1、 专题专题 06 转化与化归转化与化归-特殊方程、方程组特殊方程、方程组 阅读与思考阅读与思考 特殊方程、方程组通常是指高次方程（组） （次数高于两次） 、结构巧妙而富有规律性的方程、方程 组. 降次与消元是解特殊方程、方程组的基本策略，而降次与消元的常用方法是： 1、因式分解； 2、换元； 3、平方； 4、巧取倒数； 5、整体叠加、叠乘等. 转化是解各类特殊方程、方程组的基本思想，而化归的途径是降次与消元，而化归的方向是一元二 次方程，这也可以说是“九九归宗”. 例题与求解例题与求解 【例【例 1 1】已知方程组 233 5 22 yx yx 的两组解是),( 11 yx与),( 22 yx
2、，则 1221 yxyx的值是_ （北京市竞赛题） 解题思路：解题思路：通过消元，将待求式用同一字母的代数式表示，运用根与系数的关系求值. 【例【例 2 2】方程组 23 63 yzxz yzxy 的正整数解的组数是（ ） A1 组 B2 组 C3 组 D4 组 解题思路解题思路:原方程组是三元二次，不易消元降次，不妨从分析常数的特征入手 【例【例 3 3】 解下列方程: （1） 42) 1 13 ( 1 13 2 x x x x xx ； （ “祖冲之杯”邀请赛试题） （2） 12 11 93 4 822 3 2 2 2 2 xx xx xx xx ； （河南省竞赛试题） （3） 1)199
3、8()1999( 33 xx； （山东省竞赛试题） （4） 222222 )243()672()43(xxxxxx （ “祖冲之杯”邀请赛试题） 解题思路：解题思路：注意到方程左边或右边项与项的结构特点、内在联系，利用换元法求解. 【例【例 4 4】 解下列方程组: （1） ; 6 1 2 , 33 1 y yx yx y x （山东省竞赛试题） （2） ;2454 ,144)53)(1( 2 yxx yxxx （西安市竞赛试题） （3） .23 ,23 232 232 yyyx xxxy （全苏数学奥林匹克试题） 解题思路：解题思路：观察发现方程组中两个方程的特点和联系，用换元法求解或整体处
4、理. 【例【例 5 5】 若关于x的方程 x kx xx x x k1 1 2 2 只有一个解（相等的解也算一个）.试求k的值与方程 的解. （江苏省竞赛试题） 【例【例 6 6】 方程0200632 2 yxxyx的正整数解有多少对？ （江苏省竞赛试题） 解题思路：解题思路：确定主元，综合利用整除及分解因式等知识进行解题. 能力训练能力训练 A 级级 1方程1) 1 (3) 1 (2 2 2 x x x x的实数根是_. 2 2 2 2 2 2 2 24367243xxxxxx，这个方程的解为x=_. 3实数zyx,满足 , 0223 ,36 2 zxyyx yx 则 zy x 2 的值为_
5、.（上海市竞赛题） 4 设方程组 0 , 0 , 01 2 2 2 baxx axbx bxax 有实数解，则._1ba （武汉市选拔赛试题） 5使得 782314 2222 xxxxxx成立的x的值得个数为（ ） A4 个 B3 个 C2 个 D1 个 （ “五羊杯”竞赛试题） 6已知方程组 1 , 2 2 zxy yx 有实数根，那么它有（ ） A一组解 B二组解 C三组解 D无数组解 （ “祖冲之杯”邀请赛试题） 7设aa31 2 ，bb31 2 且ba，则代数式 22 11 ba 的值为（ ） A5 B7 C9 D11 8已知实数yx,满足20, 9 22 xyyxyxxy，则 22
6、yx 的值为（ ） A6 B17 C1 D6 或 17 9已知关于yx,的方程组 2 22 )(3 , pyxpxy pyx 有整数解yx,，求满足条件的质数p. （四川省竞赛试题） 10已知方程组 01 , 02 2 yx ayx 的两个解为 , , 1 1 yy xx , , 2 2 yy xx 且 21,x x是两个不等的正数. （1）求a的取值范围； （2）若11683 2 21 2 2 2 1 aaxxxx，试求a的值. （南通市中考试题） 11已知ba,是方程01 2 tt的两个实根，解方程组 .1 ,1 y a y b x x b y a x （ “祖冲之杯”邀请赛试题） 12已
7、知某二次项系数为 1 的一元二次方程的两个实数根为qp,，且满足关系式 , 6 , 51 22 pqqp pqp 试求 这个一元二次方程. （杭州市中考试题） B 级级 1方程组 432 51 zyx zyxzyx 的解是_. 2已知xxxxx713571397 22 ，则x的值为_.（全国初中数学联赛试题） 3已知实数 00, y x是方程组 1 1 xy x y 的解，则._ 00 yx （全国初中数学联赛试题） 4方程组 3 411 , 9 yx xy 的解是_. （ “希望杯”邀请赛试题） 5若二元二次方程组 12 , 1 22 xky yx 有唯一解，则k的所有可能取值为_. （ 学
8、习报公开赛试题） 6正数 654321 ,xxxxxx同时满足1 1 65432 x xxxxx ，2 2 65431 x xxxxx ，3 3 65421 x xxxxx ， 4 4 65321 x xxxxx ，6 5 64321 x xxxxx ，9 6 54321 x xxxxx . 则 654321 xxxxxx的值为_. （上海市竞赛试题） 7方程066 23 xxx的所有根的积是（ ） A3 B-3 C4 D-6 E以上全不对 （美国犹他州竞赛试题） 8设yx,为实数，且满足 , 1119991 , 1119991 3 3 yy xx 则 yx（ ） A1 B-1 C2 D-2
9、（武汉市选拔赛试题） 9已知 , 3 , 2 , 1 222 zyx zyx xyz 则 1 1 1 1 1 1 yzxxyzzxy 的值为（ ） A1 B 2 1 C2 D 3 2 10对于实数a，只有一个实数值x满足等式0 1 22 1 1 1 1 2 x ax x x x x ，试求所有这样的实数a的 和. （江苏省竞赛试题） 11解方程axxxx1212，其中0a，并就正数a的取值，讨论此方程解的情况. （陕西省竞赛试题） 12已知cba,三数满足方程组 ,4828 , 8 2 ccab ba 试求方程0 2 acxbx的根. （全国初中数学联赛试题） 13解下列方程（组） ： （1） 16 3 9 3 2 2 x x x； （武汉市竞赛试题） （2） 614376 2 xxx； （湖北省竞赛试题） （3） , 41 4 , 41 4 , 41 4 2 2 2 2 2 2 x z z z y y y x x （加拿大数学奥林匹克竞赛试题）
