD=8时,设BP交AM于点Q,连接PM,BM,由点A和点M关于BP对称,可得AQ,BQ,证得ABQPBA, 即可求得AP的长. 8.(2020辽宁营口,25,14分)如图,在矩形ABCD中,AD=kAB(k0),点E是线段CB延长线上的一个动点,连接 AE,过点A作AFAE交射线DC于点F. (1)如图1,若k=1,则AF与AE之间的数量关系是 ; (2)如图2,若k1,试判断AF与AE之间的数量关系,写出结论并证明;(用含k的式子表示) (3)若AD=2AB=4,连接BD交AF于点G,连接EG,当CF=1时,求EG的长. 图1 图2 备用图 解析解析 (1)AF=AE.
22、(2分) 详解:k=1,AD=AB, 四边形ABCD是正方形,BAD=90, AFAE,EAF=90,EAB=FAD, ABE=D=90, EABFAD(ASA),AF=AE. (2)AF=kAE.(4分) 证明:四边形ABCD是矩形, BAD=ABC=ADF=90, FAD+FAB=90, AFAE,EAF=90, EAB+FAB=90, EAB=FAD, ABE+ABC=180, ABE=180-ABC=180-90=90, ABE=ADF, ABEADF.(7分) =. AD=kAB, =, =,AF=kAE.(8分) (3)如图1,当点F在DC上时, 四边形ABCD是矩形,AB=CD,
23、ABCD, AB AD AE AF AB AD 1 k AE AF 1 k 图1 AD=2AB=4, AB=2,CD=2, CF=1,DF=CD-CF=2-1=1. 在RtADF中,ADF=90, AF=, 22 ADDF 22 4117 DFAB, GDF=GBA,GFD=GAB, GDFGBA, =, AF=GF+AG, AG=AF=,(9分) 由(2)得AE=AF=.(10分) 在RtEAG中,EAG=90, EG=.(11分) 如图2,当点F在DC的延长线上时,DF=CD+CF=2+1=3. GF GA DF BA 1 2 2 3 2 17 3 1 2 1 2 17 17 2 22 A
24、EAG 22 172 17 23 1768 49 5 17 6 图2 在RtADF中,ADF=90, AF=5, DFAB, GAB=GFD,GBA=GDF, 22 ADDF 22 43 AGBFGD, =, GF+AG=AF=5, AG=2,(12分) 由(2)得AE=AF=5=.(13分) 在RtEAG中,EAG=90, EG=. 综上所述,EG的长为或.(14分) AG FG AB FD 2 3 1 2 1 2 5 2 22 AEAG 2 2 5 2 2 25 4 4 41 2 5 17 6 41 2 解题关键解题关键 解决第(3)问的关键是要发现并灵活运用AGBFGD,进而求得线段AE
25、和AG的长.同时 要注意由于点F的位置不确定需要分类讨论. 考点三 正方形的性质与判定 1.(2020广东,9,3分)如图,在正方形ABCD中,AB=3,点E,F分别在边AB,CD上,EFD=60.若将四边形EBCF 沿EF折叠,点B恰好落在AD边上,则BE的长度为( ) A.1 B. C. D.2 2 3 答案答案 D 四边形ABCD是正方形, CDAB, EFD=FEB=60. 由折叠的性质可知FEB=FEB=60, AEB=180-FEB-FEB=60, ABE=30, BE=2AE. 设AE=x, 则BE=BE=2x, AB=AE+BE=3x=3, x=1, BE=2x=2,故选D.
