1、 中考数学 （北京专用） 4.4 圆 北京中考题组 1.(2019北京,5,2分)已知锐角AOB. 如图, (1)在射线OA上取一点C,以点O为圆心,OC长为半径作,交射线OB于点D,连接CD; (2)分别以点C,D为圆心,CD长为半径作弧,交于点M,N; (3)连接OM,MN. 根据以上作图过程及所作图形,下列结论中错误的是( ) A.COM=COD PQ PQ B.若OM=MN,则AOB=20 C.MNCD D.MN=3CD 答案答案 D 由题意可知=, COM=COD.选项A的说法正确. 连接ON,则OM=ON, 又OM=MN,OMN是等边三角形. MON=60, =, AOB=COM=
2、DON=20.选项B的说法正确. 连接CN,由圆周角定理可得MNC=MOC,DCN=DON, COM=DON, MNC=DCN, MNCD. 选项C的说法正确. 通过观察可知MN”“=” 或“”) 答案答案 解析解析 延长AD交O于C,连接BC, 则ACB=ACB, 由三角形外角可知,ACBADB, 所以ACB0), 则OA=3x, OD2+AD2=OA2, x2+(3)2=(3x)2, 解得x1=,x2=-(舍去). OA=3x=,即O半径的长为. 2 1 3 sin AE ADE 2 OD OA 1 3 2 3 2 3 2 9 2 9 2 考点三 与圆有关的计算 1.(2018北京东城一模
3、,4)如图,O是等边ABC的外接圆,其半径为3.图中阴影部分的面积是( ) A. B. C.2 D.3 3 2 答案答案 D 由题意可知,BAC=60,所以BOC=120,所以阴影部分的面积是32=3. 120 360 2.(2020北京东城二模,13)已知圆锥的母线长为5 cm,侧面积为15 cm2,则这个圆锥的底面半径为 cm. 答案答案 3 解析解析 由侧面积公式可知圆锥底面半径等于侧面积除以,再除以母线长,即155=3. 3.(2020北京房山二模,10)如图,扇形AOB,通过测量、计算,得弧AB的长约为 cm.(取3.14,结果保 留一位小数) 答案答案 3.1 解析解析 通过测量可
4、知BO=3 cm,O=60,所以弧AB的长为=3.1 cm. 603 180 4.(2019北京石景山二模,11)圆心角为80,半径为3的扇形的面积为 . 答案答案 2 解析解析 扇形的面积为=2. 2 803 360 5.(2018北京西城二模,11) 如图,等边三角形ABC内接于O,若O的半径为2,则图中阴影部分的面积等 于 . 答案答案 4 3 解析解析 连接OC,因为三角形是等边三角形, 所以OAB的面积等于OAC的面积, 所以阴影部分的面积等于扇形OAC的面积, 为22=. 120 360 4 3 一、选择题(每小题2分,共12分) B组 20182020年模拟提升题组 时间:80分
5、钟 分值:100分 1.(2020北京海淀一模,6)如图,AB与O相切于点B,AO的延长线交O于点C,连接BC,若OC=OA,则C 等于( ) A.15 B.30 C.45 D.60 1 2 答案答案 B 连接OB.AB与O相切于点B,ABO=90.OB=OC,OC=OA,C=OBC,OB=OA. A=30.AOB=60,则C+OBC=60. C=30.故选B. 1 2 1 2 思路分析思路分析 连接OB构造直角三角形,进而借助边的关系可求角的度数. 解题关键解题关键 解决本题的关键是用好切线的性质得到直角三角形. 2.(2020北京朝阳一模,7)如图,直线l1l2,点A在直线l1上,以点A为
6、圆心,适当长度为半径画弧,分别交直线l 1,l2于B,C两点,以点C为圆心,CB长为半径画弧,与前弧交于点D(不与点B重合),连接AC,AD,BC,CD,其中 AD交l2于点E.若ECA=40,则下列结论错误的是( ) A.ABC=70 B.BAD=80 C.CE=CD D.CE=AE 答案答案 C 因为l1l2,所以ECA=CAB=40. 由作图,知AB=AC,所以ABC=ACB=70, 故选项A不符合题意; 由作图,知BC=CD,根据等弦所对的圆心角相等, 得BAC=CAD=40,所以BAD=80, 故选项B不符合题意;因为EAC=ECA=40, 所以CE=AE,故选项D不符合题意.故选C
