1、第二章第二章 直线和圆的方程直线和圆的方程 2.32.3 直线的交点坐标与距离公式直线的交点坐标与距离公式 2.3.12.3.1 两条直线的交点坐标两条直线的交点坐标 2.3.22.3.2 两点间的距离公式两点间的距离公式 学 习 目 标 核 心 素 养 1.会用解方程组的方法求两条相 交直线的交点坐标(重点) 2.会根据方程解的个数判定两条 直线的位置关系(难点) 3.掌握两点间距离公式并会应 用(重点) 1. 通过两直线交点坐标的学 习，提升数学运算、直观想象 的数学素养. 2. 通过两点间距离学习，培养 逻辑推理和直观想象的数学素 养. 情情 景景 导导 学学 探探 新新 知知 点 P(
2、x0，y0)在直线 AxByC0 上，那么我们会有 Ax0By0 C0，若 P(x0，y0)，同时在两条直线 A1xB1yC10 和 A2xB2y C20 上时，我们会有 Aix0Biy0Ci0(i1,2)，那么点 P 就是这 两条直线的交点 下面我们就来研究两直线的交点问题 1两条直线的交点坐标 几何元素及关系 代数表示 点 A A(a，b) 直线 l l：AxByC0 点 A 在直线 l 上 _ 直线 l1与 l2的交点是 A 方程组 A1xB1yC10 A2xB2yC20 的解是 xa yb AaBbC0 2.直线 l1：A1xB1yC10(A1，B1不同时为 0)；l2：A2xB2y
3、C20(A2，B2不同时为 0)的位置关系如表所示： 方程组 A1xB1yC10 A2xB2yC20 的解 一组 无数组 无解 直线 l1和 l2公共点的个数 一个 无数个 零个 直线 l1和 l2的位置关系 _ _ _ 相交 重合 平行 3.两点间的距离公式 (1)平面上的两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式 |P1P2| x2x12y2y12. (2)两点间距离的特殊情况 原点 O(0,0)与任一点 P(x，y)的距离|OP| x2y2. 当 P1P2x 轴(y1y2)时，|P1P2|_. 当 P1P2y 轴(x1x2)时，|P1P2|_. |x2x1| |y2y1|
4、思考： 两点 P1(x1， y1)， P2(x2， y2)间的距离公式是否可以写成|P1P2| x1x22y1y22的形式？ 提 示 可 以 ， 原 因 是x2x12y2y12 x1x22y1y22， 也就是说公式中 P1， P2两点的位置没有先后之 分 1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”) (1)若由两条直线的方程组成的方程组只有一个公共解，则两条 直线相交 ( ) (2)若两条直线的斜率都存在且不等，则两条直线相交( ) (3)已知 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，当 P1P2y 轴(x1x2)时，|P1P2| |y2y1|. ( ) (4)已知 P1(x1，y1)，P2(x2
5、，y2)，当 P1P2x 轴(y1y2)时，|P1P2| |x2x1|. ( ) 提示 (1) (2) (3) (4) 2直线 x1 和直线 y2 的交点坐标是( ) A(2,2) B(1,1) C(1,2) D(2,1) C 由 x1， y2 得交点坐标为(1,2)，故选 C. 3已知ABC 的顶点 A(2,3)，B(1,0)，C(2,0)，则ABC 的周 长是( ) A2 3 B32 3 C63 2 D6 10 C |AB| 212323 2，|BC| 21203，|AC| 222323，则ABC 的周长为 63 2. 4若直线 xay10 与直线 xy10 的交点在 y 轴上，则 a 的