26、思路分析思路分析 由CDAB得到EFD=FEB=60,进而由折叠的性质得到FEB=FEB=60,则AEB= 60,然后根据直角三角形中30角所对的直角边长等于斜边长的一半得出AE与BE的倍数关系即可求解. 2.(2019内蒙古呼和浩特,9,3分)已知正方形的对称中心在坐标原点,顶点A、B、C、D按逆时针依次排 列,若A点的坐标为(2,),则B点与D点的坐标分别为( ) A.(-2,),(2,-) B.(-,2),(,-2) C.(-,2),(2,-) D., 3 33 33 33 721 -, 22 721 ,- 22 答案答案 B 如图所示,连接AO,DO,作AEx轴,DFy轴,垂足分别为E
27、、F.四边形ABCD为正方形,AO =DO,AOD=EOF=90,1=2,AEO=DFO=90,AOEDOF.OF=OE=2,DF=AE= ,D(,-2),点B与点D关于原点对称,B(-,2),故选B. 33 3 3.(2016河北,6,3分)关于ABCD的叙述,正确的是( ) A.若ABBC,则ABCD是菱形 B.若ACBD,则ABCD是正方形 C.若AC=BD,则ABCD是矩形 D.若AB=AD,则ABCD是正方形 答案答案 C 若ABBC,则ABCD是矩形,不是菱形,选项A不正确;若ACBD,则ABCD是菱形,不一定 是正方形,选项B不正确;若AC=BD,则ABCD是矩形,选项C正确;若
28、AB=AD,则ABCD是菱形,但不一定 是正方形,选项D不正确. 思路分析思路分析 由菱形、矩形、正方形的判定方法得出选项A、B、D错误,C正确. 解题关键解题关键 本题考查特殊平行四边形的判定方法,熟练掌握矩形、菱形、正方形的判定方法是解题的 关键. 4.(2020内蒙古包头,16,3分)如图,在正方形ABCD中,E是对角线BD上一点,AE的延长线交CD于点F,连接 CE.若BAE=56,则CEF= . 答案答案 22 解析解析 四边形ABCD为正方形, BCD=90,ABCD,AB=BC,ABE=CBE, 又BE=BE,ABECBE(SAS), BCE=BAE=56, ECF=90-BCE
29、=34, ABCD, EFD=BAE=56, EFD=ECF+CEF, CEF=56-34=22.故答案为22. 5.(2018湖北武汉,14,3分)以正方形ABCD的边AD为三角形的一边作等边ADE,则BEC的度数是 . 答案答案 30或150 解析解析 当点E在正方形ABCD外时,如图, 四边形ABCD为正方形,ADE为等边三角形, AB=AD=AE,BAD=90,AED=DAE=60, BAE=150, AEB=ABE=15, 同理可得DCE=DEC=15, 则BEC=AED-AEB-DEC=30. 当点E在正方形ABCD内时,如图, 四边形ABCD为正方形,ADE为等边三角形, AB=
30、AD=AE,BAD=90,AED=DAE=60, BAE=30, AEB=ABE=75, 同理可得DCE=DEC=75, 则BEC=360-AED-AEB-DEC=150. 综上,BEC=30或150. 易错警示易错警示 此题没有给出图形,需按点E的位置分类讨论,学生往往只画出点E在正方形外而导致漏解. 6.(2019湖北黄冈,19,6分)如图,ABCD是正方形,E是CD边上任意一点,连接AE,作BFAE,DGAE,垂足分 别为F,G.求证:BF-DG=FG. 证明证明 在ABF和DAG中, BFAE,DGAE, AFB=DGA=90. 又DAG+FAB=DAG+ADG=90, FAB=ADG
31、. 又AB=AD, ABFDAG. BF=AG,AF=DG. BF-DG=AG-AF=FG. 思路分析思路分析 由题意可证明ABFDAG,从而得到BF=AG,AF=DG,问题解决. 教师专用题组 考点一 菱形的性质与判定 1.(2020四川南充,7,4分)如图,面积为S的菱形ABCD中,点O为对角线的交点,点E是线段BC的中点,过点E 作EFBD于F,EGAC于G,则四边形EFOG的面积为( ) A.S B.S C.S D.S 1 4 1 8 1 12 1 16 答案答案 B 四边形ABCD是菱形, ACBD,SOBC=S, EFBD,EGAC, 四边形EFOG是矩形,EFOC,EGOB, 点