7、. 3.(2020北京丰台一模,6)在O中按如下步骤作图: (1)作O的直径AD; (2)以点D为圆心,DO长为半径画弧,交O于B,C两点; (3)连接DB,DC,AB,AC,BC. 根据以上作图过程及所作图形,下列四个结论中错误的是( ) A.ABD=90 B.BAD=CBD C.ADBC D.AC=2CD 答案答案 D 根据作图过程可知AD是O的直径, ABD=90.选项A结论正确. BD=CD,=.BAD=CBD.选项B结论正确. 根据垂径定理,得ADBC,选项C结论正确. DC=OD,AD=2CD. 选项D结论错误.故选D. BD CD 4.(2020北京平谷一模,7)如图是66的正方
8、形网格,点A,B均在格点上.如果点C也在此正方形网格的格点 上,且ACB=90,则满足条件的点C共有( ) A.3个 B.4个 C.6个 D.8个 答案答案 C 设正方形网格中小正方形的边长为1.由勾股定理得AB=2,以AB的中点为圆心,以为半 径作圆,与正方形网格交于6个格点(除A,B外),如图所示,以6个格点为C,由圆周角定理可知,ACB=90, 则满足条件的点C共有6个,故选C. 55 5.(2020北京石景山一模,7)如图,点A,B,C,D在O上,弦AD的延长线与弦BC的延长线相交于点E.用AB 是O的直径,CB=CE,AB=AE中的两个作为题设,余下的一个作为结论组成一个命题,则组成
9、真命题 的个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 答案答案 D 连接AC. 当为题设,为结论时,这个命题是真命题. 理由:AB是O的直径,ACB=90. ACB=ACE=90. 在ACB和ACE中, ACBACE(SAS).AB=AE. 当为题设,为结论时,这个命题是真命题. 理由:AB是O的直径,ACB=90. ACB=ACE=90. 在RtACB和RtACE中, RtACBRtACE(HL).CB=CE. , , , ACAC ACBACE BCEC , , ABAE ACAC 当为题设,为结论时,这个命题是真命题. 理由:在ACB和ACE中, ACBACE(SSS). ACB=AC
10、E. 又ACB+ACE=180, ACB=ACE=90. AB是O的直径. 综上,有3个真命题,故选D. , , , ABAE ACAC CBCE 6.(2018北京朝阳二模,8)如图,矩形ABCD中,AB=4,BC=3,F是AB中点,以点A为圆心,AD为半径作弧交AB于 点E,以点B为圆心,BF为半径作弧交BC于点G,则图中阴影部分面积的差S1-S2为( ) A.12- B.12- C.6+ D.6 13 4 9 4 13 4 答案答案 A S矩形ABCD=S扇形ADE+S扇形BFG-S2+S1, 则有32+22+S1-S2=34, 所以S1-S2=12-.故选A. 1 4 1 4 13 4
11、 解题关键解题关键 解决本题的关键是借助扇形面积和S1与S2表示出矩形的面积. 二、填空题(每小题2分,共12分) 7.(2020北京西城一模,15)如图,在平面直角坐标系xOy中,点A,B,C的坐标分别是(0,4),(4,0),(8,0),M是 ABC的外接圆,则点M的坐标为 . 答案答案 (6,6) 解析解析 ABC的外接圆圆心是ABC各边上线段垂直平分线的交点,线段AB的垂直平分线的解析式是y =x.线段BC的垂直平分线的解析式是x=6,这两条直线的交点是(6,6),于是点M坐标是(6,6). 解题关键解题关键 明确三角形的外接圆圆心是三边垂直平分线的交点,通过观察发现边AB,BC的垂直
