1、第一章第一章 空间向量与立体几何空间向量与立体几何 1.41.4 空间向量的应用空间向量的应用 1.4.21.4.2 用空量研究距离、夹角问题用空量研究距离、夹角问题 学 习 目 标 核 心 素 养 1.会用向量法求线线、线面、面 面的夹角以及距离问题 (重点、 难点) 2.正确区分向量夹角与所求线 线角、面面角的关系(易错点) 通过利用空间向量求异面直线 所成的角、直线与平面所成的角、 二面角和距离的学习， 提升学生的 逻辑推理、数学运算的核心素养. 情情 景景 导导 学学 探探 新新 知知 (1)已知 a，b 为非零向量，它们的夹角为 ，那么 cos cosa， b a b |a|b|.
2、(2)空间中有三种角：异面直线所成的角，直线与平面所成的角 和两个平面的夹角 (3)空间中的三种基本距离：点点距、点线距和点面距利用直 线的方向向量和平面的法向量可以判断线线、 线面和面面的平行、 垂 直问题，能否利用它们求出三种空间角和空间距离呢？ 1空间角的向量求法 角的分类 向量求法 范围 两异面直线 l1与 l2 所成的角为 设l1与l2的方向向量分别为u， v，则 cos_ _ 0， 2 |cos| |u v| |u|v| 角的分类 向量求法 范围 直线 l 与平面 所 成的角为 设 l 的方向向量为 u，平面 的法向量为 n，则 sin _ 0， 2 |cos| |u n| |u|
3、n| 角的分类 向量求法 范围 平面 与平面 的夹角为 设平面 ， 的法向量分别为 n1， n2，则 cos _ _ 0， 2 |cos| |n1 n2| |n1| |n2| 思考： 直线与平面所成的角和直线的方向向量与平面的法向量所 成的角有怎样的关系？ 提示 设 n 为平面 的一个法向量，a 为直线 a 的方向向量， 直线 a 与平面 所成的角为 ，则 2a，n，a，n 0， 2 ， a，n 2，a，n 2， . 2空间距离的向量求法 分类 向量求法 两点距 设 A、B 为空间中的任意两点，则 d_ 点线距 设直线 l 的单位方向向量为 u，Al，Pl，设AP a， 则点 P 到直线 l
4、的距离 d_ 点面距 已知平面 的法向量为 n，A，P，则点 P 到平面 的距离为 d |AB| |a|2a u2 |AP n| |n| 1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”) (1)两异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相等 ( ) (2)直线 l 与平面 的法向量的夹角的余角就是直线 l 与平面 所 成的角 ( ) (3)平面 和 的夹角为 ，平面 ， 的法向量分别为 n1，n2， 则 n1，n2 ( ) 提示 (1) (2) (3) 2已知向量 m，n 分别是直线 l 与平面 的方向向量、法向量， 若 cosm，n 3 2 ，则 l 与 所成的角为( ) A30 B60 C150
5、 D120 B 设 l 与 所成的角为 ，则 sin |cosm，n| 3 2 ，又 0 90 ，60 ，应选 B. 3两平行平面 ， 分别经过点 O(0,0,0)和点 A(2,1,1)，且两平 面的一个法向量 n(1,0,1)，则两平面间的距离是_ 2 2 两平行平面 ， 分别经过坐标原点 O 和点 A(2,1,1)， OA (2,1,1)，且两平面的一个法向量 n(1,0,1)，两平面间的距离 d |n OA | |n| |201| 2 2 2 . 4已知两平面的法向量分别为 m(0,1,0)，n(0,1,1)，则两平 面的夹角的大小为_ 45 cos |m n| |m|n| 1 1 2
6、2 2 ，由于 0， 2 ，45 . 合合 作作 探探 究究 释释 疑疑 难难 距离问题 【例 1】 如图，BCD 与MCD 都是边长为 2 的正三角形， 平面 MCD平面 BCD， AB平面 BCD， AB2 3.求点 A 到平面 MBC 的距离 思路探究 建立适当的空间直角坐标系求出平面MBC的法向量 利用点到平面的距离公式求解 解 取CD的中点O， 连接OB， OM， 则OBCD， OMCD，又平面 MCD平面 BCD，所以 MO平面 BCD. 以 O 为坐标原点，分别以直线 OC，BO，OM 为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系 O- xyz， 如图所示 因为BCD 与MC