32、E是线段BC的中点, EF、EG都是OBC的中位线, S四边形EFOG=SOBC=S. 故选B. 1 4 1 2 1 8 2.(2019天津,8,3分)如图,四边形ABCD为菱形,A,B两点的坐标分别是(2,0),(0,1),点C,D在坐标轴上,则菱形 ABCD的周长等于( ) A. B.4 C.4 D.20 535 答案答案 C 由点A,B的坐标可得OA=2,OB=1,根据勾股定理可得AB=,由菱形的性质可得 AB=AD=CD=CB=, 所以菱形ABCD的周长等于4,故选C. 22 OAOB 5 5 5 3.(2018贵州贵阳,5,3分)如图,在菱形ABCD中,E是AC的中点,EFCB,交A
33、B于点F,如果EF=3,那么菱形 ABCD的周长为( ) A.24 B.18 C.12 D.9 答案答案 A E是AC的中点,AC=2AE. EFCB,=2, BC=2EF=6, 菱形ABCD的周长为64=24.故选A. BC EF AC AE 4.(2020陕西,14,3分)如图,在菱形 ABCD中,AB=6,B=60,点E在边AD上,且AE=2.若直线l经过点E,将该 菱形的面积平分,并与菱形的另一边交于点F,则线段EF的长为 . 答案答案 2 7 解析解析 过A作AGBC于G,过E作EHBC于H, 则四边形AGHE为矩形,AE=GH=2. 在菱形ABCD中,AB=6,B=60, AG=A
34、Bsin B=6=3=EH,BG=ABcos B=6=3. HC=BC-BG-GH=6-3-2=1. EF平分菱形ABCD的面积, AE=FC=2. FH=FC-CH=2-1=1. 3 2 3 1 2 在RtEFH中,由勾股定理可得EF=2. 22 EHFH 22 (3 3)1 7 5.(2020北京,21,6分)如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E是AD的中点,点F,G在AB上,EFAB, OGEF. (1)求证:四边形OEFG是矩形; (2)若AD=10,EF=4,求OE和BG的长. 解析解析 (1)证明:菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O, DO=BO, E是AD的中
35、点, EOAB, EFOG, 四边形OEFG是平行四边形, EFAB, EFB=90, 四边形OEFG是矩形.(3分) (2)四边形ABCD是菱形, ACBD,AB=AD=10. 在RtAOD中,E为AD的中点, AE=AD=5,OE=AD=5. EF=4, 1 2 1 2 在RtAFE中,AF=3. 四边形OEFG是矩形, FG=EO=5, BG=AB-AF-FG=2.(6分) 22 -AE EF 22 5 -4 思路分析思路分析 本题第(1)问首先需要借助中位线定理推出OEAB,然后利用有一个角是90的平行四边形 是矩形来判定;第(2)问需要利用勾股定理及矩形和菱形的性质求解. 解题关键解
36、题关键 解决本题的关键是发现题目中有多个中点(点E是AD的中点,点O是BD的中点),同时利用与 中点有关的性质(直角三角形斜边的中线等于斜边的一半,中位线定理)来解决. 6.(2019北京,20,5分)如图,在菱形ABCD中,AC为对角线,点E,F分别在AB,AD上,BE=DF,连接EF. (1)求证:ACEF; (2)延长EF交CD的延长线于点G,连接BD交AC于点O.若BD=4,tan G=,求AO的长. 1 2 解析解析 (1)证明:四边形ABCD为菱形, AB=AD,AC平分BAD. BE=DF, AE=AF. ACEF. (2)四边形ABCD为菱形, AO=OC,OD=BD,ACBD