12、平分线 易求出,通过这两条直线的解析式就可以求出交点,即为点M. 8.(2020北京东城一模,14)如图,半径为的O与边长为8的等边三角形ABC的两边AB、BC都相切,连 接OC,则tanOCB= . 3 答案答案 3 5 解析解析 连接OB,作ODBC于D,O与等边三角形ABC的两边AB、BC都相切,OBC=OBA= ABC=30.tanOBC=.BD=3. CD=BC-BD=8-3=5.tanOCB=. 1 2 OD BDtan30 OD 3 3 3 OD CD 3 5 解题关键解题关键 解决本题的关键是借助切线的性质和等边三角形的性质,进而通过解直角三角形表示各个 边的长. 9.(202
13、0北京房山一模,15)如图,AC是O的弦,AC=6,点B是O上的一个动点,且ABC=60,若点M、N分 别是AC、BC的中点,则MN的最大值是 . 答案答案 2 3 解析解析 作直径AD,连接CD,如图, 点M、N分别是AC、BC的中点,NM为CAB的中位线. MN=AB. AD为直径,ACD=90.ADC=ABC=60, CD=AC=2,AD=2CD=4.当AB=AD时,AB的值最大, AB的最大值为4,MN的最大值为2. 1 2 3 3 3 3 33 思路分析思路分析 本题可以借助中位线定理和圆中最长的弦是直径来解决. 解题关键解题关键 解决本题的关键是由MN想到弦AB,寻找MN的最大值就
14、变为寻找弦AB的最大值. 10.(2019北京石景山一模,16)如图,AB是O的一条弦,P是O上一动点(不与点A,B重合),C,D分别是AB, BP的中点.若AB=4,APB=45,则CD的最大值为 . 答案答案 2 2 解析解析 C,D分别是AB,BP的中点,CD=AP. 要求CD的最大值也就是求AP的最大值, 当AP为直径时取得最大值. AB=4,APB=45, AP的最大值为4.CD的最大值为2. 1 2 22 思路分析思路分析 求CD的最大值,需要找到一条与CD有一定数量关系且数量关系保持不变的线段. 解题关键解题关键 解决本题的关键是发现线段AP,进而找弦AP取最大值的情况直径. 1
15、1.(2018北京朝阳一模,13)如图,点A,B,C在O上,四边形OABC是平行四边形,ODAB于点E,交O于点 D,则BAD= . 答案答案 15 解析解析 连接OB,则有OA=OB=OC, 四边形OABC是平行四边形,CO=AB. BO=AO=AB. AOB是等边三角形,BOA=60. ODAB,BOD=30. BAD=30=15. 1 2 思路分析思路分析 本题需要借助平行四边形边的性质和特殊三角形的性质解决. 12.(2018北京海淀一模,15)定义:圆中有公共端点的两条弦组成的折线称为圆的一条折弦.阿基米德折弦 定理:如图1,AB和BC组成圆的折弦,ABBC,M是的中点,MFAB于F
16、,则AF=FB+BC. 如图2,ABC中,ABC=60,AB=8,BC=6,D是AB上一点,BD=1,作DEAB交ABC的外接圆于E,连接EA, 则EAC= . ABC 答案答案 60 解析解析 60的圆周角所对的劣弧是圆周的三分之一.因为AD=8-1=7,BC+BD=6+1=7,所以E为优弧 的中点,所以劣弧也是圆周的三分之一,所以它所对的圆周角EAC=60. AC AC EC 解题关键解题关键 解决本题的关键是要借助折弦的性质发现点E是优弧的中点. AC 三、解答题(共76分) 13.(2020北京西城一模,23)如图,四边形OABC中,OAB=90,OA=OC,BA=BC.以O为圆心,以
17、OA为半径作 O. (1)求证:BC是O的切线; (2)连接BO并延长交O于点D,延长AO交O于点E,与BC的延长线交于点F,若=, 补全图形; 求证:OF=OB. AD AC 解析解析 (1)证明:连接AC, OC=OA,点C在O上.OA=OC,BA=BC, OAC=OCA,BAC=BCA. OCB=OAB=90. OCBC于点C.BC是O切线. (2)补全图形如图. 证明:BA,BC是O的两条切线,切点分别为A,C,BA=BC,DBA=DBC. BD是AC的垂直平分线. OA=OC,AOB=COB. =,AE为O的直径, =.COE=DOE. AOB=DOE,AOB=BOC=COE=60.