7、D 都是边长为 2 的正三角形， 所以 OBOM 3，则 O(0,0,0)，C(1,0,0)，M(0,0， 3)，B(0， 3，0)，A(0， 3，2 3)，所以BC (1， 3，0)，BM (0， 3， 3)，BA (0,0,2 3) 设平面 MBC 的法向量为 n(x，y，z)， 由 nBC ， nBM ， 得 n BC 0， n BM 0， 即 x 3y0， 3y 3z0， 取 x 3， 可得平面 MBC 的一个法向量为 n ( 3，1,1) 又BA (0,0,2 3)，所以所求距离 d|BA n| |n| 2 15 5 . 求点到平面的距离的四步骤 跟进训练 1在长方体 OABC- O
8、1A1B1C1中，OA2，AB3，AA12，求 O1到直线 AC 的距离 解 法一：建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(2，0，0)， O1(0，0，2)，C(0，3，0)，过 O1作 O1DAC 于点 D，设 D(x，y， 0)，AD (x2，y，0)，O1D (x，y，2)， AC (2,3,0)，O1D AC ， AD AC ， 2x3y0， x2 2 y 3， 解得 x18 13， y12 13， D 18 13， 12 13，0 ， |O1D | 18 13 2 12 13 2 222 286 13 . 即 O1到直线 AC 的距离为2 286 13 . 法二：建立如图所示的空间直
9、角坐标系 则 A(2,0,0)，O1(0,0,2)，C(0,3,0)， AO1 (2,0,2)， AC (2,3,0)， AO1 AC (2,0,2) (2,3,0)4， AO1 在AC 方向上的投影为AO1 AC |AC | 4 13，O1 到直线 AC 的距离 d|AO1 |2 AO1 AC |AC | 2 2 286 13 . 求两条异面直线所成的角 【例 2】 如图，在三棱柱 OAB- O1A1B1中，平面 OBB1O1平面 OAB，O1OB60 ，AOB90 ，且 OBOO12，OA 3，求 异面直线 A1B 与 AO1所成角的余弦值的大小 思路探究 建立空间直角坐标系用坐标表示向量
10、A1B 和AO1 运用向量法求 A1B 与 AO1的夹角 解 建立如图所示的空间直角坐标系， 则 O(0,0,0)， O1(0,1， 3)， A( 3，0,0)，A1( 3，1， 3)，B(0,2,0)， A1B ( 3，1， 3)， O1A ( 3，1， 3) |cosA1B ，O1A | |A1B O1A | |A1B | |O1A | | 3，1， 3 3，1， 3| 7 7 1 7. 异面直线 A1B 与 AO1所成角的余弦值为1 7. 用坐标法求异面直线所成角的一般步骤 (1)建立空间直角坐标系； (2)分别求出两条异面直线的方向向量的坐标； (3)利用向量的夹角公式计算两条直线的方
11、向向量的夹角； (4)结合异面直线所成角的范围求出异面直线所成的角 跟进训练 2.如图，在三棱锥 V- ABC 中，顶点 C 在空间直角坐标系的原点 处，顶点 A，B，V 分别在 x，y，z 轴上，D 是线段 AB 的中点，且 ACBC2，VDC 3，求异面直线 AC 与 VD 所成角的余弦值 解 因为 ACBC2， D 是 AB 的中点， 所以 C(0,0,0)， A(2,0,0)， B(0,2,0)，D(1,1,0) 在 RtVCD 中，CD 2，VDC 3，故 V(0,0， 6) 所以AC (2,0,0)，VD (1,1， 6) 所以 cosAC ，VD AC VD |AC |VD |
12、2 2 2 2 2 4 . 所以异面直线 AC 与 VD 所成角的余弦值为 2 4 . 直线与平面所成的角 【例 3】 如图，已知三棱柱 ABC- A1B1C1，平面 A1ACC1平面 ABC，ABC90 ，BAC30 ，A1AA1CAC，E，F 分别是 AC， A1B1的中点 (1)证明：EFBC； (2)求直线 EF 与平面 A1BC 所成角的余弦值 思路探究 连接 A1E，先证明 A1E面 ABC，再以 E 为原点建 立空间直角坐标系， 写出相关点及向量的坐标， 利用向量的坐标运算 证明 EFBC，再利用向量法求直线与平面所成角的余弦值 证明 (1)连接 A1E，因为 A1AA1C，E