6、值是_ 1 直线 xy10 与 y 轴的交点为(0,1)，把(0,1)代入 xay 10 的a10 解得 a1. 合合 作作 探探 究究 释释 疑疑 难难 两条直线的交点问题 【例 1】 分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交 点 (1)l1：2xy7 和 l2：3x2y70； (2)l1：2x6y40 和 l2：4x12y80； (3)l1：4x2y40 和 l2：y2x3. 解 法一：(1)方程组 2xy70， 3x2y70 的解为 x3， y1. 因此直线 l1和 l2相交，交点坐标为(3，1) (2)方程组 2x6y40， 4x12y80 有无数个解， 这表明直线 l1和 l2
7、重合 (3)方程组 4x2y40， 2xy30 无解， 这表明直线 l1和 l2没有公共点，故 l1l2. 法二：(1)kl12，kl23 2，kl1kl2， l1与 l2相交， 由 2xy70 3x2y70 得 x3， y1. 故 l1与 l2的交点为(3，1) (2)由2 4 6 12 4 8，知 l1 与 l2重合 (3)l2方程为 2xy30， 由4 2 2 1 4 3知两直线 l1 与 l2平行 两条直线相交的判定方法 方法一：联立直线方程解方程组，若有一解，则两直线相交 方法二：两直线斜率都存在且斜率不等 方法三：两直线的斜率一个存在，另一个不存在 跟进训练 1若直线 l1：ykx
8、k2 与直线 l2：y2x4 的交点在第一 象限内，则实数 k 的取值范围是( ) Ak2 3 Bk2 C2 3k2 Dk2 3或 k2 C 法一：由题意知，直线 l1过定点 P(1,2)，斜率为 k，直线 l2与 x 轴、y 轴分别交于点 A(2,0)、B(0,4)，若直线 l1与 l2的交点在第 一象限内，则 l1必过线段 AB 上的点(不包括 A，B)，因为 kPA2 3， kPB2，所以2 3k2.故选 C. 法二：由直线 l1，l2有交点，得 k2. 由 ykxk2， y2x4 得 x2k k2， y6k4 k2 . 又交点在第一象限内，所以 2k k20， 6k4 k2 0， 解得
9、2 3k2. 两点间距离公式 【例 2】 已知ABC 的三个顶点坐标分别是 A(1，1)，B( 1,3)，C(3,0) (1)判断ABC 的形状； (2)求ABC 的面积 思路探究 先把三个顶点描在平面直角坐标系中，观察出三角 形的形状，再用距离公式及斜率的关系验证 解 (1)如图所示，ABC 为直角三角形，下面进行验证 法一：|AB| 1123122 5， |AC| 312012 5， |BC| 3120325. |AB|2|AC|2|BC|2， 即ABC 是以 A 为直角顶点的直角三角形 法二：kAB31 11 2，kAC01 31 1 2. kAB kAC1，ABAC. ABC 是以 A
10、 为直角顶点的直角三角形 (2)由(1)中法一得|AB|2 5，|AC| 5. 又A90 ，SABC1 2|AB|AC| 1 22 5 55. 1判断三角形的形状，要采用数形结合的方法，大致明确三角 形的形状，以确定证明的方向 2在分析三角形的形状时，要从两方面考虑：一是要考虑角的 特征，主要考察是否为直角或等角；二是要考虑三角形的长度特征， 主要考察边是否相等或是否满足勾股定理 跟进训练 2 已知点 A(3,4)， B(2， 3)， 在 x 轴上找一点 P， 使|PA|PB|， 并求|PA|的值 解 设点 P(x,0)， 则有|PA| x32042 x26x25， |PB| x220 32
11、x24x7. 由|PA|PB|，得 x26x25x24x7， 解得 x9 5.即所求点 P 为 9 5，0 ， 且|PA| 9 53 2 0422 109 5 . 过两条直线交点的直线系方程应用 探究问题 1. 如何求两条直线的交点坐标？ 提示 求两条直线的交点坐标只需将两条直线方程联立解方 程组即可 2怎样表示过两条直线交点的直线系方程？ 提示 过两条直线 l1：A1xB1yC10 与 l2：A2xB2yC2 0 的交点的直线系方程 A1xB1yC1(A2xB2yC2)0(不包括 l2 的方程) 3方程(a1)xy(2a1)0 表示过哪两条直线的直线系方 程 提示 方程可化为 a(x2)(x