18、 BC是O的切线,切点为C, OCB=OCF=90. OBC=OFC=30.OF=OB. AD AC CE DE 思路分析思路分析 根据圆以及切线的概念判定BC是O切线;根据题目中给定的等弧的关系并借助直径得到 相关的圆心角的关系,进一步推得角度之间的关系,再由“等角对等边”证明线段相等. 解后反思解后反思 根据题目要求准确地补全图形,在图形中进行观察,思考要证明两条线段相等一般会采用的 方法有什么,平时中要注意总结,例如全等,角平分线,中垂线,等角对等边.而结合本题图形特点分析,第(2) 问应使用等角对等边,从而确定思路是证明OBC=OFC,再结合已知中所给的等弧关系推导等角. 14.(20
19、20北京东城一模,23)如图,直线l与O相离,OAl于点A,与O相交于点P,OA=5.C是直线l上一点, 连接CP并延长,交O于点B,且AB=AC. (1)求证:AB是O的切线; (2)若tanACB=,求线段BP的长. 1 2 解析解析 (1)证明:如图,连接OB,则OP=OB.OBP=OPB=CPA. AB=AC,ACB=ABC. 而OAl,即OAC=90. ACB+CPA=90. 即ABP+OBP=90.ABO=90, OBAB,故AB是O的切线.(2分) (2)tanACB=, 在RtACP中,设AP=x,AC=2x. OA=5,OP=5-x.OB=5-x. AB=AC,AB=2x.
20、由勾股定理,得OB2+AB2=OA2. 即(5-x)2+(2x)2=52, 解得x=2(x=0舍去).AP=2. OB=OP=3,AB=AC=4.CP=2. 过O作ODPB于D, 在ODP和CAP中,OPD=CPA,ODP=CAP=90, ODPCAP.=. 1 2 5 PD PA OP CP PD=. BP=2PD=.(6分) OP PA CP 3 5 5 6 5 5 解题关键解题关键 解决本题的关键是通过勾股定理列出方程,求得AP的长,另外要通过对顶角相等,进而构造垂 线,从而发现ODP与CAP相似. 15.(2020北京海淀一模,24)如图,在RtABC中,BAC=90,点D为BC边的中
21、点,以AD为直径作O,分别 与AB,AC交于点E,F,过点E作EGBC于G. (1)求证:EG是O的切线; (2)若AF=6,O的半径为5,求BE的长. 解析解析 (1)证明:如图,连接EF, BAC=90,EF是O的直径, OA=OE,BAD=AEO, 点D是RtABC的斜边BC的中点, AD=BD,B=BAD, AEO=B,OEBC, EGBC,OEEG, 点E在O上, EG是O的切线. (2)O的半径为5, EF=2OE=10, 在RtAEF中,AF=6, 根据勾股定理得,AE=8, 由(1)知OEBC, OA=OD,BE=AE=8. 22 EFAF 思路分析思路分析 第(1)问需要先判
22、断出EF是O的直径,进而判断出OEBC,即可得出结论;第(2)问先根据勾 股定理求出AE,再判断出BE=AE,即可得出结论. 16.(2020北京房山一模,24)如图,在RtABC中,C=90,以AC为直径作O交AB于点D,线段BC上有一点 P. (1)当点P在什么位置时,直线DP与O有且只有一个公共点?补全图形并说明理由; (2)在(1)的条件下,当BP=,AD=3时,求O的半径. 10 2 解析解析 (1)补全图形如图所示. 采用解法一或解法二均可,两者描述的点P在同一位置. 解法一:点P在过点D与OD垂直的直线与BC的交点处. 理由:经过半径外端,并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 解
23、法二:当点P是BC的中点时,直线DP与O有且只有一个公共点. 证明:连接CD,OD,AC是O的直径, ADC=BDC=90, 点P是BC的中点,DP=CP, PDC=PCD, ACB=90,PCD+DCO=90, OD=OC,DCO=ODC, PDC+ODC=90,ODP=90, DPOD,直线DP与O相切. (2)P是BC的中点,BC=2BP, BP=,BC=, ACB=BDC=90,B=B,ACBCDB, =,BC2=AB BD, 设AB=x,AD=3,BD=x-3, x(x-3)=()2, x=5(负值舍去),AB=5, 10 2 10 AB BC BC BD 10 ACB=90,AC=