13、是 AC 的中点，所以 A1EAC. 又平面 A1ACC1平面 ABC，A1E平面 A1ACC1， 平面 A1ACC1平面 ABCAC， 所以， A1E 平面 ABC. 如图， 以点 E 为原点， 分别以射线 EC，EA1 为 y， z 轴的正半轴， 建立空间直角坐标系 E- xyz. 不妨设 AC4，则 A1(0,0,2 3)，B( 3，1,0)，B1( 3，3，2 3)， F 3 2 ，3 2，2 3 ，C(0,2,0) 因此，EF 3 2 ，3 2，2 3 ，BC ( 3，1,0) 由EF BC 0 得 EFBC. (2)设直线 EF 与平面 A1BC 所成角为 ， 由(1)可得BC (
14、 3，1,0)，A1C (0,2，2 3)，设平面 A1BC 的法向量为 n(x，y，z)， 由 BC n0 A1C n0 ，得 3xy0 y 3z0 ， 取 n(1， 3，1)，故 sin |cosEF ，n| |EF n| |EF | |n| 4 5. 因此直线 EF 与平面 A1BC 所成角的余弦值为3 5. 求直线与平面的夹角的思路与步骤 思路一： 找直线在平面内的射影， 充分利用面与面垂直的性质及 解三角形知识可求得夹角(或夹角的某一三角函数值) 思路二： 用向量法求直线与平面的夹角可利用向量夹角公式或法 向量利用法向量求直线与平面的夹角的基本步骤 (1)建立空间直角坐标系； (2)
15、求直线的方向向量AB ； (3)求平面的法向量 n； (4)计算：设线面角为 ，则 sin |n AB | |n| |AB | . 跟进训练 3.如图，在正三棱柱 ABC- A1B1C1中，ABAA12，点 P，Q 分 别为 A1B1，BC 的中点 (1)求异面直线 BP 与 AC1所成角的余弦值； (2)求直线 CC1与平面 AQC1所成角的正弦值 解 如图，在正三棱柱 ABC- A1B1C1中，设 AC，A1C1的中点分 别为 O，O1，则 OBOC，OO1OC，OO1OB，以OB ，OC ，OO1 为基底，建立空间直角坐标系 O- xyz. 因为 ABAA12， 所以 A(0， 1,0)
16、， B( 3， 0,0)，C(0,1,0)，A1(0，1，2)，B1( 3，0,2)， C1(0,1,2) (1)因为 P 为 A1B1的中点， 所以 P 3 2 ，1 2，2 ， 从而BP 3 2 ，1 2，2 ，AC1 (0,2,2)， 故|cosBP ，AC1 |BP AC1 | |BP |AC1 | |14| 52 2 3 10 20 . 因此，异面直线 BP 与 AC1所成角的余弦值为3 10 20 . (2)因为 Q 为 BC 的中点，所以 Q 3 2 ，1 2，0 ， 因此AQ 3 2 ，3 2，0 ，AC1 (0,2,2)，CC1 (0,0,2) 设 n(x，y，z)为平面 A
17、QC1的一个法向量， 则 AQ n0， AC1 n0， 即 3 2 x3 2y0， 2y2z0， 不妨取 n( 3，1,1) 设直线 CC1与平面 AQC1所成的角为 ， 则 sin |cosCC1 ，n|CC1 n| |CC1 |n| 2 52 5 5 ， 所以直线 CC1与平面 AQC1所成角的正弦值为 5 5 . 平面与平面的夹角 探究问题 1二面角与平面的夹角范围一样吗？ 提示 不一样二面角的范围为0，而两个平面的夹角是 不大于直角的角，范围是 0， 2 . 2两平面的夹角与二面角的两个半平面的法向量所成的角有怎 样的关系？ 提示 两平面的法向量分别为 u，v，若u，v为锐角时， 两平
18、面的夹角等于u，v ，若u，v为钝角时，两平面的夹角等 于 u，v 【例 4】 如图，四棱柱 ABCD- A1B1C1D1的所有棱长都相等， ACBDO，A1C1B1D1O1，四边形 ACC1A1和四边形 BDD1B1均 为矩形 (1)证明：O1O底面 ABCD； (2)若CBA60 ， 求平面 C1OB1与平面 DOB1的夹角的余弦值 思路探究 建立空间直角坐标系，根据CBA60 ，建立棱长 之间的关系，写出相关点的坐标和向量的坐标，再求两平面的夹角 解 (1)证明：因为四边形 ACC1A1和四边形 BDD1B1均为矩形， 所以 CC1AC，DD1BD， 又 CC1DD1OO1，所以 OO1
