1、 专题专题 27 以形助数以形助数 借助图形思考借助图形思考 例 1 7 提示： 设圆周长为 9， 套成的三角形三边所对的弧长分别为 x， y， z， 则 x+y+z=9， 不妨设zyx，则（x，y，z）只有（1，1，7） ， （1，2，6） ， （1，3，5） ， （1，4，4） ， （2，2，5） ， （2，3，4）和（3，3，3）这 7 种情形. 例 2（1）900 （2）图中点 B 的实际意义是：当慢车行驶 4h 时，慢车和快车相遇.（3）由 图像可知，慢车 12h 行驶的路程为 900km，所以慢车的速度为 12 900 =75km/h；当慢车行驶 4h 时，慢车和快车相遇，两车行驶
2、的路程之和为 900km，所以慢车和快车行驶的速度之和 为 4 900 =225km/h,所以快车的速度为 150km/h.（4）根据题意快车行驶 900km 到达乙地，所 以快车行驶 150 900 =6h 到达乙地， 此时两车之间的距离为 675=450km， 所以点 C 的坐标为 （6， 450）.设线段 BC 所表示的 y 与 x 之间的函数关系式为 y=kx+b，把（4，0） ， （6，450）带入 得 bk bk 6450 40 ，解得 900 225 b k 所以，线段 BC 所标示的 y 与 x 之间的函数关系式为 y=225x-900.自变量 x 的取值范围是 64 x. （
3、5）慢车与第一列快车相遇 30 分钟后与第二列快车相遇，此时，慢车的行驶时间是 4.5h， 把 x=4.5 代入 y=225x-900，得 y=112.5，此时，慢车与第一列快车之间的距离等于两列快车 之间的距离 112.5km，所以两列快车出发间隔的时间是 112.5150=0.75h，即第二列快车比 第一列快车晚出发 0.75h. 例 3 设只收看 A,B,C 三个栏目的观众人数分别为 x，y，z，没有收看栏目 A 而收看栏目 B 和栏目 C 的人数为 m.不只收看栏目 A 的人数为 n，如图所示. ,28 , , 1 ,2 zmynx zyx xn mzmy 得 z=29-4y. 由 y
4、-2z=m0 得 9y-580， 9 58 y 由 29-4y=z0 得 y 4 29 ，y 为整数，y=7 从而 z=1，x=8，n=7，m=5. 故栏目 A 的收视率为 28 nx 100= 28 25 10053.6 例 4 第一个是丙，第三个是甲，第五个是丁. 例 5 如图，A,B,C 三个圆分别表示数学、外语、语文优秀学生 的集合，而 a，b，c，f，g 则分别表示各类优秀学生的人 数，如 g 表示数、外、语三科均优秀的学生人数 f 表示语、外 两科优秀而数学不优秀的学生人数. 则 10 ,18 17 ,16 ,29 ,31 ,32 g gf gd ge gfec gfdb geda
5、 解得：a=9，b=6，c=5，d=7，e=6，f=8，g=10. 故 a+b+c+d+e+f+g=51.说明数、外、语三科中至少有一科优秀的学生共有 51 人，而全班仅 有 50 人，故统计错误. 【能力训练】 1.2 提示：如图，用 5 个点表示甲、乙、丙、丁及小强这 5 个人，如果两个人已经赛过一 盘，就在相应的两个点之间连一条线段. 2.4.4 小时 3.24 4.32 提示：依照图中数据计算： 0 0 0 0 0 0 0 0 100 2 .108 .155 .12 442 .10298 .15265 .12 =32 5.5：1 6.C 提示：由直方图可知，乘车人数为 25 人，由扇形
6、图可知，乘车人数占全班总人数的 50.故全班总人数为 2550=50 人.步行人数为 5030=15（人）.骑车人数为 50-25-15=10（人）. 7.C 8.D 提示：若 A,C 种同一种植物，则 A,C 有 41 种栽种法，B,D 都有 3 种栽种法，共有 4 33=36 种栽种方案；若 A,C 种不同的植物，则有 43 种载法，B,D 都有 2 种，共有 4 322=48 种栽种方案.故共有 36+48=84 种栽种方案. 9.15 人 提示：如图，用 A,B 两个圆分别表示参加 数学竞赛的男、女生人数，用 C,D 两个圆分别表示 参加英语竞赛的男、女生人数，只参加数学竞赛的男 生人
7、数是 120-75=45 人， 只参加英语竞赛的男生人数 是 80-75=5 人，设两科都参加的女生人数为 x 人，则 只参加数学竞赛的女生数为（80-x）人，只参加英语 竞 赛 的 女 生 人 数 为 （ 120-x ） 人 ， 由 题 意 得 120-x+80-x+x+45+75+5=260，解得 x=65，故答案为 80-x=15 人. 10.从 A 城出发到 B 城的路线分成如下两类： （1）从 A 城出发到达 B 城，经过 O 城。因为 从 A 城到 O 城所需最短时间为 24h，从 O 城到 B 城所需最短时间为 22h，所以，此类路线 所需最短时间为 24+22=46h.（2）从 A 城出发到达 B 城，不经过 O 城，这时从 A 城到达 B 城，必定经过 C,D,E 城或 F,G,H 城，所需时间至少为 47h.