24、, OC=AC=,即O的半径为. 22 ABBC 15 1 2 15 2 15 2 17.(2020北京石景山一模,23)如图,AB是O的直径,直线PQ与O相切于点C,以OB,BC为边作OBCD, 连接AD并延长交O于点E,交直线PQ于点F. (1)求证:AFCF; (2)连接OC,BD交于点H,若tanOCB=3,O的半径是5,求BD的长. 解析解析 (1)证明:四边形OBCD是平行四边形, DCOB,DC=OB. AO=OB,DCAO,DC=AO. 四边形OCDA是平行四边形. AFOC. 直线PQ与O相切于点C,OC是半径, OCQ=90.AFC=OCQ=90,即AFCF. (2)过点B
25、作BNOC于点N,如图所示. 四边形OBCD是平行四边形, BD=2BH,CH=CO=. 在RtBNC中,tanNCB=3, 设CN=x,BN=3x,ON=5-x. 在RtONB中,(5-x)2+(3x)2=52, 解得x1=0(舍),x2=1. 1 2 5 2 BN CN BN=3x=3,HN=-x=. 在RtHNB中,由勾股定理可得BH=. BD=2BH=3. 5 2 3 2 3 5 2 5 18.(2020北京燕山一模,22)如图,AB为O的直径,AC为弦,点D为中点,过点D作DE直线AC,垂足 为E,交AB的延长线于点F. (1)求证:EF是O的切线; (2)若EF=4,sinF=,求
26、O的半径. BC 3 5 解析解析 (1)证明:如图,连接BC,OD, AB是O的直径,ACB=90, 又EFAE,BCEF, 点D为中点, ODBC,ODEF, 又OD是O的半径,EF是O的切线. (2)在RtAEF中,AEF=90,EF=4,sinF=, BC 3 5 AE=3,AF=5, ODAE,ODFAEF,=, 设O的半径为r,则OD=r,OF=AF-AO=5-r, =,解得r=, O的半径为. OD AE OF AF 3 r5 5 r15 8 15 8 思路分析思路分析 本题第(2)问需要借助解直角三角形和相似三角形的性质来解决. 19.(2019北京西城一模,22)如图,AB是
27、O的直径,CB与O相切于点B.点D在O上,且BC=BD,连接CD交 O于点E.过点E作EFAB于点H,交BD于点M,交O于点F. (1)求证:MED=MDE; (2)连接BE,若ME=3,MB=2,求BE的长. 解析解析 (1)证明:AB是O的直径,CB与O相切于点B, CBAB.ABC=90.(1分) EFAB于点H,AHE=90. ABC=AHE.CBEF.C=MED.(2分) BC=BD,C=MDE.MED=MDE.(3分) (2)如图. AB是O的直径,ABEF,=.(4分) BE BF BDE=BEF. DBE=EBM,DBEEBM.(5分) =.BE2=BD BM. MED=MDE
28、,ME=MD=3. MB=2,BD=MB+MD=5.BE2=10.BE=.(6分) BD BE BE BM 10 一题多解一题多解 本题第二问还可以连接DF,证明BEMFDM,进而根据勾股定理即可解决. 20.(2019北京海淀一模,22)如图,AB是O的直径,弦CDAB于点E,在O的切线CM上取一点P,使得 CPB=COA. (1)求证:PB是O的切线; (2)若AB=4,CD=6,求PB的长. 3 解析解析 (1)证明:PC与O相切于点C,OCPC. OCP=90. AOC=CPB,AOC+BOC=180, BOC+CPB=180. 在四边形PBOC中,PBO=360-CPB-BOC-PC
29、O=90.半径OBPB.PB是O的切线. (2)连接OP,如图. AB是O的直径,AB=4,OC=OB=AB=2. 弦CDAB于点E,CD=6,CE=CD=3. 3 1 2 3 1 2 在RtCEO中,sinCOE=. COE=60. PB,PC都是O的切线, CPO=BPO,OCP=OBP.COP=BOP=60.PB=OB tan 60=6. CE CO 3 2 一题多解一题多解 本题第二问还可以连接BC,如图. AB是O的直径,AB=4, OC=AB=2. 弦CDAB于点E,CD=6, CE=CD=3. 在RtCEO中,sinCOE=. 3 1 2 3 1 2 CE CO 3 2 COE=