37、. EFAC, BDEG. G=BDC. BD=4, OD=2. 在RtCOD中,tanCDO=tan G=,可得OC=1. 1 2 1 2 AO=1. 7.(2018新疆乌鲁木齐,18,10分)如图,在四边形ABCD中,BAC=90,E是BC的中点,ADBC,AEDC,EF CD于点F. (1)求证:四边形AECD是菱形; (2)若AB=6,BC=10,求EF的长. 解析解析 (1)证明:ADBC,AEDC, 四边形AECD是平行四边形. BAC=90,E是BC的中点,AE=CE=BC, 四边形AECD是菱形.(5分) (2)过点A作AHBC于点H, BAC=90,AB=6,BC=10,AC
38、=8, SABC=BC AH=AB AC,AH=. 1 2 1 2 1 2 24 5 点E是BC的中点,BC=10,四边形AECD是菱形,CD=CE=5. SAECD=CE AH=CD EF,EF=AH=.(10分) 24 5 思路分析思路分析 (1)先证四边形AECD是平行四边形,再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可证 四边形AECD是菱形.(2)过点A作AHBC于点H,由三角形的面积公式求出AH,再由平行四边形的面积公 式求出EF. 考点二 矩形的性质与判定 1.(2018甘肃兰州,8,4分)如图,矩形ABCD中,AB=3,BC=4,BEDF且BE与DF之间的距离为3,则AE的长是
39、 ( ) A. B. C. D. 7 3 8 7 8 5 8 答案答案 C BEDF,ADBC,四边形BEDF为平行四边形.BE与DF之间的距离为3,S平行四边形BEDF=3 BE=DE AB,又AB=3,BE=DE.在RtABE中,BE2=AE2+AB2,则(4-AE)2=AE2+32,解得AE=,故选C. 7 8 2.(2017四川绵阳,9,3分)如图,矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O,过点O作BD的垂线分别交AD,BC 于E,F两点.若AC=2,AEO=120,则FC的长度为( ) A.1 B.2 C. D. 3 23 答案答案 A 四边形ABCD是矩形, OA=OB=OC=AC=
40、. ADBC, OFC=AEO=120, BFO=60. EFBD, BOF=90, OBF=OCB=30, COF=BFO-OCB=30, OF=FC. OF=OB tan 30=1, FC=1,故选A. 1 2 3 3.(2016四川南充,8,3分)如图,对折矩形纸片ABCD,使AB与DC重合得到折痕EF,将纸片展平;再一次折叠, 使点D落到EF上点G处,并使折痕经过点A,展平纸片后DAG的大小为( ) A.30 B.45 C.60 D.75 答案答案 C 如图,根据第二次折叠可知,1=2,MGA=90,由第一次折叠可知,MN=AN,即NG是RtAMG 的中线,故AN=GN,所以2=3.又
41、EFAB,所以3=4,故1=2=4,又因为1+2+4=90, 所以1=2=4=30,所以1+2=DAG=60,故选C. 4.(2020江西,12,3分)矩形纸片ABCD,长AD=8 cm,宽AB=4 cm,折叠纸片,使折痕经过点B,交AD边于点E,点 A落在点A处,展平后得到折痕BE,同时得到线段BA,EA,不再添加其他线段.当图中存在30角时,AE的长 为 cm. 答案答案 或4或(8-4) 4 3 3 33 解析解析 分三种情况:当ABE=30时,在RtABE中,tan 30=,可得AE=;当AEB=30时, 在RtABE中,tan 30=,可得AE=4;当AED=30时,如图,由折叠性质
42、可得ABEABE, AEB=AEB=75,ABE=15,在RtABE中,作FEB=FBE并交AB于点F,则AFE=30,BF= EF=2AE,AF=4-2AE,在RtAFE中,AE2+AF2=EF2,即AE2+(4-2AE)2=(2AE)2,化简得AE2-16AE+16=0,可求 得AE=8-4或8+4(舍),AE的长为 cm或4 cm或(8-4)cm. AE AB 3 3 4 3 3 AB AE 3 3 3 33 4 3 3 33 难点突破难点突破 第种情况的突破口是构造等腰三角形EFB,从而应用勾股定理得到关于AE的一元二次方 程. 5.(2019湖北鄂州,18,8分)如图,矩形ABCD中