19、AC，OO1BD， 因为 ACBDO，所以 O1O底面 ABCD. (2)因为四棱柱的所有棱长都相等，所以四边形 ABCD 为菱形， ACBD.又 O1O底面 ABCD，所以 OB，OC，OO1两两垂直如图， 以 O 为原点，OB，OC，OO1所在直线分别为 x，y，z 轴，建立空间 直角坐标系 设棱长为 2，因为CBA60 ，所以 OB 3，OC1， 所以 O(0,0,0)，B1( 3，0,2)，C1(0,1,2)， 平面 BDD1B1的一个法向量为 n(0,1,0)， 设平面 OC1B1的法向量为 m(x，y，z)， 则由 mOB1 ，mOC1 ，所以 3x2z0， y2z0. 取 z 3
20、，则 x2，y2 3， 所以 m(2,2 3， 3)， 所以 cosm，n m n |m|n| 2 3 19 2 57 19 . 所以平面 C1OB1与平面 DOB1的夹角的余弦值为2 57 19 . 1变设问本例条件不变，求面 BA1C 与面 DA1C 的夹角的余弦 值 解 建立如图所示的空间直角坐标系 设棱长为 2，则 A1(0，1,2)， B( 3，0,0)，C(0,1,0)， D( 3，0,0) 所以BC ( 3，1,0)，A1C (0,2，2)，CD ( 3，1,0) 设平面 A1BC 的法向量为 n1(x1，y1，z1)， 则 n1 A1C 0， n1 BC 0， 即 2y12z1
21、0， 3x1y10， 取 x1 3，则 y1z13， 故 n1( 3，3,3) 设平面 A1CD 的法向量为 n2(x2，y2，z2)， 则 n2 A1C 0， n2 CD 0， 即 2y22z20， 3x2y20， 取 x2 3，则 y2z23， 故 n2( 3，3，3) 所以 cosn1，n2 n1 n2 |n1|n2| 15 21 5 7. 所以面 BA1C 与面 DA1C 的夹角的余弦值为5 7. 2变条件、变设问本例四棱柱中，CBA60 改为CBA 90 ，设 E，F 分别是棱 BC，CD 的中点，求平面 AB1E 与平面 AD1F 的夹角的余弦值 解 以 A 为坐标原点建立空间直角
22、坐标系，如图所示，设此棱 柱的棱长为1， 则A(0,0,0)， B1(1,0,1)， E 1，1 2，0 ， D1(0,1,1)， F 1 2，1，0 ， AE 1，1 2，0 ，AB1 (1,0,1)，AF 1 2，1，0 ，AD1 (0,1,1) 设平面 AB1E 的法向量为 n1(x1，y1，z1)， 则 n1 AB1 0， n1 AE 0， 即 x1z10， x11 2y10， 令 y12，则 x11，z11，所以 n1(1,2,1) 设平面 AD1F 的法向量为 n2(x2，y2，z2) 则 n2 AD1 0， n2 AF 0， 即 y2z20， 1 2x2y20. 令 x22，则
23、y21，z21. 所以 n2(2，1,1) 所以平面AB1E与平面AD1F的夹角的余弦值为|n1 n2| |n1|n2| 3 6 6 1 2. 利用向量法求两平面夹角的步骤 (1)建立空间直角坐标系； (2)分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量； (3)求两个法向量的夹角； (4)法向量夹角或其补角就是两平面的夹角(不大于 90 的角) 课课 堂堂 小小 结结 提提 素素 养养 1向量法求空间角的一般步骤 (1)向量表示 法一：选不共面的三个向量为基底，进行基底表示；法二：建立 适当的坐标系进行坐标表示求出直线 a、b 的方向向量 a、b，平面 、 的法向量 m、n. (2)向量运算 求
24、直线 a、b 所成的角，计算 cosa，b ； 求直线 a 与平面 所成的角，计算 cosa，m ； 求两个平面的夹角的大小，计算 cosm，n (3)解释结论 由于直线 a、b 所成角 0， 2 ，故 cos |cosa，b|. 直线 a 与平面 所成角 0， 2 ，由图形知a，m与 的 余角相等或互补，故 sin |cosa，b|. 两个平面的夹角为不大于直角的角，范围 0， 2 ，故 cos |cosm，n|. 2向量法求空间中的距离 (1)点 A，B 间的距离 d|AB | (2)点 A 到直线 a 的距离 d|AB |2 AB a |a| 2 ，其中 Ba，a 是直线 a 的方向向量