30、60.CPB=COE=60,ABC=COE=30.BC=2CE=6. PB,PC都是O的切线,PB=PC.PBC为等边三角形.PB=BC=6. 1 2 21.(2019北京东城一模,23)如图,AB与O相切于点A,P为OB上一点,且BP=BA,连接AP并延长交O于点 C,连接OC. (1)求证:OCOB; (2)若O的半径为4,AB=3,求AP的长. 解析解析 (1)证明:AB=BP, BAP=BPA.(1分) AB与O相切于点A,OABA. BAO=90,即BAP+PAO=90.(2分) 又OA=OC,PAO=C. BPA=CPO,C+CPO=90. COP=90,即COOB.(3分) (2
31、)如图,作BDAP于点D.在RtABO中,AB=3,OA=4, 则BO=5,OP=2. 在RtCPO中,PO=2,CO=4, 则CP=2.(4分) BA=BP,AD=PD. 由(1)知COP=90. BDP=90,BPD=CPO, BPDCPO.(5分) =, 即=. PD=.AP=2PD=.(6分) 5 BP CP PD PO 3 2 52 PD 3 5 5 6 5 5 22.(2019北京朝阳一模,22)如图,四边形ABCD内接于O,点O在AB上,BC=CD,过点C作O的切线,分别 交AB,AD的延长线于点E,F. (1)求证:AFEF; (2)若cos A=,BE=1,求AD的长. 4
32、5 解析解析 (1)证明:如图,连接OC. EF是O的切线,OCE=90.(1分) BC=CD,=.COB=DAB.(2分) AFCO.AFE=OCE=90.即AFEF.(3分) (2)连接BD,ADB=90. 由(1)可知cosCOE=cos A=. BC CD 4 5 设O的半径为r, BE=1,=,解得r=4.(4分) AB=8.在RtABD中,AD=AB cos A=.(5分) 1 r r 4 5 32 5 23.(2019北京石景山一模,22)如图,AB是O的直径,过O上一点C作O的切线CD,过点B作BECD于 点E,延长EB交O于点F,连接AC,AF. (1)求证:CE=AF; (
33、2)连接BC,若O的半径为5,tanCAF=2,求BC的长. 1 2 解析解析 (1)证明:连接CO并延长交AF于点G. CD是O的切线,ECO=90. AB是O的直径,AFB=90. BECD,CEF=90. 四边形CEFG是矩形. GF=CE,CGF=90.CGAF. GF=AF.CE=AF. (2)CGAF,=.CBA=CAF. 1 2 1 2 CF CA tanCBA=tanCAF=2. AB是O的直径,ACB=90. 在RtCBA中,设BC=x,则AC=2x, 则AB=x=52.BC=x=2. 55 思路分析思路分析 本题第一问需要利用多个直角构造矩形;本题第二问需要借助直角三角形和
34、三角函数值表 示边长,并利用勾股定理求解. 24.(2019北京房山一模,22)如图,在ABC中,AB=AC,以AB为直径的O分别交AC,BC于点D,E,过点B作 O的切线,交AC的延长线于点F. (1)求证:CBF=CAB; (2)若CD=2,tanCBF=,求FC的长. 1 2 1 2 解析解析 (1)证明:AB为O的直径,AEB=90, BAE+ABC=90. AB=AC,BAE=EAC=CAB. BF为O的切线,ABC+CBF=90. BAE=CBF.CBF=CAB.(2分) (2)连接BD, 1 2 1 2 AB为O的直径,ADB=90. DBC=DAE,DBC=CBF. tanCB
35、F=,tanDBC=.CD=2,BD=4.(3分) 设AB=x,则AD=x-2, 在RtABD中,ADB=90,由勾股定理得x2=(x-2)2+42,解得x=5.AB=5,AD=3.(4分) ABF=ADB=90,BAF=BAF, ABDAFB.AB2=AD AF. AF=.FC=AF-AC=.(5分) 1 2 1 2 25 3 10 3 解题思路解题思路 本题第二问需要先借助三角函数求出BD的长,再借助勾股定理和相似三角形相关知识来解 决. 解题关键解题关键 解决本题的关键是通过三角函数合理构造直角三角形;同时对于“双垂图形”要熟练掌握. 25.(2019北京延庆一模,24)如图,AB是O的