12、y1)0，所以该方程可表 示为过直线 x20 和xy10 的交点的直线系方程 【例 3】 求过两直线 2x3y30 和 xy20 的交点且与 直线 3xy10 平行的直线方程 思路探究 求直线方程待定系数法求方程条件确定系数 解 法一：解方程组 2x3y30， xy20， 得 x3 5， y7 5， 所以两直线的交点坐标为 3 5， 7 5 . 又所求直线与直线 3xy10 平行， 所以所求直线的斜率为3. 故所求直线方程为 y7 53 x3 5 ， 即 15x5y160. 法二：设所求直线方程为(2x3y3)(xy2)0， 即(2)x(3)y(23)0.(*) 由于所求直线与直线 3xy10
13、 平行， 所以有 21330， 212330， 得 11 2 . 代入(*)式，得 211 2 x 11 2 3 y 211 2 3 0， 即 15x5y160. 1本例中将“3xy10”改为“x3y10”，则如何求 解？ 解 由例题知直线 2x3y30 和 xy20 的交点坐标为 3 5， 7 5 ，直线 l 与 x3y10 平行，故斜率为1 3，所以直线 l 的方程为 y7 5 1 3 x3 5 ，即 5x15y240. 2本例中若将“平行”改为“垂直”，又如何求解？ 解 设所求直线方程为(2x3y3)(xy2)0， 即(2)x(3)y(23)0， 由于所求直线与直线 3xy10 垂直，
14、则 3(2)(3)10，得 3 4， 所以所求直线方程为 5x15y180. 过两条直线交点的直线方程的求法 (1)常规解法(方程组法)：一般是先解方程组求出交点坐标，再结 合其他条件写出直线方程 (2)特殊解法(直线系法)：先设出过两条直线交点的直线方程，再 结合其他条件用待定系数法求出参数，最后确定直线方程 课课 堂堂 小小 结结 提提 素素 养养 1方程组 A1xB1yC10 A2xB2yC20 有唯一解的等价条件是 A1B2 A2B10.亦即两条直线相交的等价条件是 A1B2A2B10.直线 A1x B1yC1(A2xB2yC2)0(R)是过直线 l1：A1xB1yC10 与 l2：A
15、2xB2yC20 交点的直线(不含 l2) 2解析法又称为坐标法，它就是通过建立直角坐标系，用坐标 代替点、 用方程代替曲线、 用代数的方法研究平面图形的几何性质的 方法 3 两 点 P1(x1， y1) ， P2(x2， y2) 间 的 距 离 公 式 |P1P2| x1x22y1y22与两点的先后顺序无关， 其反映了把几何问题代 数化的思想 1直线 2xy80 和直线 xy10 的交点坐标是( ) A(9，10) B(9，10) C(9，10) D(9，10) B 解方程组 2xy80 xy10 得 x9 y10 故两直线的交点坐标为(9,10) 2已知点 A(2，1)，B(a,3)，且|
16、AB|5，则 a 的值为( ) A1 B5 C1 或5 D1,5 C 由两点间距离公式得 a223125. 解得 a1 或5，故选 C. 3若三条直线 2x3y80，xy10 和 xky0 相交于 一点，则 k 的值等于_ 1 2 由 2x3y80 xy10 得 x1 y2. 把(1，2)代入 xky0 并解得 k1 2. 4 不论 a 取何值时， 直线(a3)x2ay60， 恒过第_ 象限 四 方程可化为 a(x2y)(3x6)0， 由 x2y0 3x60 得 x2 y1 ，(2，1)在第四象限，故直线恒 过第四象限 5在直线 l：3xy10 上求一点 P，使点 P 到两点 A(1， 1)，B(2,0)的距离相等 解 法一：设点 P 的坐标为(x，y)，则由|PA|PB|，得 3xy10， x12y12 x22y2， 解得 x0 y1 ， 所以点 P 的坐标为(0,1) 法二：由题意知，线段 AB 的中点 M 的坐标为 3 2， 1 2 ，AB 所在 直线的斜率为 kAB01 21 1，故线段 AB 的垂直平分线的方程为 xy10 . 设 P(x，y)，又 3xy10 ， 联立得 3xy10， xy10， 解得 x0， y1， 所以点 P 的坐标为 (0,1) 点击右图进入点击右图进入 课课 时时 分分 层层 作作 业业 Thank you for watching !
