1、 专题专题 01 质数那些事质数那些事 阅读与思考阅读与思考 一个大于 1 的自然数如果只能被 1 和本身整除，就叫作质数(也叫素数)；如果能被 1 和本身以外的 自然数整除，就叫作合数；自然数 1 既不是质数，也不是合数，叫作单位数这样，我们可以按约数个 数将正整数分为三类： 1 单位 正整数 质数 合数 关于质数、合数有下列重要性质： 1质数有无穷多个，最小的质数是 2，但不存在最大的质数，最小的合数是 4 21 既不是质数，也不是合数；2 是唯一的偶质数 3若质数p|ab，则必有p|a或p|b 4算术基本定理：任意一个大于 1 的整数 N 能唯一地分解成k个质因数的乘积(不考虑质因数之间
2、 的顺序关系)： N= 12 12 k aaa k P PP，其中 12k PPP， i P为质数， i a为非负数(i=1，2，3，k) 正整数 N 的正约数的个数为(1 1 a)(1 1 a)(1 1 a)， 所有正约数的和为(1 1 P 1 1 a P)(1 2 P 2 2 a P)(1 k P k a k P) 例题与求解例题与求解 【例【例 1】已知三个质数a，b，c满足abcabc=99，那么abbcca的值等于 _ (江苏省竞赛试题) 解题思想：解题思想：运用质数性质，结合奇偶性分析，推出a，b，c的值 【例【例 2】若p为质数， 3 p5 仍为质数，则 5 p7 为( ) A质
3、数 B可为质数，也可为合数 C合数 D既不是质数，也不是合数 (湖北省黄冈市竞赛试题) 解题思想：解题思想：从简单情形入手，实验、归纳与猜想 【例【例 3】求这样的质数，当它加上 10 和 14 时，仍为质数 (上海市竞赛试题) 解题思想：解题思想：由于质数的分布不规则，不妨从最小的质数开始进行实验，另外，需考虑这样的质数是 否唯一，按剩余类加以深入讨论 【例【例 4】 将 1，2，2 004 这 2 004 个数随意排成一行，得到一个数n，求证：n一定是合数 若n是大于 2 的正整数，求证：2n1 与2n1 中至多有一个质数 求 360 的所有正约数的倒数和 (江苏省竞赛试题) 解题思想：解
4、题思想：将 1 到 2 004 随意排成一行，由于中间的数很多，不可能一一排出，不妨找出无论怎 样排，所得数都有非 1 和本身的约数；只需说明2n1 与2n1 中必有一个是合数，不能同为质数即 可；逐个求解正约数太麻烦，考虑整体求解 【例【例 5】设x和y是正整数，xy，p是奇质数，并且 112 xyp ，求xy的值 解题思想：解题思想：由题意变形得出p整除x或y，不妨设xtp由质数的定义得到 2t1=1 或 2t 1=p由xy及 2t1 为质数即可得出结论 【例【例 6】若一个质数的各位数码经任意排列后仍然是质数，则称它是一个“绝对质数”如 2，3，5， 7，11，13(31)，17(71)
5、，37(73)，79(97)，113(131，311)，199(919，991)，337(373，733)，都是质数求 证：绝对质数的各位数码不能同时出现数码 1，3，7，9 (青少年国际城市邀请赛试题) 解题思想：解题思想：一个绝对质数如果同时含有数字 1，3，7，9，则在这个质数的十进制表示中，不可能含 有数字 0，2，4，5，6，8，否则，进行适当排列后，这个数能被 2 或 5 整除 能力训练能力训练 A 级级 1若a，b，c，d为整数， 2222 abcd=1997，则 2222 abcd=_ 2在 1，2，3，n这个n自然数中，已知共有p个质数，q个合数，k个奇数，m个偶数， 则(q
6、m)(pk)=_ 3设a，b为自然数，满足 1176a= 3 b，则a的最小值为_ (“希望杯”邀请赛试题) 4已知p是质数，并且 6 p3 也是质数，则 11 p48 的值为_ (北京市竞赛试题) 5任意调换 12345 各数位上数字的位置，所得的五位数中质数的个数是 ( ) A4 B8 C12 D0 6在 2 005，2 007，2 009 这三个数中，质数有 ( ) A0 个 B1 个 C2 个 D3 个 (“希望杯”邀请赛试题) 7一个两位数的个位数字和十位数字变换位置后，所得的数比原来的数大 9，这样的两位中，质数 有( ) A1 个 B3 个 C5 个 D6 个 (“希望杯”邀请赛
7、试题) 8设p，q，r都是质数，并且pq=r，pq求p 9写出十个连续的自然数，使得个个都是合数 (上海市竞赛试题) 10在黑板上写出下面的数 2，3，4，1 994，甲先擦去其中的一个数，然后乙再擦去一个数， 如此轮流下去，若最后剩下的两个数互质，则甲胜；若最后剩下的两个数不互质，则乙胜，你如果想胜， 应当选甲还是选乙？说明理由 (五城市联赛试题) 11用正方形的地砖不重叠、无缝隙地铺满一块地，选用边长为xcm 规格的地砖，恰用n块，若 选用边长为ycm 规格的地砖， 则要比前一种刚好多用 124 块， 已知x，y，n都是正整数， 且(x，y)=1， 试问这块地有多少平方米？ (湖北省荆州市
8、竞赛试题) B 级级 1若质数m，n满足 5m7n=129，则mn的值为_ 2已知p，q均为质数，并且存在两个正整数m，n，使得p=mn，q=mn，则 pq nm pq mn 的值为_ 3自然数a，b，c，d，e都大于 1，其乘积abcde=2 000，则其和abcde的最大 值为_，最小值为_ (“五羊杯”竞赛试题) 4机器人对自然数从 1 开始由小到大按如下的规则染色：凡能表示为两个合数之和的自然数都染 成红色，不合上述要求的自然数都染成黄色，若被染成红色的数由小到大数下去，则第 1 992 个数是 _ (北京市“迎春杯”竞赛试题) 5若a，b均为质数，且满足 11 ab=2 089，则
9、49ba=_ A0 B2 007 C2 008 D2 010 (“五羊杯”竞赛试题) 6设a为质数，并且 7 2 a8 和 8 2 a7 也都为质数，记x=77a8，y=88a7，则在以下情形 中，必定成立的是( ) Ax，y都是质数 Bx，y都是合数 Cx，y一个是质数，一个是合数 D对不同的a，以上皆可能出现 (江西省竞赛试题) 7设a，b，c，d是自然数，并且 2222 abcd，求证：abcd一定是合数 (北京市竞赛试题) 8请同时取六个互异的自然数，使它们同时满足： 6 个数中任意两个都互质； 6 个数任取 2 个，3 个，4 个，5 个，6 个数之和都是合数，并简述选择的数符合条件的理由 9已知正整数p，q都是质数，并且 7pq与pq11 也都是质数，试求 qp pq的值 (湖北省荆州市竞赛试题) 10. 41 名运动员所穿运动衣号码是 1，2，40，41 这 41 个自然数，问： (l) 能否使这 41 名运动员站成一排，使得任意两个相邻运动员的号码之和是质数？ (2) 能否让这 41 名运动员站成一圈，使得任意两个相邻运动员的号码之和都是质数？若能办 到，请举出一例；若不能办到，请说明理由