36、直径,点C在O上,点P是上一动点,且与点C分别位于直 径AB的两侧,tanCPB=,过点C作CQCP交PB的延长线于点Q; (1)当点P运动到什么位置时,CQ恰好是O的切线? (2)若点P与点C关于直径AB对称,且AB=5,求此时CQ的长. AB 4 3 解析解析 (1)当点P运动到直线OC与O的交点处.(2分) (说明:用语言描述或是画出图形说明均可) (2)设AB与CP的交点为D, AB是直径,ACB=90. P=A,tanCPB=tan A=, AB=5,AC=3,BC=4.(4分) 点P与点C关于直径AB对称,CPAB. 在RtABC中,AB CD=AC BC, CD=2.4,CP=4
37、.8, 在RtPCQ中,tanCPB=, CQ=6.4.(6分) 4 3 4 3 CQ CP 一、选择题(每小题3分,共24分) 1.素养题(2019北京通州一模,1)如图,AOB的角平分线是( ) A.射线OB B.射线OE C.射线OD D.射线OC 答案答案 B 通过观察可知BOE=AOE,AOB的角平分线是射线OE.故选B. 2.(2018河北,11)如图,快艇从P处向正北航行到A处时,向左转50航行到B处,再向右转80继续航行,此时 的航行方向为( ) A.北偏东30 B.北偏东80 C.北偏西30 D.北偏西50 答案答案 A 如图,过B作BCAP,2=1=50. 3=80-2=3
38、0,此时的航行方向为北偏东30,故选A. 3.(2017北京丰台一模,4)如图,香港特别行政区标志紫荆花图案绕中心旋转n后能与原来的图案互相重 合,则n的最小值为( ) A.45 B.60 C.72 D.144 答案答案 C 3605=72.故n=72.故选C. 4.(2015浙江宁波,9)如图,用一个半径为30 cm,面积为300 cm2的扇形铁皮,制作一个无底的圆锥(不计损 耗),则圆锥的底面半径r为( ) A.5 cm B.10 cm C.20 cm D.5 cm 答案答案 B 扇形的半径为30 cm,面积为300 cm2, 扇形的圆心角的度数为=120. 扇形的弧长为=20(cm).
39、圆锥的底面周长等于它的侧面展开图的弧长, 2r=20,r=10 cm. 即圆锥的底面半径r为10 cm.故选B. 2 300360 30 12030 180 5.(2015山东聊城,12)如图,点O是圆形纸片的圆心,将这个圆形纸片按下列顺序折叠,使和都经过 圆心O,则阴影部分的面积是O面积的( ) A. B. C. D. AB AC 1 2 1 3 2 3 3 5 答案答案 B 如图,连接OA,OB,过点O作OEAB于点E,并将OE延长交圆O于点D,由折叠知,OE=OD= OA,所以OAE=30,所以AOD=60,所以AOB=120;如图,连接OA,OB,OC,则AOB=AOC= BOC=12
40、0,由圆的对称性可知S阴影=S扇形OCB=S圆O.则阴影部分的面积是O面积的. 1 2 1 2 1 3 1 3 6.(2015北京,6)如图,公路AC,BC互相垂直,公路AB的中点M与点C被湖隔开,若测得AM的长为1.2 km,则M, C两点间的距离为( ) A.0.5 km B.0.6 km C.0.9 km D.1.2 km 答案答案 D ACBC,ACB=90,又M是AB的中点,MC=AB=AM=1.2 km.故选D. 1 2 7.如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=5,AD、AB、BC分别与O相切于E、F、G三点,过点D作O的切线 交BC于点M,切点为N,则DM的长为( ) A.
41、B. C. D.2 13 3 9 2 4 3 13 5 答案答案 A 在矩形ABCD中,O分别与边AD、AB、BC相切,又DM为O的切线,所以由切线长定理得 AE=AF=BF=BG,DE=DN,MN=MG,且易知BG=2,DN=3,设MN=MG=x,在RtDCM中,DM2=MC2+DC2,即(3+ x)2=(3-x)2+42,解得x=,则DM=3+=.故选A. 4 3 4 3 13 3 8.素养题(2016北京朝阳二模,10)如图,ABC为等边三角形,点O在过点A且平行于BC的直线上运动,以 ABC的高为半径的O分别交线段AB、AC于点E、F,则所对的圆周角的度数( ) A.从0到30变化 B
42、.从30到60变化 C.总等于30 D.总等于60 EF 答案答案 C 如图,延长CA交O于G,连接EG.易知BAC=MAB=60,可得MAG=60,若沿MN对折,则 线段AE、AG所在射线能够重合,又因为圆是轴对称图形,所以点E、点G能够重合,从而可得AE=AG,所 以G=30,即所对的圆周角的度数为30. EF 思路分析思路分析 要求弧所对的圆周角的度数,可以先尝试画出弧所对的圆周角,然后借助等边三角形的内角 为60表示出圆周角的度数. 解题关键解题关键 解决本题的关键是要正确表示出弧所对的圆周角,另外,也可以通过画出多个符合题意的图 形进行观察、猜想. 二、填空题(每小题3分,共24分)