25、 (3)点 A 到平面 的距离 d|AB n| |n| ，其中 B，n 是平面 的法向量 1下列说法中不正确的是( ) A平面 的法向量垂直于与平面 共面的所有向量 B一个平面的所有法向量互相平行 C如果两个平面的法向量垂直，那么这两个平面也垂直 D如果 a、b 与平面 共面且 na，nb，那么 n 就是平面 的一个法向量 D 选项 A，B，C 的命题显然是正确的只有当 a、b 不共线 且 a，b 时，D 才正确故答案为 D. 2 已知 a， b 是两异面直线， A， Ba， C， Db， ACb， BDb 且 AB2，CD1，则直线 a，b 所成的角为( ) A30 B60 C90 D45
26、B 由于AB AC CD DB ， AB CD (AC CD DB ) CD |CD |1. 所以 cosAB ，CD AB CD |AB | |CD| 1 2AB ，CD 60 . 3正方体 ABCD- A1B1C1D1中，BB1与平面 ACD1所成角的正弦 值为( ) A 2 3 B 3 3 C2 3 D 6 3 B 设正方体的棱长为 1，依题意，建立如图所示的坐标系，则 A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D1(0,0,1)，B1(1,1,1) AD1 (1,0,1)，AC (1，1,0) 设平面 ACD1的法向量为 n(x，y，z)， xz0 xy0 令 x1，n(1
27、,1,1)， 又BB1 (0,0,1)， BB1与平面 ACD1所成角的正弦值为 n BB1 |n|BB1 | 3 3 . 4如图，在正三棱柱 ABC- A1B1C1中，所有棱长均为 1，则点 B1到平面 ABC1的距离为_ 21 7 如图所示，取 AB 的中点 M，连接 CM，C1M，过点 C 作 CDC1M，垂足为 D. C1AC1B，M 为 AB 中点， C1MAB. CACB，M 为 AB 中点， CMAB. 又C1MCMM，AB平面 C1CM 又AB平面 ABC1， 平面 ABC1平面 C1CM，平面 ABC1平面 C1CMC1M， CDC1M，CD平面 C1AB， CD 的长度即为
28、点 C 到平面 ABC1的距离， 即点 B1到平面 ABC1 的距离， 在 RtC1CM 中， C1C1， CM 3 2 ， C1M 7 2 ， CD 21 7 ， 即点 B1到平面 ABC1的距离为 21 7 . 5.如图，在四棱锥 P- ABCD 中，PA平面 ABCD，ADCD， ADBC，PAADCD2，BC3.E 为 PD 的中点，点 F 在 PC 上， 且PF PC 1 3. (1)求证：CD平面 PAD； (2)求二面角 F- AE- P 的余弦值 解 (1)因为 PA平面 ABCD，所以 PACD. 又因为 ADCD，PAADA，所以 CD平面 PAD. (2)过 A 作 AD
29、 的垂线交 BC 于点 M，因为 PA平面 ABCD，所 以 PAAM，PAAD，如图建立空间直角坐标系 A- xyz，则 A(0,0,0)， B(2，1,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，因为 E 为 PD 的中点， 所以 E(0,1,1) 所以AE (0,1,1)，PC (2,2，2)，AP (0,0,2) 所以PF 1 3PC 2 3， 2 3， 2 3 ，AF AP PF 2 3， 2 3， 4 3 . 设平面 AEF 的法向量为 n(x，y，z)， 则 n AE 0 n AF 0 ， 即 yz0 2 3x 2 3y 4 3z0 . 令 z1，则 y1，x1. 于是 n(1，1,1) 又因为平面 PAD 的法向量为 p(1,0,0)， 所以 cosn，p n p |n| |p| 3 3 . 因为二面角 F- AE- P 为锐角，所以其余弦值为 3 3 . 点击右图进入点击右图进入 课课 时时 分分 层层 作作 业业 Thank you for watching !