43、,AB=8,AD=6,点O是对角线BD的中点,过点O的直线分别交 AB、CD边于点E、F. (1)求证:四边形DEBF是平行四边形; (2)当DE=DF时,求EF的长. 解析解析 (1)证明:四边形ABCD是矩形,ABCD, DFO=BEO, 又DOF=BOE,OD=OB,DOFBOE, DF=BE, 又DFBE,四边形DEBF是平行四边形. (2)DE=DF,四边形DEBF是平行四边形, 四边形DEBF是菱形,DE=BE,EFBD,OE=OF, 设AE=x,则DE=BE=8-x, 在RtADE中,根据勾股定理,有AE2+AD2=DE2, 即x2+62=(8-x)2, 解得x=,DE=8-=,
44、 在RtABD中,根据勾股定理,有AB2+AD2=BD2, 即BD=10,OD=BD=5, 7 4 7 4 25 4 22 68 1 2 在RtDOE中,根据勾股定理,有OE=,EF=2OE=. 2 2 25 -5 4 15 4 15 2 6.(2018吉林,24,8分)如图,在ABC中,AB=AC,过AB上一点D作DEAC交BC于点E,以E为顶点,ED为 一边,作DEF=A,另一边EF交AC于点F. (1)求证:四边形ADEF为平行四边形; (2)当点D为AB中点时,ADEF的形状为 ; (3)延长图中的DE到点G,使EG=DE,连接AE,AG,FG,得到图.若AD=AG,判断四边形AEGF
45、的形状,并 说明理由. 解析解析 (1)证明:DEAC,DEF=EFC. DEF=A,A=EFC. EFAB. 四边形ADEF为平行四边形.(2分) (2)菱形.(4分) (3)结论:四边形AEGF为矩形.(5分) 理由:由(1)知,四边形ADEF为平行四边形. AFDE,AD=EF, EG=ED,AFEG. 四边形AEGF是平行四边形.(6分) AD=AG,AG=EF.(7分) 四边形AEGF为矩形.(8分) 评分说明:第(3)题,证明过程正确,但前面不先写出结论的不扣分. 思路分析思路分析 (1)根据平行四边形的定义进行判定;(2)由D为AB的中点,结合(1)知DE=AC,又AD=AB,
46、DE=AD,ADEF为菱形;(3)利用(1)的结论先证明四边形AEGF为平行四边形,再证AG=EF即可. 1 2 1 2 考点三 正方形的性质与判定 1.(2019甘肃兰州,12,4分)如图,边长为的正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O,将正方形ABCD沿直 线DF折叠,点C落在对角线BD上的点E处,折痕DF交AC于点M,则OM=( ) A. B. C.-1 D.-1 2 1 2 2 2 32 答案答案 D 连接EM,由折叠性质可知EM=CM,DE=DC=,在正方形ABCD中,AC=DC=2,OC=OD= AC=1,ACBD,EM=CM=1-OM,OE=-1. 解法一:在RtEOM中,OM
47、2+OE2=EM2,即OM2+=(1-OM)2,解得OM=-1. 解法二:易知DMO=FMC,且DOC=DFC=90,ODM=FCM,又OD=OC,DOM=COE= 90,DOMCOE,OM=OE=-1,故选D. 22 1 2 2 2 ( 2-1)2 2 2.(2019内蒙古包头,11,3分)如图,在正方形ABCD中,AB=1,点E、F分别在边BC和CD上,AE=AF,EAF=60, 则CF的长是( ) A. B. C.-1 D. 31 4 3 2 3 2 3 答案答案 C 如图,连接EF,在正方形ABCD中,AB=AD,B=D=90,又AE=AF,RtABERtADF, BE=DF,又BC=CD,CE=CF.EAF=60,AEF是等边三角形.设CE=x(0x1),C=90, EF=x,则AE=x.在RtABE中,12+(1-x)2=(x)2,化简得x2+2x-2=0,解得x=-1或x=-1-(舍),CF= CE=-1.故选C. 22233 3 3.(2019安徽,10,4分)如图,在正方形ABCD中,点E,F将对角线AC三等分,且AC=12.点P在正方形的边上,则 满足PE+PF=9的点P的个数是( ) A.0 B.4 C.6 D.8 答案答案 D 如图,作E,F关于AD的对称点