43、 9.(2019北京房山一模,9)如图所示的网格是正方形网格,点E在线段BC上,则ABE DEC.(填 “”“=”或“”) 答案答案 解析解析 过点B作BDED, 则DBE=DEC. ABEDBE,ABEDEC. 一题多解一题多解 本题还可以借助平移将线段ED向左平移3个单位长度,使点E与点B重合,进而借助叠合法比 较两个角的大小. 10.(2016内蒙古呼和浩特,15)已知平行四边形ABCD的顶点A在第三象限,对角线AC的中点在坐标原点, 一边AB与x轴平行且AB=2,若点A的坐标为(a,b),则点D的坐标为 . 答案答案 (-a-2,-b)或(-a+2,-b) 解析解析 因为ABx轴,A(
44、a,b),且AB=2,所以B的坐标为(a+2,b)或(a-2,b),因为ABCD是中心对称图形,其对 称中心与原点重合,所以点B与点D关于原点对称,所以点D的坐标为(-a-2,-b)或(-a+2,-b). 11.(2019北京通州一模,11)中国人民银行下发通知,决定自2019年4月30日停止兑换第四套人民币中的菊 花1角硬币.如图所示,则该硬币边缘镌刻的正多边形的外角的度数为 . 答案答案 40 解析解析 观察硬币可知多边形的边数为9,所以每一个外角的度数为3609=40. 12.(2018北京门头沟一模,13)如图,PC是O的直径,PA切O于点P,AO交O于点B.连接BC,若C=32, 则
45、A= . 答案答案 26 解析解析 C=32,AOP=64. PA切O于点P,APO=90, A=90-64=26. 13.(2019北京顺义一模,12)如图,等边三角形ABC内接于O,点D在O上,ABD=25,则BAD= . 答案答案 95 解析解析 ABC是等边三角形, ABC=BAC=60. ABD=25,CBD=35. =, DAC=CBD=35. BAD=60+35=95. CD CD 14.(2017河北,18)如图,依据尺规作图的痕迹,计算= . 答案答案 56 解析解析 如图,四边形ABCD是矩形,ADBC, DAC=ACB=68. 由作法可知AF是DAC的平分线, EAF=D
46、AC=34. 由作法可知,EF是线段AC的垂直平分线, AEF=90,AFE=90-34=56,=56. 1 2 思路分析思路分析 由矩形的性质得ADBC,可得出DAC的度数,由作法可知AF为DAC的平分线,从而求出 EAF的度数,又可知EF为线段AC的垂直平分线,从而得出AEF的度数,根据三角形内角和定理得出 AFE的度数,进而可得出的度数. 解题关键解题关键 熟悉角平分线及线段垂直平分线的作法是解答此题的关键. 15.素养题(2018北京门头沟一模,10)如图,在55的正方形(每个小正方形的边长均为1)网格中,格点上 有A、B、C、D、E五个点,如果要求连接两个点之后的线段的长度大于3且小
47、于4,则可以连接 . (写出一个答案即可) 答案答案 AD(答案不唯一) 解析解析 根据勾股定理计算两点之间的距离d,满足3d0),则DP=2x, 22 1 3 16.素养题(2018江西,12)在正方形ABCD中,AB=6,连接AC,BD,P是正方形边上或对角线上一点,若PD=2 AP,则AP的长为 . 在RtDPO中,由勾股定理得DP2=DO2+OP2, 即(2x)2=(3)2+(3-x)2, 解得x=-(负值舍去),即AP=-; 点P在AB上时,PAD=90,PD=2AP,ADP=30, AP=ADtan 30=6=2. 综上所述,AP的长为2,-或2. 22 142142 3 3 3 1423 思路分析思路分析 根据正方形的性质得出ACBD,AC=BD,OB=OA=OC=OD,画出符合题意的三种情况,根据 正方形的性质、勾股定理及锐角三角函数求解即可. 解题关键解题关键 熟记正方形的性质,分析符合题意的情况,并准确画出图形是解题的关键. 易错警示易错警示 此题没有给出图形,需将点P的位置分类讨论,做题时,往往会因只画出点P在正方形边上的情 况而致错. 三、解答题(第1720题,每小题7分,第2123题,每小题8分,共52分) 17.(
